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有趣的“立方倍積”問題

來源:網(wǎng)絡(luò) 文章作者:東春 2008-05-07 18:11:36

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  相傳在兩千多年前,古希臘的德里群島中有一個(gè)叫杰羅西的島上,發(fā)生了一場(chǎng)大瘟疫,居民們紛紛來到神廟,向神祈求。神說:“這次發(fā)生瘟疫,是因?yàn)槟銈儗?duì)我不夠虔誠。你們看,我殿前的祭壇是多么小!要使瘟疫不再流行,除非把祭壇的體積擴(kuò)大一倍,但不許改變祭壇的形狀。”

  神廟中的祭壇是個(gè)立方體,杰羅西的居民們趕緊量好立方體的尺寸,制作了一個(gè)新祭壇送到神的面前。新的祭壇的長、寬、高都比原來的增加了1倍,居民們以為這樣就滿足了神的要求?墒俏烈叻堑珱]有停止,反而流行得更厲害了。島上的居民又向神祈禱:“我們已經(jīng)把祭壇擴(kuò)大了一倍。為什么災(zāi)難仍沒有結(jié)束呢?”神冷冷地回答道:“不,你們沒有滿足我的要求,新的祭壇是原來體積的8倍!”

  不準(zhǔn)改變立方體的形狀,只準(zhǔn)加大1倍的體積,島上的居民沒有辦法解決這個(gè)問題,只好派人到首都雅典去向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家請(qǐng)教,但數(shù)學(xué)家們也一籌莫展。

  這個(gè)故事當(dāng)然是虛構(gòu)的,但是故事卻提出了一個(gè)舉世聞名的幾何作圖難題,叫做立方倍積問題,這就是尺規(guī)作圖三大難題之一。

  其實(shí),如果沒有對(duì)作圖工具的限制,這個(gè)問題并不難解決。公元前3世紀(jì),有一位叫埃拉托斯芬的古希臘數(shù)學(xué)家,就曾用3個(gè)相等的矩形框架,在上面畫上相應(yīng)的對(duì)角線,順利地解決了立方倍積問題。英國的牛頓,荷蘭的惠更斯等都曾發(fā)明過一些巧妙的方法,圓滿地解決過立方倍積問題。但是如果要求用尺規(guī)作圖,那么,這些大數(shù)學(xué)家都會(huì)束手無策,敗下陣來。

  直到1837年,美國數(shù)學(xué)家維脫茲爾,從理論上證明了只使用圓規(guī)直尺是不可能解決立方倍積問題的。后來德國數(shù)學(xué)家給出了一個(gè)簡單明了的證明,明確指出了“此路不通”。從此就再也沒有數(shù)學(xué)家再去嘗試用尺規(guī)作圖法來解決立方倍積問題了。(東春)

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