一、計(jì)算下面各題，并寫出簡(jiǎn)要的運(yùn)算過(guò)程（12分）

　　2.1991×199219921992-1992+199119911991

　　二、填空題（48分）

　　1.有A、B兩組數(shù)，每組數(shù)都按一定的規(guī)律排列著，并且每組都各有25個(gè)數(shù)。A組數(shù)中前幾個(gè)是這樣排列的1，6，11，16，21……；B組數(shù)中最后幾個(gè)是這樣排列的……，105，110，115，120，125。那么，A、B這兩組數(shù)中所有數(shù)的和是__（3分）

　　2.某沿海城市管轄7個(gè)縣，這7個(gè)縣的位置如圖1�，F(xiàn)用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色給圖1染色，要求任意相鄰的兩個(gè)縣染不同顏色。共有__種不同的染色方法。（5分）

　　3.如圖2的數(shù)陣是由77個(gè)偶數(shù)排成的，其中20、22、24、36、38、40這六個(gè)數(shù)由一個(gè)平行四邊形圍住，它們的和是180。把這個(gè)平行四邊形沿上下、左右平移后，又圍住了右邊數(shù)陣中的另外六個(gè)數(shù)，如果這六個(gè)數(shù)的和是660，那么，它們當(dāng)中位于平行四邊形左上角的那個(gè)數(shù)是__。（4分）

　　4.在左邊的乘法算式中，我、學(xué)、數(shù)、樂各代表四個(gè)不相同的數(shù)字。如果“樂”代表“9”，那么，“我”代表__，“數(shù)”代表__，“學(xué)”代表__。（4分）

　　5.1993年一月份有4個(gè)星期四、5個(gè)星期五，1993年1月4日是星期__。

　　6.一個(gè)小數(shù)去掉小數(shù)部分后得到一個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)加上原來(lái)的小數(shù)與4的乘積，得27.6。原來(lái)這個(gè)小數(shù)是__。（5分）

　　7.李志明、張斌、王大為三個(gè)同學(xué)畢業(yè)后選擇了不同的職業(yè)，三人中有一個(gè)當(dāng)了記者。一次有人問(wèn)起他們的職業(yè)，李志明說(shuō)：“我是記者�！睆埍笳f(shuō)：“我不是記者。”王大為說(shuō)：“李志明說(shuō)了假話�！比绻�他們?nèi)�人的話中只有一句是真的，那么__是記者。（3分）

　　9.在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它分別能被2、3、5、11整數(shù)，這個(gè)七位數(shù)最小是__。（5分）

的個(gè)位數(shù)字1992個(gè)“8”是__，十位數(shù)字是__，百位數(shù)字是__。（3分）

　　三、解答下面的應(yīng)用題。（要寫出列式解答過(guò)程。列式時(shí)，可以分步列式，可以列綜合算式，也可以列方程。）（32分）

　　1.張師傅駕駛一輛載重汽車從縣城出發(fā)到省城送貨，到達(dá)省城后馬上卸貨并隨即沿原路返回。他駕駛的這輛汽車去時(shí)每小時(shí)行64千米，返回時(shí)每小時(shí)行56千米，往返一趟共用去12小時(shí)（在省城卸貨所用時(shí)間略去不計(jì)）。張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行了多少千米？（5分）

　　2.一個(gè)長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)減少5厘米，寬減少2厘米，那么面積就減少66平方厘米，這時(shí)剩下的部分恰好成為一個(gè)正方形。求原來(lái)長(zhǎng)方形的面積。（5分）

　　3.有兩堆煤，第一堆是第二堆的4倍。當(dāng)?shù)诙�堆煤運(yùn)走6.25噸后，第一堆煤是第二堆煤的6倍。第二堆煤原有多少噸？（5分）

分?jǐn)?shù)是80分。求不及格的人的平均分?jǐn)?shù)。（5分）

　　5.啟蒙書社五天內(nèi)賣出《中學(xué)生手冊(cè)》和《小學(xué)生手冊(cè)》共120本�！吨袑W(xué)生手冊(cè)》每本5元，《小學(xué)生手冊(cè)》每本3.75元。營(yíng)業(yè)員統(tǒng)計(jì)的結(jié)果表明：這五天內(nèi)所賣《中學(xué)生手冊(cè)》的收入比賣《小學(xué)生手冊(cè)》的收入多162.5元。這五天內(nèi)啟蒙書社賣出的《中學(xué)生手冊(cè)》和《小學(xué)生手冊(cè)》各多少本？（6分）

　　6.如圖3，BD是梯形ABCD的一條對(duì)角線，線段AE與梯形的一條腰DC平行，AE與BD相交于O點(diǎn)。已知三角形BOE的面積比三角形AOD的面積大

　　四、長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是4厘米、寬3厘米。從這個(gè)長(zhǎng)方形中剪去兩個(gè)長(zhǎng)2厘米、寬1厘米的小長(zhǎng)方形后得到一個(gè)“T”形（如圖4）。請(qǐng)你沿直線（用虛線在圖上畫出這樣的直線）把這個(gè)“T”形剪兩刀，并使剪開的部分恰好能拼成一個(gè)正方形。（8分）

　　詳解與說(shuō)明

　　一、計(jì)算題

　　說(shuō)明：本題的算式看上去挺繁，但細(xì)心觀察不難發(fā)現(xiàn)括號(hào)內(nèi)的三個(gè)乘（除）式都含有因數(shù)“3”，把“3”作為公因數(shù)提取后計(jì)算就簡(jiǎn)便多了�！稊�(shù)學(xué)之友》（7）第63頁(yè)上有一道十分類似的計(jì)算題。

　　2.解：1991×199219921992-1992×199119911991

　　=1991×1992（100010001-100010001）

　　=1991×1992×0

　　=0

　　說(shuō)明：解本題的關(guān)鍵是迅速觀察到被減數(shù)和減數(shù)含有公因數(shù)1991×1992，這個(gè)乘積可以暫時(shí)保留在式中，看括號(hào)內(nèi)的計(jì)算結(jié)果是不是便于立即能口算出答案。本題同《數(shù)學(xué)之友》（7）綜合練習(xí)十的第2題也很相似。

數(shù)列的各項(xiàng)依次對(duì)應(yīng)相加所得到的。看出這一層關(guān)系，就容易想到把式中每

”欄目?jī)?nèi)專門作了介紹。

　　二、填空題

　　1.（1＋125）×25=3150

　　說(shuō)明：首先通過(guò)觀察容易發(fā)現(xiàn)A、B兩組數(shù)的排列規(guī)律。這兩組數(shù)都排成等差數(shù)列，并且每組數(shù)都有25個(gè)數(shù)。用等差數(shù)列的求和公式可以算出結(jié)果，但必須先推算出A組數(shù)的第25個(gè)及B組數(shù)的第1個(gè)。如果選手們能從“兩組數(shù)個(gè)數(shù)相等”與“兩組數(shù)都是公差為5的等差數(shù)列”這兩個(gè)條件入手，用“首尾配對(duì)，變加為乘”（見本報(bào)1991年9月25日“教你思考”欄）的技巧來(lái)解，那么計(jì)算簡(jiǎn)便多了。

　　2.解：把該沿海城市地圖上的7個(gè)縣分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G（如圖5）。為了便于觀察，可以把圖5改畫成圖6（相鄰關(guān)系不改變）。我們不妨按A、B、C、D、E、F、G的順序，用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色依次染色，根據(jù)乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860（種）不同的染色方法。

　　說(shuō)明：“加法原理與乘法原理”是本報(bào)223期“奧林匹克學(xué)�！睓谒�介紹的內(nèi)容，但應(yīng)用乘法原理來(lái)解本題，要謹(jǐn)防遺漏。為了避免遺漏，就應(yīng)適當(dāng)選擇染色的順序�；蛟S有的選手會(huì)問(wèn)：既然要講究染色的順序。那么“按A、B、C、D、E、F的順序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？對(duì)了，我們這里所說(shuō)的“適當(dāng)選擇染色順序”，不是說(shuō)染色方法與染色順序有關(guān)，而是說(shuō)選擇某些染色次序很可能算錯(cuò)。比如說(shuō)，如果我們選擇B、C、G、D、A、E、F的染色順序，那么，根據(jù)乘法原理算得的結(jié)果是

　　5×4×4×3×2×3×3=4320（種）。這當(dāng)中遺漏了540（種），為什么會(huì)遺漏呢？因?yàn)樵诮oB、C染色之后，再給G染色時(shí)，沒有分“G與B同色”、“G與B不同色”兩種情況。

　　舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如圖7，如果按④③②①的順序染色，容易誤算為5×4×4×2=160（種），而實(shí)際上，應(yīng)分兩種情況：

　�。�1）②與③同色時(shí)有5×4×1×3=60（種）染法

　�。�2）②與③不同色時(shí)，有5×4×3×2=120（種）染法

　　共有60＋120=180（種）染法，而不是160種。

　　3.解法一：以平行四邊形左上角那個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，其余五個(gè)數(shù)分別比它大2、4、16、18、20。如果從平行四邊形內(nèi)六個(gè)數(shù)的和中依次減去2、4、16、18、20，那么剩下的數(shù)就是左上角那個(gè)數(shù)的6倍。根據(jù)題意，可求出平移后的平行四邊形內(nèi)左上角那數(shù)為[660-（2＋4＋16＋18＋20）]÷6=100

　　解法二：移動(dòng)前平行四邊形內(nèi)6個(gè)數(shù)的和是20＋22＋24＋36＋28＋40=180。移動(dòng)后，這六個(gè)數(shù)的和增加到660，增加了660-180=480。由于移動(dòng)過(guò)程中平行四邊形內(nèi)每個(gè)數(shù)增加得一樣多，因而容易求出從“180”到“660”，每個(gè)數(shù)都增加了（660-180）÷6=80。這樣，可知道左上角的數(shù)增加到20＋80=100。

　　解法三：通過(guò)觀察可知，平行四邊形內(nèi)上一行左、中、右三數(shù)與下一行

下一行右邊的那個(gè)數(shù)與上一行左邊那個(gè)數(shù)相減，差都是20。這樣，求左上角那個(gè)數(shù)就變成了一個(gè)“和差問(wèn)題”。算式為

　�。�660÷3-20）÷2=100

　　說(shuō)明：本題的解法很多，因?yàn)轭}中的數(shù)陣隱藏著許多有趣的規(guī)律，選擇不同的規(guī)律，將會(huì)得到不同的解法。本題是根據(jù)1991年11月5日第一版“教你思考”欄中一題改編而成的。

　　4.解：由“樂”代表9，可推到“學(xué)”代表1，“數(shù)”代表6；由積是一個(gè)十位數(shù)，并且前兩位數(shù)都是6，可推知“我”代表8。

　　說(shuō)明：本題是把1992年5月25日第四版上談祥柏先生寫的“六一專稿”里一題變了一下形式。要推知“樂”、“學(xué)”、“數(shù)”各代表什么數(shù)字，只要運(yùn)用所學(xué)的“自然數(shù)平方尾數(shù)性質(zhì)”及進(jìn)位的知識(shí)，就會(huì)立即得到結(jié)果。再推“我”代表幾就稍難些。

　　需要用估值法：

　　所以8≤我≤9顯然，“我”只能是8。

　　5.解：畫一個(gè)日歷表，從表中馬上看出：

　　1993年1月4日星期一。

　　說(shuō)明：根據(jù)“有五個(gè)星期五”，可知從第一個(gè)星期五到第五個(gè)星期五之間共有29天。31-29=2（天），這多余的2天是在第一個(gè)星期五前，還是在第五個(gè)星期五之后呢？如果在第一個(gè)星期五之前，那就多一個(gè)星期四，這與題中條件不符。所以應(yīng)把多余的2天排在月末。這種借助日歷表推算的方法，本報(bào)1992年3月25日第一版“小讀者園地”欄目中介紹過(guò)。

　　7.解：張斌是記者。

　　說(shuō)明：這是根據(jù)本報(bào)1992年3月15日“奧林匹克學(xué)�！睓谕评韱�(wèn)題例1改編而成的。具體推理過(guò)程是――

　　假設(shè)李志明是記者，那么李志明、張斌都說(shuō)了真話，而三人中只有一人說(shuō)真話。這說(shuō)明假設(shè)不正確，李志明不是記者（李志明說(shuō)了假話）。也就是說(shuō)，王大為說(shuō)了真話。另一個(gè)說(shuō)假話的是張斌。從而推知：張斌是記者。

　　也就是5X＜76＜5Y

　　又因?yàn)閄、Y是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)

　　所以，必有X=15，Y=16

　　解法二：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

　　由“X、Y是連續(xù)自然數(shù)”推知X=15，Y=16。

　　說(shuō)明：僅從題中的不等式不容易判斷X、Y的取值范圍，這就想到了通分；要通分，就要運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。有了X、Y的取值范圍，再附加“X、Y是連續(xù)自然數(shù)”這個(gè)條件的限制，X、Y的值也就不難判斷了。本報(bào)207期第三版上曾登過(guò)類似的題。

　　因?yàn)?|A，5|A，所以，c=0；

　　因?yàn)?|A，所以3|（a＋b）；

　　因?yàn)?1|A，所以a-b=1

　　考慮到所組成的七位數(shù)應(yīng)該最小，因而取a＋b=3。這就推出：a=2，b=1。即要求的最小的七位數(shù)是1992210。

　　說(shuō)明：解答本題需要熟悉能被2、5、3、11整除的數(shù)的特征，再把根據(jù)這些特征推出的結(jié)果綜合在一起，加上“最小”這一條件，就可以確保答案是唯一的。這道題比本報(bào)第226期“賽前訓(xùn)練”的第3題還要略簡(jiǎn)單些。

　　222222=2×111111=2×111×1001

　　而1001=7×11×13

　　所以222222能被13整除。

　　因?yàn)?998=6×333，22÷13=1……9

　　所以，要求的余數(shù)是9。

　　說(shuō)明：讀者容易聯(lián)想到：本報(bào)第240期“小讀者園地”欄目介紹了“1001”的兩條性質(zhì)，因?yàn)?22222=2×111111。運(yùn)用“111111=111×1001”與“1001=7×11×13”這兩個(gè)等式，可把題目轉(zhuǎn)化為“求22÷13的余數(shù)是幾”。有些選手分別計(jì)算2、22、222、2222，……被13除所得的余數(shù)，再?gòu)闹姓页鲋芷谛砸?guī)律，也同樣能求得余數(shù)是9，但這樣做太麻煩，又費(fèi)時(shí)，不可取。

　　11.解：8×1992=15936（個(gè)“1”）8×1991=15928（個(gè)“10”）8×1990

　　=15920（個(gè)“100”）

　　從上面豎式中看出：所求個(gè)位數(shù)字是6，十位數(shù)字是1，百位數(shù)字是2。

　　說(shuō)明：解答本題并不難，只要注意計(jì)數(shù)單位和進(jìn)位制，再做簡(jiǎn)單的乘法、加法運(yùn)算就可以了。詳見本報(bào)第192期“教你思考”欄謝悠南文。

　　12.解：本題答案不唯一，下面列出幾種：

　　說(shuō)明：解本題有兩種思路――

母（如12）的任意兩個(gè)約數(shù)（如3、4），然后把它們的和分別同這兩個(gè)約

　　當(dāng)我們把一個(gè)單位分?jǐn)?shù)分解成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)后，又可以繼續(xù)采用上面的方法，把其中某一個(gè)單位分?jǐn)?shù)再一分為二。這樣，只要重復(fù)分解，可以把一個(gè)單位分?jǐn)?shù)分解成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。

　　三、應(yīng)用題

張師傅往返全程，共用了12小時(shí)。于是，省城和縣城之間的路程是

　　張師傅往返一趟共行了358.4×2=716.8（千米）

　　解法二：設(shè)縣城與省城之間的路程為X千米。根據(jù)題意，列方程

　　2X=358.4×2=716.8（千米）

　　答：張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行了716.8千米。

　　說(shuō)明：本題的解法不止這兩種，比如，還可以根據(jù)張師傅往、返的速度之間的關(guān)系，把往返一趟所用的時(shí)間分成“往”、“返”兩部分，當(dāng)同學(xué)們下學(xué)期學(xué)過(guò)正、反比例之后，會(huì)自然而然地想到這一點(diǎn)。不過(guò)，還是解法一比較簡(jiǎn)便，這種解法本報(bào)第187期《巧用“包含除”》一文中專門介紹過(guò)。

　　2.解法一：畫出圖來(lái)，不難列出這樣的算式（66-2×5）÷（5+2）=8（厘米），長(zhǎng)方形面積為8×8+66=130（平方厘米）

　　解方程，得X=8

　　說(shuō)明：解答本題，只要畫一個(gè)草圖，就不難找到題中的等量關(guān)系。然后用算術(shù)方法或代數(shù)方法解都很簡(jiǎn)單。本報(bào)第213期第3版有一道類似的題。

　　解法二：6.25×4÷（6-4）+6.25

　　=18.75（噸）

　　答：第二堆煤原有18.75噸。

　　說(shuō)明：如果順著題中的條件去想，那就不容易找到解題的思路，因?yàn)轭}中的“標(biāo)準(zhǔn)量”――第2堆煤的數(shù)量在變，4倍與6倍也就聯(lián)系不上。其實(shí)，只要反過(guò)來(lái)一想，把第一堆煤作為標(biāo)準(zhǔn)量，數(shù)量關(guān)系就明朗化了。解法一的思路正是這樣。

　　還可以這樣想：如果從第一堆煤中運(yùn)走“6.25×4”噸，那么第一堆煤就是現(xiàn)在第二堆煤數(shù)量的4倍；如果一點(diǎn)都不運(yùn)走的話，那么第一堆煤就是現(xiàn)在第二堆煤的6倍，從而，可求出現(xiàn)在第二堆還有6.25×4÷（6-4）=12.5（噸），再加上6.25噸，就是第二堆煤原來(lái)的噸數(shù)。這就是解法二的算理。本題是根據(jù)本報(bào)第197期《反過(guò)來(lái)想想》一文中第二題改編的。

　　4.解法一：（70×4-80×3）÷（4-3）=40

　　或（70×4K-80×3K）÷（4K-3K）=40

　�。↘為自然數(shù)）

　　解法二：設(shè)不及格的人平均成績(jī)?yōu)閄分。

　　根據(jù)題意列方程

　　解方程，得X=40

　　答：不及格的人的平均分?jǐn)?shù)為40分。

　　說(shuō)明：本題是本報(bào)第238期“趣題巧解”中的原題，解題思路詳見報(bào)紙第241期《為什么可以設(shè)全班人數(shù)為4呢》一文。

　　5.解法一：（等量假設(shè)法）假設(shè)所賣出的《中學(xué)生手冊(cè)》和《小學(xué)生手冊(cè)》的本數(shù)同樣多，也就是各為60本，那么，所賣的《中學(xué)生手冊(cè)》比小學(xué)生手冊(cè)》就要多收入（5-3.75）×60=75（元），而實(shí)際多收入162.5元，相差162.5-75=87.5（元）。這就可以求出少算的《中學(xué)生手冊(cè)》的本數(shù)為（162.5-75）÷（5＋3.75）=10（本）

　　60＋10=70（本）……《中學(xué)生手冊(cè)》的本數(shù)

　　60-10=50（本）……《小學(xué)生手冊(cè)》的本數(shù)

　　解法二：（同一假設(shè)法）假設(shè)所賣出的120本全是《中學(xué)生手冊(cè)》，那么，仿照解法一就可以先求出《小學(xué)生手冊(cè)》的本數(shù)

　�。�5×120-162.5）÷（5＋3.75）=50（本）

　　120-50=70（本）……《中學(xué)生手冊(cè)》的本數(shù)

　　解法三：（列方程解）設(shè)《中學(xué)生手冊(cè)》有X本，根據(jù)題意，列方程5X-（120-X）×3.75=162.5

　　解得 X=70

　　120-X=50（本）

　　答：這五天內(nèi)共賣出《中學(xué)生手冊(cè)》70本，《小學(xué)生手冊(cè)》50本。

　　說(shuō)明：就這道題的“條件”和“問(wèn)題”來(lái)看，挺有些像“雞兔同籠問(wèn)題”。解這類題常用的方法有算術(shù)（假設(shè)）和列方程兩種方法，這是選手們已經(jīng)掌握的（見本報(bào)216期《插上想象的翅膀》一文）。在解法一和解法二中，實(shí)際的“多收入”與假設(shè)后的“多收入”之間有個(gè)“差”，這個(gè)差是怎么來(lái)的，不是由于每賣1本《中》比賣1本《小》要多收入“5-3.75”元，而是因?yàn)槿绻�有一本《中》被假設(shè)（換）成《小》，那么《中》比《小》多收入的部分就減少了“5＋3.75”元。這一點(diǎn)千萬(wàn)不能搞錯(cuò)。

　　因?yàn)椤鰽BE與△ABD對(duì)應(yīng)于BE、AD邊上的高相等，所以△ABD的面積

　　答：梯形面積是28平方米。

　　說(shuō)明：解答本題的關(guān)鍵是進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化：（1）轉(zhuǎn)化面積差：把已知條件“△BOE的面積比△AOD的面積大4平方米”，轉(zhuǎn)化為“△ABF的面積比△ABD的面積大4平方米”；（2）轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系：把

是高相等）。具體算法還很多，但基本思路都是轉(zhuǎn)化。本報(bào)第220期第一版有兩篇文章中介紹過(guò)類似的轉(zhuǎn)化技巧。

　　四、解：剪拼方法不唯一，這里給出兩種（如圖9，圖10）：

　　說(shuō)明：這是一道動(dòng)手操作的“實(shí)驗(yàn)”題。不過(guò)，在動(dòng)手之前，先得算一算、想一想，也就是我們常說(shuō)的“手腦并用”。剪之前，可以這樣想：“T”形圖的面積為

　　4×3-2×1×2=8（平方厘米）

　　這就是說(shuō)，我們要拼成的正方形的面積應(yīng)該是8平方厘米。這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少呢？這可難了。如果我們假設(shè)這個(gè)正方形已經(jīng)拼成，那么，把它的兩條對(duì)角線連起來(lái)后，這個(gè)正方形就被分成了4個(gè)等腰直角三角形，其中的兩個(gè)可以拼成一個(gè)面積為4（邊長(zhǎng)為2）的正方形（如圖11）。從圖中看出所拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是面積為4平方厘米的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)（圖11中的AB）。根據(jù)以上推算，容易想到圖9、圖10的兩種剪拼方法。

　　所以，同學(xué)們今后碰到類似的動(dòng)手操作題，應(yīng)當(dāng)先想想、算算，千萬(wàn)不能無(wú)把握地下手。不然的話，費(fèi)了時(shí)間，還找不到正確解法。其實(shí)，選手們應(yīng)當(dāng)從本報(bào)第214期第四版《等積變形》一文中受到啟發(fā)。