柯尼斯堡城是條頓騎士在1308年建立的，作為日爾曼勢力最東端的前哨達(dá)四百余年之久。第二次世界大戰(zhàn)后，它被更名為加里寧格勒，成了蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，柯尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間（加里寧格勒現(xiàn)屬俄羅斯�！�—譯者注）�？履崴贡さ钠咦鶚蚪裉炜磥碓趺礃恿�？人們?nèi)匀辉谄髨D找出不可能的路線嗎？首先，讓我們把柯尼斯堡橋問題扼要重述如下——

若干世紀(jì)以來，柯尼斯堡橋問題提供了豐富的樂趣和數(shù)學(xué)興味。問題遠(yuǎn)溯至18世紀(jì)初。背景是位于普雷蓋爾河岸的柯尼斯堡城。河中的兩個島是城的部分，由七座橋與城連接�？履崴贡さ木用裰杏幸粋�歡樂的傳統(tǒng)：星期天沿著城市的河岸和島嶼散步，同時試圖找到一條路線，可以經(jīng)過所有七座橋，但不重復(fù)經(jīng)過任一座橋。雖然當(dāng)時大多數(shù)人都把這當(dāng)做有趣的娛樂，但是一位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這娛樂可以導(dǎo)向一個另外的契機(jī)，他抓住了這個契機(jī)并加以發(fā)展。瑞士數(shù)學(xué)家倫哈德·歐拉（1707～1783）在圣彼得堡為俄國凱瑟琳大帝服務(wù)時就知道了柯尼斯堡橋問題。

1735年，歐拉向俄國科學(xué)院提交了一篇論文，它不是簡單地解答了橋問題，而是具有更加深遠(yuǎn)的意義，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更加巨大的影響。他提出的新思想開辟了拓?fù)鋵W(xué)的領(lǐng)域。拓?fù)鋵W(xué)與研究大小、形狀和剛體的歐幾里得幾何不同，它是研究物體即使在大小和形狀改變時依然保持不變的那些特性的幾何學(xué)。例如，如果三角形變形為正方形或圓，拓?fù)鋵W(xué)研究這對象的哪些特性保持不變。歐拉把柯尼斯堡橋問題的物理背景變換并簡化為一種數(shù)學(xué)設(shè)計（稱做圖或網(wǎng)絡(luò)），這設(shè)計包含這個問題，并使它簡化。對于城市與橋相通的每一部分，他用一個頂點來代表，每一座橋則用一個弧來表示。他的結(jié)論是：經(jīng)過所有七座橋而不復(fù)返的問題相當(dāng)于用鉛筆不離紙面地描繪整個網(wǎng)絡(luò)。歐拉把每個頂點定為奇頂點或偶頂點。他指出，偶頂點是路程經(jīng)過這頂點即進(jìn)入這頂點又離開這頂點或整個路程從這點開始又到這點結(jié)束而造成的。另一方面，奇頂點則是以這頂點成為路程的起點或終點而造成的。因此，任何可一筆畫成（沒有復(fù)返）的圖最多只能有2個奇頂點——要末沒有奇頂點，頂點都是偶頂點；要末有2個奇頂點，如果一個是起點，一個是終點。此外，他還斷定，如果這圖有偶數(shù)個奇頂點，譬如說10個，那末在描繪整個圖時，筆離開紙面的次數(shù)一定是奇頂點個數(shù)的一半，即5次。歐拉在他的論述中指出，柯尼斯堡橋問題似乎具有幾何性質(zhì)，但是看來歐幾里得幾何并不適用，因為橋問題不涉及“大小”，也不能用“量化計算”來解決。相反地，這問題屬于“位置幾何”，這是戈特弗里德·威廉·馮·萊布尼茲描述拓?fù)鋵W(xué)時首先用的名稱。由此可知，歐拉對柯尼斯堡橋問題的解答成了拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的催化劑和導(dǎo)引。

如圖所示，七座橋各有專名，大概與橋的那邊是什么有關(guān)。今天只剩下了原有七座橋中的三座——蜜橋、高橋和木橋。一條新的跨河大橋已經(jīng)建成，它與兩岸的連接如圖所示，它完全跨過了內(nèi)福夫島。導(dǎo)游們時常講述柯尼斯堡橋問題的故事。有些導(dǎo)游甚至聲稱它仍未解決。如果畫出新柯尼斯堡橋的網(wǎng)絡(luò)，這新問題是沒有吸引力的。如果新橋接觸到島的地面，網(wǎng)絡(luò)將比較有趣些。不幸的是，七座柯尼斯堡橋成了歷史，但是這問題留下的遺產(chǎn)不像這些橋那樣容易破壞。歐拉的出色的解答仍然是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史上的一個重要部分。

志謝：特別感謝阿爾特·庫利提供最新資料和照片，并感謝羅德·克里坦登引起我對這些資料的注意。