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費(fèi)爾馬光行最速原理

來(lái)源:中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng) 2008-05-07 18:12:04

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費(fèi)爾馬不僅是位數(shù)學(xué)家,他在物理學(xué)中也有所建樹(shù),“光行最速原理”就是由他發(fā)現(xiàn)的。由此我們可以解下列問(wèn)題:由光源A射出的光線,經(jīng)平面鏡MN反射后照到點(diǎn)B,求光走過(guò)的路線。

  解:作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′,連A′B交MN于點(diǎn)P,則光線將由A射到P,經(jīng)反射后到B,這條路線是“最短路線”。實(shí)際上,對(duì)MN上任一非P的點(diǎn)P,都有AP′+P′B=AP′+P′B>A′B=AP+PB。即這條路線最短。

  

  由此可得到物理學(xué)中的反射定律:光經(jīng)平面鏡反射時(shí),入射角等于反射角,在圖1中,取P點(diǎn)處法線PQ,則有∠1=∠2。

  在△ABC中,AD、BE、CF分別為三邊上的高,△DEF稱為△ABC的垂足三角形,可以證明△ABC的重心H是△DEF的內(nèi)心(圖2)。

  實(shí)際上,由∠BEA=∠BDA=90°,知B、D、E、A共圓,于是∠CDE=∠BAC。同樣,由A、F、D、C共圓,可知∠BDF=∠BAC,于是∠CDE=∠BDF。從而可知DA平分∠EDF。

  同理FC平分∠DFE,EB平分∠DEF。故H是△DEF的內(nèi)心。

  

  如作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D1,可知∠DFB=∠D1FB=∠AFE,于是,D1、F、E在一直線上。同樣可知,D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D2也在直線EF上,即D1、F、E、D2四點(diǎn)在一條直線上。

  現(xiàn)在,我們來(lái)看由法格拉洛提出的一個(gè)問(wèn)題:在△ABC的每條邊上各取一點(diǎn)D、E、F,△DEF稱為△ABC的內(nèi)接三角形。試在銳角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中,求周長(zhǎng)最短的三角形。

  費(fèi)爾馬提出了一種解法,這個(gè)解法分成三步來(lái)解:

  (1)設(shè)D是BC上固定點(diǎn),求此時(shí)的周長(zhǎng)最短的內(nèi)接三角形。

  作D關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)D1、D2,連D1D2交AB、AC于E、F,則△DEF為所求。實(shí)際上,對(duì)于△ABC的任一內(nèi)接△DE′F′,有

  DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2

  ≥D1D2=D1E+EF+FD2

  =DE+EF+FD。

  就是△DEF的周長(zhǎng)≤△DEF的周長(zhǎng)。

  因此,我們只要對(duì)于每一個(gè)BC上的點(diǎn)D,都找出相應(yīng)于該點(diǎn)的周長(zhǎng)最短的內(nèi)接三角形DEF,在這些三角形中找出周長(zhǎng)最短的一個(gè)就行。

  (2)由于 AD1=AD,AD2=AD,故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2,∠3=∠4,故△AD1D2的頂角∠D1AD2=2∠BAC為定值,因此,只有當(dāng)其腰AD1最短時(shí),D1D2最短。此時(shí)必有AD最短。從而當(dāng) AD為△ABC的高時(shí),內(nèi)接三角形DEF的周長(zhǎng)最短。

 。3)當(dāng)AD為△ABC的高時(shí),由前面三角形垂足三角形性質(zhì),可證△ABC的內(nèi)接三角形中,以其垂足三角形DEF的周長(zhǎng)最短。

  在平面幾何中,還有一個(gè)以費(fèi)爾馬為名的“費(fèi)爾馬點(diǎn)”。即:在△ABC所在平面上找一點(diǎn),它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和相等。

  只考慮△ABC的三個(gè)內(nèi)角都小于120°的情況。

  以 AB、BC、CA為邊向形外作正三角形BCD、ACE、ABK,作此三個(gè)三角形的外接圓。設(shè)⊙ABK、⊙ACE除A外的交點(diǎn)為F,由 A、K、B、F四點(diǎn)共圓知∠AFB=120°。同理∠AFC=120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD邊過(guò)點(diǎn)F,即⊙ABK,⊙BCD,⊙CAE共點(diǎn)F。

  由∠AFB=120°,∠BFD=60°,知 A、F、D在一條直線上。

  在FD上取點(diǎn)G,使FG=FB,則△FBG為正三角形。由BG= BF, BD=BC,∠DBG=∠CBF=60°-∠GBC,故△DBG≌△CBF。于是GD=FC,即AD=FA+FB+FC。

  

  對(duì)于平面上任一點(diǎn)P,以BP為一邊作等邊△PBH(如圖4),連HD,同樣可證△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。這就是說(shuō),點(diǎn)F為所求點(diǎn)。這點(diǎn)稱為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。

  如果△ABC有某一內(nèi)角≥120°,例如∠A≥120°,則點(diǎn)A即為所求點(diǎn)。

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