填幻方是一種填數(shù)游戲。這種游戲最早起源于我國。傳說距今4千多年的夏禹王治水時(shí)，河南洛水里浮出一只大烏龜，背上有一個(gè)祥瑞的圖形，這就是洛書。

洛書是一種最古老的幻方。現(xiàn)在幻方成了一門應(yīng)用廣泛的科學(xué)，它在程序設(shè)計(jì)、組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、人工智能、圖論、博奕論等都得到了應(yīng)用。這里介紹一些通俗有趣的幻方游戲。

反幻方

上面說過，我國古老的洛書是一種幻方。它用圓圈來表示數(shù)字。中間5個(gè)圈表示5，前后左右分別表示1、9、3、7，四個(gè)角分別表示2、4、6、8。

將洛書翻譯出來，可以得到下面的表格：

它的每行、每列和兩個(gè)對角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，等于15。這就是一個(gè)三階幻方。下面我們要大家動手動腦來做一個(gè)三階反幻方。

填法：三階反幻方就是說，3×3的方格內(nèi)，填上1至9九個(gè)數(shù)，使它的每行，每列和兩條對角線上的3個(gè)數(shù)之和都不相等。

你會發(fā)現(xiàn)，要填這個(gè)反幻方并不容易。美國著名數(shù)學(xué)游戲大師馬丁?加德納發(fā)明了這種反幻方，并給出了答案，你可以驗(yàn)證、驗(yàn)證，看對不對？答案是：

你發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律沒有？原來九個(gè)數(shù)首尾相連，形成“一條龍”。

后來有人又找到一種“一條龍”的答案：

至于不是“一條龍”的答案，就很多了，你自己去試試填吧。

寫給太空人的信

著名數(shù)學(xué)家華羅庚建議，在宇宙飛船上帶上中國的洛書，作為給太空人的見面禮。因?yàn)樘�空人如果掌握高度的文明之話，一定會懂得這個(gè)圖的含義。

1977年，美國發(fā)射的“旅行者”號宇宙飛船上，果然帶了一張幻方圖�，F(xiàn)在就讓你來填填這個(gè)幻方圖。

填法：這是一個(gè)四階幻方圖。就是在一個(gè)4×4的帶16個(gè)方洛的方陣圖中，每格分別填上1至16的數(shù)字，使每行、每列及兩條對角線上的4個(gè)數(shù)之和都相等。

請你來填填這個(gè)四階幻方圖。不過，四階幻方的填法共有880種之多，所以我們要提示一下。

這個(gè)四階幻方是在印度卡俱拉霍發(fā)現(xiàn)的，它是11世紀(jì)時(shí)刻在一個(gè)碑上的，數(shù)學(xué)家叫它筒形幻方。它不只對角線的4個(gè)數(shù)相等，等于34，而且任何一條折斷的對角線上4數(shù)之和也都等于34。也就是說，幻方的上邊第一行移到最下一行，或左邊第一行移到最右一行，仍是幻方。而且每相鄰的4個(gè)數(shù)之和也等于34，我們給出這個(gè)幻方的8個(gè)數(shù)：

相信你會填出其他數(shù)來。答案是：

顛倒幻方

圖一是一個(gè)四階幻方，它每格填的不是1至16的自然數(shù)。但它每行、每列及對角線的4個(gè)數(shù)和都等于264。

奇怪的是，將這個(gè)幻方顛倒過來，又是一個(gè)新的幻方。它每行、每列及對角線的4數(shù)和仍為264。

奧秘在哪兒？原來幻方格子里填的數(shù)，都由1、6、8、9這四個(gè)數(shù)組成，而這四個(gè)數(shù)顛倒以且仍然是數(shù)字，其中1、8仍是原數(shù)，6、9則倒了個(gè)。此幻方由錢曾濤提供。

三角幻方

我們知道，三角形只有3個(gè)交點(diǎn)，因此填3個(gè)數(shù)，使每條邊上的兩數(shù)之和相等，是完全不可能的。

但是，如果在每邊中設(shè)4個(gè)數(shù)，則就成為可能了。

填法：我們畫出這個(gè)三角形幻方圖，請?jiān)诿總�(gè)圓圈中填上1至9的數(shù)字，使每條邊的4數(shù)和相等。

圖二是填好的三角幻方圖。你是否發(fā)現(xiàn)，這個(gè)幻方還有其他特性，如其中三個(gè)內(nèi)三角形上的數(shù)字和也相等，即2＋9＋4＋3＋7＝5＋4＋9＋1＋6＝8＋1＋6＋7＋3＝25

這人個(gè)幻方是孫維梓設(shè)計(jì)的。

六角幻方

本世紀(jì)初，有一個(gè)叫阿當(dāng)斯的青年，他熱心填六角形的幻方。就是在六角形的7個(gè)點(diǎn)上，填上1至7七個(gè)數(shù)，使每條直線上的2個(gè)或3個(gè)數(shù)和相等。

經(jīng)過47年的努力，還沒有得到成功。原來這樣的幻方是不可能存在的。如圖二所示，若a＋6＝b＋c，則a＝c,但是幻方的要求是所填的數(shù)不能相同。

不過，他經(jīng)過這么多年挫折后，終于用畢生精力排出了一個(gè)兩層六角幻方。

填法：在圖三所示的六角幻方中，共有兩層，19個(gè)點(diǎn)，要求在各點(diǎn)上填上1至19各數(shù)，使每條線上的各數(shù)和相日二等，等于38。這個(gè)幻方叫你來填當(dāng)然很難。不過，我們可以先給出內(nèi)層7個(gè)數(shù)，你來補(bǔ)充其他12個(gè)數(shù)，也許就不困難了。

掛紅燈

洛書是一種三階幻方，它共有3×3九個(gè)格。你會問：有沒有二階幻方？也就是說，在一個(gè)口字形的4角上，分別填上1至4四個(gè)數(shù)，使每行、每列的兩數(shù)和相等�？赡軉幔看鸢甘遣豢赡�。

道理很簡單，這在六角幻方中已經(jīng)有了類似的證明。

那么，可不可以將二階幻方變變形，使幾個(gè)方格并起來，達(dá)到類似幻方的目的呢？這倒是可以。如圖一，一共有14盞彩燈，在各盞燈上分別填上0到13的數(shù)字，使每個(gè)方格上的數(shù)字和相等。這就是可能的。

填法：先告訴你方格上4數(shù)和是27，再提示你上面4盞燈分別填上1、9、8、6四數(shù)。下面就好填了。圖二是一種方案，有沒有其他方案呢？此幻方是錢樹庠設(shè)計(jì)的。