第七屆日本數(shù)學(xué)奧林匹克竟賽試題分析
來源：網(wǎng)友投稿 文章作者：王海山 張麗 2008-11-04 09:16:08
問題1 兩個整數(shù)相加時，得到的數(shù)是一個兩位數(shù)，且兩個數(shù)字相同；相乘時，得到的數(shù)是一個三位數(shù)，且三個數(shù)字相同，請寫出所有滿足上述條件的兩個整數(shù)。
分析與解 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17，共有16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了�？梢詮某朔e入手，因?yàn)槿齻�數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37×3，因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍（想想為什么？）
把九個三位數(shù)分解：
111=37×3 222=37×6=74×3
333=37×9 444=37×12=74×6
555=37×15 666=37×18=74×9
777=37×21 888=37×24=74×12
999=37×27
把兩個因數(shù)相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的兩位數(shù)字相同。所以滿足見意的答案是74和3，37和18。
問題2 把26個玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個袋子里，每個袋子里的球數(shù)不同且都裝了1個以上。用一臺天平稱重量，當(dāng)稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響�？聪聢D。
當(dāng)①、③、④的狀態(tài)時，警鈴就響；②的狀態(tài)時，警鈴不響。
請按從小到大的順序?qū)懗鲅b入5個袋中玻璃球的數(shù)量的組合（例如：1、3、5、7、10），并寫出所有的組合。
分析與解 根據(jù)題意，a、b、c、d、e袋中裝的玻璃球的數(shù)量各不相同。a、b、c、d、e五個袋子里共裝有26個玻璃球，這26個玻璃球的重量應(yīng)是相同的，所以五個袋子的重量各不相同。用一臺天平稱重，當(dāng)稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響，這一條件，應(yīng)理解為天平稱得的玻璃球個數(shù)是11或多于11個時，超重警鈴就會響。從給出的條件可知：
比較（2）、（3）、（4）式可知，a＜b，a＜d。
由（1）+（3），（1）+（4），（5）式可得：
由上面的三個式子可知，b、d兩袋中球的數(shù)量是4或3或2或1個，但由于a＜b，a＜d，所以a袋中球的數(shù)量是2或1個，b、d兩袋中的球只能是4或3或2個。進(jìn)一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的數(shù)量只能是8或9個。
由此可列舉出符合題意的數(shù)組，它們是：
�。�1、2、3、9、11）（1、2、4、9、10）
�。�1、3、4、8、10）（2、3、4、8、9）
問題3 把6cm×10cn的長方形沿點(diǎn)線分割成4個圖形，請按下面兩個要求分割。
①分割后的4個圖形，面積可大可小，但它們應(yīng)該互為相似形；
②分割后的4個圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形。
請回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實(shí)線畫出（翻轉(zhuǎn)后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法）。
分析與解 先來解釋一下什么是相似形。把一個多邊形的各邊都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)后與另一個多邊形的每一對應(yīng)邊都完全重合，這樣的兩個多邊形就是相似形。例如，所有的等邊三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的。
把大長方形沿點(diǎn)線分割成4部分，可以將其分成四個長方形。根據(jù)長方形長與寬的不同比值，結(jié)合題意，枚舉出每一類可能分割出的長方形，看用哪一類中的4個長方形（面積不同的）能拼出6cm×10cm的長方形（為了敘述方便，下面省去單位）。
�。ㄒ唬�1×n形（即長方形長與寬的比是1：n，n是整數(shù)）
（l）最小的長方形是1×1，與它相似的長方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6。
可以分割出6×6的長方形（見圖1）。
不能分割出5×5的長方形（見圖2），因?yàn)椴徽摪?/font>5 × 5的長方形放在6 × 10的長方形中的哪一位置，在這個5×5的長方形的上邊（或下邊）的5個小正方形，只能分割成5塊1×1的長方形，這顯然不合題意。
分割出的長方形中最大的不可能是4×4或更小的。因?yàn)椋?/font>4 × 4）× 4= 64＞ 6 × 10，（4 × 4） × 3+（3 × 3）×1=57＜ 6 × 10。
（2）最小的長方形是1×2，與其相似的長方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10。
不能分割出5×10的長方形（分析同（1）中 5×5）。
也不能分割出4×8的長方形（見圖3），因?yàn)?/font>6×10-（4 × 8） ×1=32，（2 × 4）×3= 24＜32。
還不能分割出3×6的長方形。不能分出4個3×6的長方形，因?yàn)椋?/font>3 × 6）× 4=72＞ 6 × 10。不能分出3個3×6的長方形，因?yàn)?/font>6×10-（3×6）×3=6， 1×2=2＜ 6，2 × 4 = 8＞6。不能分出2個3×6的長方形，因?yàn)?/font>60-（3×6）×2=24，（2×4）×2=16＜24，也不能分出1個 3×6的長方形，因?yàn)椋?/font>3×6）×l+（2×4）×3=42＜60。
更不能分割出2×4或回1×2的長方形，因?yàn)椋?/font>2×4） × 4=32＜ 6×10。
�。�3）最小的長方形是1×3，與其相似的長方形有2×6，3×9。
可以分割出3×9的長方形（見圖4）。
不能分割出2×6的長方形，因?yàn)椋?/font>2×6）×4=48＜ 6×10。
�。�4）最小的長方形是1×4，與其相似的長方形有2×8，這樣的兩個長方形都不能分割出來。因?yàn)椋?/font>2×8）×4=64＞6×10，（2×8）×3+（1×4）×1=52＜6×10。
�。�5）最小的長方形是1×5，與其相似的長方形有2×10，這樣的兩個長方形都不能分割出來。因?yàn)椋?/font>2 ×10）×3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50＜ 6×10。
�。�6）同樣可以證明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10這些長方形。
（二）對于2×n、3×n、4×n、5×n形的長方形，按照（一）的分析方法，可以找到一種符合題意的分割方法（見圖5）。
也可以把6×10的長方形沿點(diǎn)線分割成其他多邊形（見圖6）。
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