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米蘭芬算燈

來源:中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng) 2008-05-07 18:11:48

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    李汝珍,清代人,是個(gè)“學(xué)無所不窺”的才子,可能是學(xué)問鉆研多了,所以官場上卻甚不得意。他寫了好幾本書,《鏡花緣》是流傳最廣的一本。此書中描寫了一位精通算學(xué)的才女“磯花仙子”名叫米蘭芬。
 
  米蘭芬和眾姐妹在宗伯府聚會(huì),來到小鰲山樓上觀燈。樓上的燈形狀有兩種,一種燈是上面三個(gè)大球,下綴六個(gè)小球,一種燈是上面三個(gè)大球下面十八個(gè)小球。樓下的燈也有兩種,一種是一個(gè)大球綴二個(gè)小球,一種是一大球綴四個(gè)小球。知道樓上有大燈球396個(gè),小燈球1440個(gè),樓下有大燈球360個(gè),小燈球1200個(gè)。

  才女們要米蘭芬計(jì)算,樓上樓下的四種燈各有多少盞?

  米蘭芬說:“以樓下論,將小燈球數(shù)折半,得600,減去大燈球數(shù)360,即得綴四個(gè)小燈球的燈數(shù)為240,用360減240得120,即得綴二個(gè)小燈球的燈數(shù)為120。此用‘雞兔同籠’之法!庇猛瑯拥姆椒ㄋ銟巧蠠魯(shù):“以1440折半,得720,720-396=324,324÷6=54。得綴十八個(gè)小燈球的燈數(shù)為54。用396-54×3=234,234÷3=78。即綴六個(gè)小燈球的燈數(shù)為78!

  這里說的“雞兔同籠”法,是指的我國古代的一種類型題目,比如在一個(gè)籠中關(guān)有雞與兔,數(shù)頭有100個(gè),數(shù)腳有240只。問雞、兔各有多少?

  對此題,有一個(gè)簡單巧妙的算法,就是:如果讓雞都縮起一只腳,“金雞獨(dú)立”站著;讓兔子全部抬起二只前腿,只用二只后腿站著,這時(shí),再數(shù)腳數(shù),就應(yīng)是240除以2,得120只腳。

  如籠中全是雞,由于此時(shí)數(shù)雞時(shí),每只雞都是一頭一腳(另一腳縮起來了)。故100只雞應(yīng)只有100只腳,現(xiàn)在卻有120只腳,多的20只腳是那兒來的呢?原來每只兔子都要多數(shù)1只腳,這就說明兔子數(shù)是20,而雞數(shù)則是80。

  現(xiàn)在你明白了米蘭芬的算法了吧!比如說樓下的燈,一大球下綴二小球,就相當(dāng)于“一只雞有二只腳”,一大球下綴四小球就相當(dāng)于“一只兔有四只腳”。所以,用“雞兔同籠”之法就算清楚了。

  至于樓上的燈,小球數(shù)折半,就相當(dāng)于把燈改制成“每燈三個(gè)大球,下綴三個(gè)小球”和“每燈三個(gè)大球,下綴九個(gè)小球”這兩種。如果都是前一種燈,則大小燈球數(shù)應(yīng)相等,F(xiàn)小球數(shù)為720(=1440÷2),大球數(shù)396,多出324個(gè)小球。是因?yàn)槊勘K第二種燈小燈球多出6個(gè)的原因,從而用324÷6=54,即其中有54盞第二種燈,第二種燈共用大燈球162個(gè),故第一種燈用大燈球234個(gè),除以3得78,就是第一種燈數(shù)了。

  朋友,如果換了你來解決這道題,你又會(huì)怎么做呢?

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