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第二十四講整數(shù)問題:關(guān)于綜合題之三

來源:www.jiajiao100.com 文章作者:dfss 2008-11-04 09:34:27

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A5015  19分成若干個正整數(shù)之和,使其積為最大.

【題說】1984年上海市賽一試題29).

【解】由于分法只有有限種,其中必有一種分法,分成的各數(shù)的積最大.我們證明這時必有:

1)分成的正整數(shù)只能是23

因?yàn)?/font>4=22,且4=2×2,若分出的數(shù)中有4,拆成兩個2其積不變;若分出的數(shù)中有數(shù)a5.則只要把a拆成2a2,由2a2)>a知道積將增大.

2)分成的正整數(shù)中,2最多兩個.

2至少有3個,則由33=2223×32×2×2可知,將32換成23,積將增大.

所以,將19分成5322的和,這些數(shù)的積35×22=972是最大的.

A5016  設(shè)ab、c、d是奇整數(shù),0abcd,且ad=bc.證明:如果對某整數(shù)kmad=2kbc=2m,那末a=1

【題說】第二十五屆(1984年)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題6

【證】因?yàn)?/font>a[ad)-(bc]

=a2adabaca2bcabac=ab)(ac)>0

所以adbc,即2k2mkm

又由ad=bc,有                        a2ka=b2mb

2mb2k-ma=b2a2=ba)(ba

可知2m整除(ba)(ba).但baba不能都被4整除(因?yàn)樗鼈兊暮褪?/font>2b,而b是奇數(shù)),所以2m-1必整除baba之一.

因?yàn)?/font>babc=2m,所以ba=2m-1ba=2m-1

因?yàn)?/font>a、b是奇數(shù),它們的公因數(shù)也是奇數(shù),且是baba的因數(shù),從而是2m-1的奇因數(shù),即1.所以ab互質(zhì),同理ac也互質(zhì).但由ad=bc,知a能整除bc,故a=1

A5017  對正整數(shù)n1的一個劃分π,是指將n分成一個或若干個正整數(shù)之和,且按非減順序排列(如n=4,劃分π有1111112,13,2245種).對任一劃分π,定義A(π)為劃分π中數(shù)1出現(xiàn)的個數(shù);B(π)為π中出現(xiàn)不同的數(shù)的個數(shù)(如對n=13的一個劃分π:112225而言,A(π)=2,B(π)=3).求證:對任意正整數(shù)n,其所有劃分π的A(π)之和等于B(π)之和.

【題說】第十五屆(1986<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-h

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