古希臘的地理范圍，除了現(xiàn)在的希臘半島外，還包括整個愛琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細亞等地。公元前5、6世紀，特別是希、波戰(zhàn)爭以后，雅典取得希臘城邦的領導地位，經濟生活高度繁榮，生產力顯著提高，在這個基礎上產生了光輝燦爛的希臘文化，對后世有深遠的影響。

　　希臘數(shù)學的發(fā)展歷史可以分為三個時期。第一期從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約為公元前七世紀中葉到公元前三世紀；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時期，結束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領。

　　從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數(shù)學史料很少。不過希臘數(shù)學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關系。

　　伊奧尼亞位于小亞細亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強烈的活動性，有利于思想自由而大膽地發(fā)展。城邦內部的斗爭，幫助擺脫傳統(tǒng)信念在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。這大大有助于科學和哲學從宗教分離開來。

　　米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉(xiāng)，泰勒斯是公認的希臘哲學鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學會古代流傳下來的知識，并加以發(fā)揚。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學學派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬物的根源。

　　當時天文、數(shù)學和哲學是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數(shù)學。他曾預測一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰(zhàn)爭，多數(shù)學者認為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。

　　泰勒斯在數(shù)學方面的貢獻是開始了命題的證明，它標志著人們對客觀事物的認識從感性上升到理性，這在數(shù)學史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學派的著名學者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達哥拉斯有很大的影響。

　　畢達哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個政治、宗教、哲學、數(shù)學合一的秘密團體。后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續(xù)存在兩個世紀之久。

　　畢達哥拉斯學派企圖用數(shù)來解釋一切，不僅僅認為萬物都包含數(shù)，而且說萬物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達哥拉斯定理)聞名于世，又由此導致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。

　　這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯(lián)系起來。他們找到用三個正整數(shù)表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等，這既是算術問題，又和幾何有關，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。

　　伊奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派有顯著的不同。前者研習數(shù)學并不單純?yōu)榱苏軐W的興趣，同時也為了實用。而后者卻不注重實際應用，將數(shù)學和宗教聯(lián)系起來，想通過數(shù)學去探索永恒的真理。

　　公元前五世紀，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學及數(shù)學等知識，于是“智人學派”應運而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。在數(shù)學上，他們提出“三大問題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。

　　希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學從實際應用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。

　　這個學派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8、16、32、…邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽的割圓術思想不謀而合。

　　公元前三世紀，柏拉圖在雅典建立學派，創(chuàng)辦學園。他非常重視數(shù)學，但片面強調數(shù)學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主張通過幾何的學習培養(yǎng)邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。

　　這個學派培養(yǎng)出不少數(shù)學家，如歐多克索斯就曾就學于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。

　　這個時期的希臘數(shù)學中心還有以芝諾為代表的埃利亞學派，他提出四個悖論，給學術界以極大的震動。這四個悖論是：

　　二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重復下去，總也追不上；飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的；運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。

　　以德謨克利特為代表的原子論學派，認為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構成。計算面積和體積，等于將這些原子集合起來。這種不甚嚴格的推理方法卻是古代數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新結果的重要線索。

　　公元前四世紀以后的希臘數(shù)學，逐漸脫離哲學和天文學，成為獨立的學科。數(shù)學的歷史于是進入一個新階段——初等數(shù)學時期。

　　這個時期的特點是，數(shù)學(主要是幾何學)已建立起自己的理論體系，從以實驗和觀察為依據(jù)的經驗科學過渡到演繹的科學。由少數(shù)幾個原始命題(公理)出發(fā)，通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數(shù)學的基本精神。

　　在這一時期里，初等幾何、算術初等代數(shù)大體己成為獨立的科目。和17世紀出現(xiàn)的解析幾何學、微積分學相比，這一個時期的研究內容可以用“初等數(shù)學”來概括，因此叫做初等數(shù)學時期。

　　埃及的亞歷山大城，是東西海陸交通的樞紐，又經過托勒密王的加意經營，逐漸成為新的希臘文化中心，希臘本土這時已經退居次要地位。幾何學最初萌芽于埃及，以后移植于伊奧尼亞，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到發(fā)源地。經過這一番培植，已達到豐茂成林的境地。

　　從公元前四世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，希臘數(shù)學以亞歷山大為中心，達到它的全盛時期。這里有巨大的圖書館和濃厚的學術空氣，各地學者云集在此進行教學和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數(shù)學家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。

　　歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數(shù)學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯(lián)系，整理在一個嚴密的系統(tǒng)之中，才能建成宏偉的大廈�！稁缀卧�本》體現(xiàn)了這種精神，它對整個數(shù)學的發(fā)展產生深遠的影響。

　　阿基米德是物理學家兼數(shù)學家，他善于將抽象的理論和工程技術的具體應用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經驗事實上升為理論。他根據(jù)力學原理去探求解決面積和體積問題，已經包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。

　　除了三大數(shù)學家以外，埃拉托斯特尼的大地測量和以他為名的“素數(shù)篩子”也很出名。天文學家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角學的先導。

　　公元前146年以后，在羅馬統(tǒng)治下的亞歷山大學者仍能繼承前人的工作，不斷有所發(fā)明。海倫(約公元62)、門納勞斯(約公元100)、帕普斯等人都有重要貢獻。天文學家托勒密將喜帕恰斯的工作加以整理發(fā)揮，奠定了三角學的基礎。

　　晚期的希臘學者在算術和代數(shù)方面也頗有建樹，代表人物有尼科馬霍斯(約公元100)和丟番圖(約250)前者是杰拉什(今約旦北部)地方的人。著有《算術入門》，后者的《算術》是講數(shù)的理論的，而大部分內容可以歸入代數(shù)的范圍。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數(shù)學中獨樹一幟，對后世影響之大，僅次于《幾何原本》。

　　公元325年，羅馬帝國的君士坦丁大帝開始利用宗教作為統(tǒng)治的工具，把一切學術都置于基督教神學的控制之下。

　　公元529年，東羅馬帝國皇帝查士·丁尼下令關閉雅典的柏拉圖學園以及其他學校，嚴禁傳授數(shù)學。許多希臘學者逃到敘利亞和波斯等地。數(shù)學研究受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領，圖書館再次被毀，希臘數(shù)學至此告一段落。