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例談絕對值問題的求解方法詳解

來源:網(wǎng)友投稿 2008-11-04 09:37:42

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在初中數(shù)學(xué)競賽試題中常出現(xiàn)絕對值問題,這是初中生較難把握的一類問題,現(xiàn)介紹若干種常見的解題方法,供參考。

  一、定義法

  1  若方程 只有負(fù)數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是:_________。

  分析與解  因為方程只有負(fù)數(shù)解,故 ,原方程可化為:

   ,

   ,

  

  說明  絕對值的意義有兩點。其一,一個正數(shù)的絕對值是它本身,一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),零的絕對值是零;其二,在數(shù)軸上表示一個點到原點的距離。利用絕對值的定義常可達到去掉絕對值符號的目的。

  二、利用非負(fù)性

  2  方程 的圖象是(   )

  A)三條直線:

  B)兩條直線:

  C)一點和一條直線:(0,0),

  D)兩個點:(0,1),(-1,0)

  分析與解  由已知,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得

  

  解之得:

  故原方程的圖象為兩個點(0,1),(-1,0)。

  說明  利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì),可以將絕對值符號去掉,從而將問題轉(zhuǎn)化為其它的問題來解決。

  三、公式法

  3  已知 ,求 的值。

  分析與解 

  ∴原式

       

  說明  本題根據(jù)公式 ,將原式化為含有 的式子,再根據(jù)絕對值的定義求值。

  四、分類討論法

  4  實數(shù)a滿足 ,那么

  分析與解  由 可得

  *

  當(dāng) 時,

   ;

  當(dāng) 時,

  

  說明  有的題目中,含絕對值的代數(shù)式不能直接確定其符號,這就要求分情況對字母涉及的可能取值進行討論。

  五、平方法

  5  設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式 ,則

  A)

  B)

  C)

  D)

  分析與解  由于a、b滿足題設(shè)的不等式,則有

   ,

  整理得

   ,

  由此可知 ,從而

  

  上式僅當(dāng) 時成立,

   ,即

  B。

  說明  運用此法是先對不等式進行平方去掉絕對值,然后求解。

  六、圖示法

  6  在式子 中,由不同的x值代入,得到對應(yīng)的值。在這些對應(yīng)值中,最小的值是(   )

  A)1  (B)2  (C)3  (D)4

  分析與解  問題可變化為:在數(shù)軸上有四點A、B、C、D,其對應(yīng)的值分別是-1、-2,-3、-4,求一點P,使 最。ㄈ鐖D)。

  

  由于 是當(dāng)P點在線段AD上取得最小值3, 是當(dāng)P在線段BC上取得最小值1,故 的最小值是4。選D。

  說明  由于借助圖形,巧妙地把問題在圖形中表示出來,形象直觀,便于思考,從而達到快捷解題之目的。

  七、驗證法

   是一個含有4重絕對值符號的方程,則(   )

  A)0、2、4全是根
(B)0、2、4全不是根

  C)0、2、4不全是根

  D)0、2、4之外沒有根

  分析與解  從答案中給出的0、2、4容易驗證都是方程的根,并且通過觀察得知-2也是一根,因此可排除B、C、D,故選A。

  說明  運用此法是從題干出發(fā),取符合題意的某些特殊值或特殊圖形,與選擇支對照檢驗,從而判定各個選擇支的正誤。

  八、代數(shù)式零點法

   的最小值是_________。

  分析與解  由 可確定零點為-1、2、3。

  當(dāng) 時,

  原式 ;

  當(dāng) 時,

  原式 ;

  當(dāng) 時,

  原式 ;

  當(dāng) 時,

  原式

  綜上知所求最小值為4。

  說明  運用此法解決含字母代數(shù)式絕對值化簡方法是:(1)先求代數(shù)式零點,把數(shù)軸分為若干區(qū)間;(2)判定各區(qū)間內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)號;(3)依據(jù)絕對值的定義,去掉絕對值符號。

  九、數(shù)形結(jié)合法

  9  已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示,并設(shè) ,則(   )

  A)   (B)   (C)   (D)不能確定M為正、負(fù)或為0

  

  分析與解  令 ,由圖象得:

  

  ∵頂點在第四象限,

  ∴頂點的橫坐標(biāo)

  

   ,

   ,即

  

      

  C。

  說明  運用此法是將抽象思維和形象思維結(jié)合起來,達到以形助數(shù),以數(shù)助形,可以使許多復(fù)雜問題獲得簡便的解決。

  十、組合計數(shù)法

  10  方程 ,共有幾組不同整數(shù)解

  A)16  (B)14  (C)12  (D)10

  分析與解  由已知條件可得

  

  

  當(dāng) 時, ;

  當(dāng) 時,

  當(dāng) 時, ;

  當(dāng) 時, 。

  共有12組不同整數(shù)解,故選C。

  說明  此法具有較強的技巧性,必須認(rèn)真分析條件,進行分類、歸納,從中找出解決問題的方法。

  十一、枚舉法

  11  已知a為整數(shù), 是質(zhì)數(shù),試確定a的所有可能值的和。

  分析與解  設(shè) 是質(zhì)數(shù)p,則 僅有因子±1及

  

  當(dāng) 時,

   ,此時, ;

  當(dāng) 時,

   ,此時, ;

  當(dāng) 時,

  * ,此時, ;

  當(dāng) 時,

  * ,此時,

  ∴當(dāng)a取整數(shù)-1、-2、5、4時, 是質(zhì)數(shù), 即a的所有可能值的和為6。

  說明  運用此法是指在題目條件的范圍內(nèi),將可能的情況一一列舉出來,然后通過比較、檢驗進行篩選,最終確定結(jié)果。

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