幾何學(xué)是研究形狀的學(xué)問。這種定義令人聽起來總有一種空泛沒有實(shí)質(zhì)內(nèi)容的感覺，盡管這個(gè)定義是比較科學(xué)的。從某種意義上講，幾何學(xué)家是審美的法官，因?yàn)樗麄儠r(shí)常對(duì)女性的曲線是否優(yōu)美評(píng)頭品足，但這種對(duì)女性曲線的評(píng)價(jià)遠(yuǎn)不是幾何學(xué)這一名詞的含義。人們常說兩點(diǎn)之間曲線最美，盡管這里談到了曲線，而曲線確是幾何學(xué)中的一個(gè)基本術(shù)語，然而，這樣的論斷與其說屬于數(shù)學(xué)的內(nèi)容，毋寧說屬于美學(xué)的范疇更恰當(dāng)。

　　我們可以從對(duì)稱性著眼，對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行更準(zhǔn)確的定義。所謂對(duì)稱性，就是說一個(gè)圖形經(jīng)過某種變換之后形成的圖形與原圖形一樣。例如，字母“H”具有180度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。就是說如果我們把這個(gè)字母旋轉(zhuǎn)180度――頭向下，底朝上――我們得到的圖形還是字母“H”。單詞“AHA”具有反射對(duì)稱性。把它放在一個(gè)鏡子前面，鏡子反射出的單詞依然是“AHA”。

　　一種圖形做某種指定的對(duì)稱變換之后，它的各種性質(zhì)并不改變，幾何學(xué)的每一分支都可以定義成對(duì)這種性質(zhì)的研究。例如，歐幾里德平面幾何學(xué)所涉及的是，當(dāng)一個(gè)圖形在平面上移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、鏡前反射或者成比例地放大或縮小時(shí)，對(duì)它的不變性質(zhì)進(jìn)行研究；仿射幾何學(xué)研究的是當(dāng)一個(gè)圖形以一定的方式“擴(kuò)展”之后所表現(xiàn)出的不變性質(zhì)；投影幾何學(xué)研究的是在投影狀態(tài)下的不變性質(zhì)；拓?fù)鋵W(xué)研究問題的著眼點(diǎn)則是，把圖形的形狀看作是柔軟可變的，在形狀變化的過程中，問題的某些特性并不因之而變化，亦即通過維持性質(zhì)不變而僅僅改變形狀來解決問題。

　　本書的每一章節(jié)中都可能或多或少地涉及到一些幾何問題，但本章則以解決幾何問題為主旨。當(dāng)然，我們在這里選擇的幾何問題都是些貌似復(fù)雜但利用一點(diǎn)奇妙的技巧便可輕而易舉解決的問題。本章的第一個(gè)問題是個(gè)切乳酪的問題，在這個(gè)問題中我們不難發(fā)現(xiàn)，一個(gè)非常簡單的問題也涉及到了數(shù)學(xué)的好多個(gè)分支。它涉及到了平面幾何、立體幾何、組合、代數(shù)。如果把這個(gè)問題再引申一步，還要涉及到數(shù)學(xué)中的另一個(gè)重要理論――有限差分理論。

　　“曲線通幽”是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問題。通過把折線變換成細(xì)繩的奇妙想法來解決問題，表明了一種形式上的拓?fù)渥儞Q――一個(gè)棘手的問題變成了一個(gè)簡單的封閉曲線上依次排列著若干個(gè)點(diǎn)的淺顯明了的問題。線路的變換包含著拓?fù)涞男再|(zhì)。解決這一問題可以把折線變換成一個(gè)圓，把它變換成一個(gè)正方形或一個(gè)三角形亦無不可。

　　接下來的兩個(gè)問題――“神奇的劍”和“奇妙的路線”――使我們離開了平面進(jìn)入了三維空間歐幾里德幾何學(xué)的王國。由飛行路線引出了一個(gè)著名的曲線問題即四只小海龜?shù)男羞M(jìn)路線問題，從這個(gè)問題中我們不難發(fā)現(xiàn)有時(shí)利用一個(gè)簡單的技巧可以省去多少繁雜艱苦的計(jì)算。蘭莎的測量問題又使我們回到了平面上，使我們認(rèn)識(shí)了歐幾里德幾何領(lǐng)域中的分割理論與可縮理論�？煽s理論屬于平面組合幾何學(xué)，歐幾里德小姐的切割問題則屬于立體組合幾何學(xué)。

　　地毯問題，以及由此引出的有孔洞的球的問題都表明了這樣一個(gè)基本道理：一個(gè)量看起來似乎是個(gè)變量，可在其它參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)量卻始終保持不變。不管球上的洞有多寬，也不管球的半徑有多大，在球上挖個(gè)洞之后，剩余部分的體積總是不變的，這樣的結(jié)論難道不令人瞠目？當(dāng)數(shù)學(xué)家首次認(rèn)識(shí)到這一事實(shí)的時(shí)候，他也應(yīng)該為之驚訝，不過想來他會(huì)接著補(bǔ)上一句“太漂亮了！”

　　恐怕很少有人能確切地理解數(shù)學(xué)家稱某事“漂亮”的真正含義――或許有較濃的發(fā)現(xiàn)問題意外簡單的意味，不過所有的數(shù)學(xué)家在認(rèn)識(shí)了一個(gè)“漂亮”的原理或者對(duì)一個(gè)原理的“漂亮”的證明之后，都會(huì)像我們認(rèn)識(shí)了一位美人一樣感到高興。幾何學(xué)因其具有直觀性形象化的特點(diǎn)，每每出現(xiàn)一些漂亮的原理或漂亮的證明，在本章中你就可以看到一些精彩的例子。