第二十七講代數(shù):關(guān)于集合、數(shù)、式之一
來源:www.jiajiao100.com 文章作者:dfss 2008-11-04 09:36:23

B1-001 把含有12個元素的集分成6個子集,每個子集都含有2個元素,有多少種分法?
【題說】1969年~1970年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題5.
【解】將12個元素排成一列有12!種方法.排定后,從左到右每2個一組就得到6個2元子集.同一組中2個元素順序交換得到的是同一子集.6個子集順序交換得到的是同樣的分法,因此共有
種不同的分法.
[別解]設(shè)a1是集中的一個元素,將a1與其余11個元素中的任一個結(jié)合,就得到含a1的2元子集,這種2元子集共有11種.
確定含a1的子集后,設(shè)a2是剩下的一個元素,將a2與其余9個元素中的任一個結(jié)合,就得到含a2的2元子集,這種子集共有9種.
如此繼續(xù)下去,得到6個2元子集.共有11×9×7×5×3=10395種分法.
B1-002 證明:任一個有限集的全部子集可以這樣地排列順序,使任何兩個鄰接的集相差一個元素.
【題說】1971年~1972年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題5.
【證】設(shè)有限集A含n個元素.當(dāng)n=1時,子集序列φ,A即滿足條件.
假設(shè)n=k時命題成立,對于k+1元集
A={x1,x2,…,xk+1}
由歸納假設(shè),{x1,x2,…,xk}的子集可排成序列
B1,B2,…,Bt (t=2k)
滿足要求.因此A的子集也可排成序列
B1,B2,…,Bt,Bt∪{xk+1},Bt-1∪{xk+1},…,B2∪{xk+1}B1∪{xk+1},滿足要求.
于是命題對一切自然數(shù)n均成立.
B1-003 設(shè)1≤r≤n,考慮集合{1,2,3,…,n}的所有含r個元素的子集及每個這樣的子集中的最小元素,用F(n,r)表示一切這樣的子集各自的最小元素的算術(shù)平均數(shù).證明:
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【題說】第二十二屆(1981年)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題2.
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這n-k個數(shù)中選出).所以
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將(1)式右邊的和寫成一個表
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將上表每一行加起來,再將這些行和相加便得(1)的右邊的分子,現(xiàn)
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B1-004 定義一個數(shù)集的和為該集的所有元素的和.設(shè)S是一些不大于15的正整數(shù)組成的集,假設(shè)S的任意兩個不相交的子集有不相同的和,具有這個性質(zhì)的集合S的和的最大值是多少?
【題說】第四屆(1986年)美國數(shù)學(xué)邀請賽題12.
【解】先證明S元素個數(shù)至多是5.如果多于5個,則元素個數(shù)不
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S的元素個數(shù)≤5,所以S的和≤15+14+13+12+11=65.如果S的和≥62,則S的元數(shù)為5,并且15、14均在S中(S的和至多比15+14+13+12+11少3).這時S中無其它的連續(xù)整數(shù),因而只有一種情況即{15,14,13,11,9),不難看出它不滿足條件.
所以,S的和≤61.特別地,S={15,14,13,11,8}時,和取最大值61.
B1-006 對有限集合A,存在函數(shù)f:N→A具有下述性質(zhì):若|i-j|是素數(shù),則f(i)≠f(j),N={1,2,…}.求有限集合A的元素的最少個數(shù).
【題說】1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題4.
【解】1,3,6,8中每兩個數(shù)的差為素數(shù),所以f(1),f(3),f(6),f(8<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; m
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