例談絕對值問題的求解方法詳解
來源:網(wǎng)友投稿 2008-11-04 09:37:42

一、定義法
例1 若方程 只有負(fù)數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是:_________。
分析與解 因為方程只有負(fù)數(shù)解,故 ,原方程可化為:
,
∴ ,
即
說明 絕對值的意義有兩點。其一,一個正數(shù)的絕對值是它本身,一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),零的絕對值是零;其二,在數(shù)軸上表示一個點到原點的距離。利用絕對值的定義常可達到去掉絕對值符號的目的。
二、利用非負(fù)性
例2 方程 的圖象是( )
(A)三條直線:
(B)兩條直線:
(C)一點和一條直線:(0,0),
(D)兩個點:(0,1),(-1,0)
分析與解 由已知,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得
即 或
解之得: 或
故原方程的圖象為兩個點(0,1),(-1,0)。
說明 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì),可以將絕對值符號去掉,從而將問題轉(zhuǎn)化為其它的問題來解決。
三、公式法
例3 已知 ,求
的值。
分析與解 ,
∴原式
說明 本題根據(jù)公式 ,將原式化為含有
的式子,再根據(jù)絕對值的定義求值。
四、分類討論法
例4 實數(shù)a滿足 且
,那么
分析與解 由 可得
且
。
當(dāng) 時,
;
當(dāng) 時,
說明 有的題目中,含絕對值的代數(shù)式不能直接確定其符號,這就要求分情況對字母涉及的可能取值進行討論。
五、平方法
例5 設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式 ,則
(A) 且
(B) 且
(C) 且
(D) 且
分析與解 由于a、b滿足題設(shè)的不等式,則有
,
整理得
,
由此可知 ,從而
上式僅當(dāng) 時成立,
∴ ,即
且
,
選B。
說明 運用此法是先對不等式進行平方去掉絕對值,然后求解。
六、圖示法
例6 在式子 中,由不同的x值代入,得到對應(yīng)的值。在這些對應(yīng)值中,最小的值是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
分析與解 問題可變化為:在數(shù)軸上有四點A、B、C、D,其對應(yīng)的值分別是-1、-2,-3、-4,求一點P,使 最。ㄈ鐖D)。
由于 是當(dāng)P點在線段AD上取得最小值3,
是當(dāng)P在線段BC上取得最小值1,故
的最小值是4。選D。
說明 由于借助圖形,巧妙地把問題在圖形中表示出來,形象直觀,便于思考,從而達到快捷解題之目的。
七、驗證法
例7 是一個含有4重絕對值符號的方程,則( )
(A)0、2、4全是根
(B)0、2、4全不是根
(C)0、2、4不全是根
(D)0、2、4之外沒有根
分析與解 從答案中給出的0、2、4容易驗證都是方程的根,并且通過觀察得知-2也是一根,因此可排除B、C、D,故選A。
說明 運用此法是從題干出發(fā),取符合題意的某些特殊值或特殊圖形,與選擇支對照檢驗,從而判定各個選擇支的正誤。
八、代數(shù)式零點法
例8 的最小值是_________。
分析與解 由 可確定零點為-1、2、3。
當(dāng) 時,
原式 ;
當(dāng) 時,
原式 ;
當(dāng) 時,
原式 ;
當(dāng) 時,
原式
綜上知所求最小值為4。
說明 運用此法解決含字母代數(shù)式絕對值化簡方法是:(1)先求代數(shù)式零點,把數(shù)軸分為若干區(qū)間;(2)判定各區(qū)間內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)號;(3)依據(jù)絕對值的定義,去掉絕對值符號。
九、數(shù)形結(jié)合法
例9 已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示,并設(shè)
,則( )
(A) (B)
(C)
(D)不能確定M為正、負(fù)或為0
分析與解 令 中
,由圖象得:
;
令 得
∵頂點在第四象限,
∴頂點的橫坐標(biāo)
又 ,
而 ,
∴ ,即
故
選C。
說明 運用此法是將抽象思維和形象思維結(jié)合起來,達到以形助數(shù),以數(shù)助形,可以使許多復(fù)雜問題獲得簡便的解決。
十、組合計數(shù)法
例10 方程 ,共有幾組不同整數(shù)解
(A)16 (B)14 (C)12 (D)10
分析與解 由已知條件可得
當(dāng) 時,
;
當(dāng) 時,
;
當(dāng) 時,
;
當(dāng) 時,
。
共有12組不同整數(shù)解,故選C。
說明 此法具有較強的技巧性,必須認(rèn)真分析條件,進行分類、歸納,從中找出解決問題的方法。
十一、枚舉法
例11 已知a為整數(shù), 是質(zhì)數(shù),試確定a的所有可能值的和。
分析與解 設(shè) 是質(zhì)數(shù)p,則
僅有因子±1及
。
當(dāng) 時,
,此時,
;
當(dāng) 時,
,此時,
;
當(dāng) 時,
,此時,
;
當(dāng) 時,
,此時,
∴當(dāng)a取整數(shù)-1、-2、5、4時, 是質(zhì)數(shù), 即a的所有可能值的和為6。
說明 運用此法是指在題目條件的范圍內(nèi),將可能的情況一一列舉出來,然后通過比較、檢驗進行篩選,最終確定結(jié)果。
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