關(guān)于影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的因素
來源:網(wǎng)絡(luò) 文章作者:章建躍 2008-11-04 09:38:04

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移不是自動(dòng)發(fā)生的,它受制于許多因素。其中最主要的有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的因素、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括水平以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定勢(shì)。
一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的相似性
遷移需要通過對(duì)新舊學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、抽象,概括出其中共同的經(jīng)驗(yàn)成分才能實(shí)現(xiàn)。因此,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料在客觀上要有相似性。心理學(xué)的研究表明,相似程度的大小決定著遷移范圍和效果的大小。許多心理學(xué)家從學(xué)習(xí)對(duì)象的結(jié)構(gòu)來分析相似性對(duì)遷移的影響。學(xué)習(xí)對(duì)象的構(gòu)成成分可以區(qū)分為結(jié)構(gòu)的和表面的。例如,一元二次方根的判別式
,字母是表面成分,“一次項(xiàng)系數(shù)”-“二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)之積的4倍”是其結(jié)構(gòu)成分。如果兩個(gè)任務(wù)有共同的結(jié)構(gòu)成分,則產(chǎn)生正遷移,否則不能促進(jìn)正遷移。學(xué)習(xí)任務(wù)之間的相似性是由共同因素決定的,共同因素越多,相似性越大。但不管是表面的還是結(jié)構(gòu)的相似性,都將增加學(xué)生對(duì)兩個(gè)任務(wù)的相似性程度的知覺,而知覺到的相似性決定了遷移量的多少,兩種情景的結(jié)構(gòu)相似性決定了遷移的正或負(fù)。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,注意抓共同因素,通過共同因素來促進(jìn)遷移,可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。
例1 已知 ,求證:a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列。
分析:由已知條件的結(jié)構(gòu)與一元二次方程根的判別式結(jié)構(gòu)的相似性,構(gòu)造方程:
,①
由條件知①有等根,又由其系數(shù)之和為0,知①有根x=1。從而由韋達(dá)定理得:
由此即得所證。
二、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括水平
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移是一種學(xué)習(xí)中習(xí)得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響,也就是已有經(jīng)驗(yàn)的具體化與新課題的類化過程或新、舊經(jīng)驗(yàn)的協(xié)調(diào)過程。因此,已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括水平對(duì)遷移的效果有很大影響。一般來說,概括水平越低,遷移范圍就越小,遷移效果也越差;反之,概括水平越高,遷移的可能性就越大,效果也越好。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,重視基本概念、基本原理的理解,重視數(shù)學(xué)思想方法的掌握,其意義就在于這些知識(shí)的概括水平高,容易實(shí)現(xiàn)廣泛的、效果良好的遷移。
心理學(xué)家以專家和新手作為被試對(duì)學(xué)習(xí)情景的結(jié)構(gòu)相似性和表面相似性進(jìn)行了深入的研究。結(jié)果表明,當(dāng)兩種學(xué)習(xí)具有結(jié)構(gòu)相似性但表面不相似時(shí),專家比新手更易產(chǎn)生正遷移。而兩種學(xué)習(xí)僅具有表面相似性時(shí),新手比專家更易產(chǎn)生負(fù)遷移。其原因是新手一般根據(jù)看得見的表面特征來形成表象,而對(duì)抽象的結(jié)構(gòu)特征往往注意不到。新手應(yīng)用表面特征作為提取線索,只要兩個(gè)問題具有相似的表面特征,他們就會(huì)用同樣的方式來解決。但專家往往善于從抽象的結(jié)構(gòu)水平上把握相似性,較少受表面特征的干擾。如果產(chǎn)生了負(fù)遷移,專家會(huì)在嘗試使用錯(cuò)誤程序后,以相似性和結(jié)構(gòu)這兩種特征作為提取線索,對(duì)兩個(gè)任務(wù)的關(guān)系重新進(jìn)行分析、加工,這就比較容易擺脫負(fù)遷移。專家之所以能夠做到這一點(diǎn),其原因就在于他們善于從深層結(jié)構(gòu)上去理解知識(shí),把知識(shí)與其應(yīng)用的條件、應(yīng)用方式結(jié)合起來,從而準(zhǔn)確地把握知識(shí)的功能。
例1 關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)公共實(shí)根,求k的值。
例2 關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)公共實(shí)根,求p+q的值。
在學(xué)習(xí)了一元二次方程根的概念后,將上述兩個(gè)問題一起呈現(xiàn),觀察學(xué)生在解題中的表現(xiàn)?梢园l(fā)現(xiàn),解例1的過程是:
令α為它們的公共根,由根的概念,有
,
兩式相減得
,
顯然,k≠1,因此,α=1,于是k=-2。
解例2時(shí),大多數(shù)學(xué)生重復(fù)了解例1時(shí)的過程。
但是,對(duì)專家解答上述兩個(gè)問題的觀察可以發(fā)現(xiàn),他們?cè)诮獯鹄?時(shí),先分析它的結(jié)構(gòu)特征,在發(fā)現(xiàn)例1僅僅是它的特例后,利用例1所提供的“結(jié)構(gòu)信息”,在心中默想讓p=k,q=1,不需進(jìn)行重復(fù)操作而直接說出了答案為-1。
我們知道,在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中,已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有概括水平高、包容范圍廣、能夠起固定作用的有關(guān)知識(shí),而且這些知識(shí)是清晰、穩(wěn)定的,與新知識(shí)之間彼此可以容易地區(qū)分的,是新知識(shí)學(xué)習(xí)的最重要條件。這里講的也是已有經(jīng)驗(yàn)(認(rèn)知結(jié)構(gòu))的概括性問題。已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概括性高,新舊知識(shí)的本質(zhì)差異或相似性就容易辨別,而且,概括性與穩(wěn)定性、清晰性是緊密聯(lián)系的。因此,已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括性是影響遷移的不可忽視的重要因素。
總之,概括程度高的已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為正遷移的產(chǎn)生提供了最重要的先決條件。正如布魯納指出的,所掌握的知識(shí)越基礎(chǔ)、越概括,對(duì)新學(xué)習(xí)的適應(yīng)性就越廣泛,遷移就越廣泛。所以,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,即要強(qiáng)調(diào)理解抽象的、概括水平高的數(shù)學(xué)基本概念、原理、公式、法則等以及由內(nèi)容反映出的數(shù)學(xué)思想方法。領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)基本概念“是通向適當(dāng)?shù)摹?xùn)練遷移’的大道”。
三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定勢(shì)
定勢(shì)現(xiàn)象是一種預(yù)備性反應(yīng)或反應(yīng)的準(zhǔn)備,它是在連續(xù)活動(dòng)中發(fā)生的。在活動(dòng)進(jìn)程中,先前活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為后面的活動(dòng)形成一種準(zhǔn)備狀態(tài)。定勢(shì)是指向于一定活動(dòng)的動(dòng)力因素,它使學(xué)生傾向于在學(xué)習(xí)時(shí)以一種特定的方式進(jìn)行反應(yīng)。定勢(shì)本身是在一定活動(dòng)基礎(chǔ)上形成的,它實(shí)際上是關(guān)于活動(dòng)方向選擇方面的一種傾向性,這種傾向性本身是一種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。有的心理學(xué)家認(rèn)為,活動(dòng)的重復(fù)與活動(dòng)的需要是定勢(shì)形成的不可缺少因素。
由于定勢(shì)是關(guān)于選擇活動(dòng)方向的一種傾向性,因此對(duì)遷移來說,定勢(shì)的影響既可以起促進(jìn)作用也可以起阻礙作用。后續(xù)作業(yè)是先前作業(yè)的同類課題時(shí),一般來說,定勢(shì)對(duì)學(xué)習(xí)能夠起促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們往往利用定勢(shì)的這一作用,循序漸進(jìn)地安排一組具有一定變化性的問題,來促使學(xué)生掌握某種數(shù)學(xué)思想方法。
例1① 解方程|x+3|+|x-3|=10。
此題的解法很多,此處是為了使學(xué)生理解|x-A|的幾何意義在解題中的作用而設(shè)置,通過教學(xué)使學(xué)生初步掌握用絕對(duì)值意義解題的思想方法。
題中|x+3|、|x-3|分別表示實(shí)數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)-3、3的距離,分別用a、b表示這兩個(gè)距離。容易看出(如圖5.3.1),當(dāng)|x|≤3時(shí),恒有|x+3|+|x-3|=6,因此,方程有解的范圍是|x|>3。于是有下列方程組:
圖5-3-1
得a=8,b=2,而x=b+3=a-3=5。再利用對(duì)稱性可求出另一根。
這里,|x-A|的幾何意義使學(xué)生看出了在|x|≤3時(shí),恒有|x+3|+|x-3|=6。這一點(diǎn)在解下列問題中很有意義。
例2 求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|+|x-5|的極小值。
根據(jù)上述例1的經(jīng)驗(yàn),容易想到使函數(shù)取極小值的x∈[-4,5],且在該區(qū)間上只需討論函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|+9即可;進(jìn)一步,x∈[-2,3],保證了 x∈[-4,5],于是只需討論函數(shù)f(x)=|x-1|+5+9即可。顯然函數(shù)的極小值是函數(shù)f(1)=5+9=14。
下面給出代數(shù)解答。
不難證明,若x1∈[-4,5],x2∈(-∞,-4)∪(5,∞),則f(x1)< f(x2)。
據(jù)|A+B|≤|A|+|B|中等號(hào)成立的充要條件AB>0,有:x∈[-2,3]時(shí)(x+2)(x-3)≤0和(x+4)(x-5)≤0,于是(x+2)(3-x)≥0,(x+4)( 5-x)≥0,因此,|x+2|+|x-3|=|(x+2)+(3-x)=5,|x+4|+|x-5|=|(x+4)+(5-x)=9,故函數(shù)的最小值是f(1)=14。
利用|x-A|的幾何意義和|A+B|≤|A|+|B|中等號(hào)成立的充要條件是AB>0,不難得到下例的解法。
例3 求函數(shù) (i≠j時(shí),bi≠bj)的極小值。
不妨設(shè)b1<b2<…<bn,當(dāng)n=2k-1(k為正整數(shù))時(shí),極小值為 ;當(dāng)n=2k時(shí),極小值為
。
實(shí)際上,在上述解法中,n為奇數(shù)時(shí), 是數(shù)列b1,b2,…,bn中居于中間的那個(gè)數(shù),n為偶數(shù)時(shí),
是數(shù)列b1,b2,…,bn中居于中間的那兩個(gè)數(shù)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有“中位數(shù)”的概念,我們可以認(rèn)為,極小值是在“中位數(shù)”這一點(diǎn)上取得的。由此還可以解釋為什么在各種大獎(jiǎng)賽中,用“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的方法計(jì)算成績(jī)的合理性。
在例3的討論中,如果出現(xiàn)i≠j,bi=bj的情況,例如
例4 求f(x)=2|x-1|+3|x+2|+4|x-3|的極小值。
當(dāng)x∈[-2,3]時(shí),f(x)=2|x-1|+3(|x+2|+|x-3|)+|x-3| =2|x-1|+3?5+|x-3|;當(dāng)x∈[1,3]時(shí)顯然有x∈[-2,3],有f(x)=|x-1|+15+(|x-3|+|x-1|)=|x-1|+15+2,因此,所求極小值為f(1)=17。
利用“中位數(shù)”概念,由-2≤-2≤-2<1≤1<3≤3≤3≤3,知數(shù)1處于中間位置,因此直接可求出極小值為f(1)=17。
將上述純數(shù)學(xué)問題賦予一定的實(shí)際意義,就可以編出所謂的“實(shí)際應(yīng)用題”:
例5 一條河流沿岸有n個(gè)碼頭,現(xiàn)欲建一個(gè)儲(chǔ)油站供各個(gè)碼頭使用,如果每個(gè)碼頭的用油量相同,那么儲(chǔ)油站設(shè)在哪里最合算?
還可以引進(jìn)“權(quán)”的概念,即再上題中將“每個(gè)碼頭用油量相同”改為“各個(gè)碼頭用油量分別為ai(i=1,2,…,n)”,如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)油站的位置?
又如:某國(guó)道附近有n個(gè)城鎮(zhèn),各城鎮(zhèn)都有公路與國(guó)道相連,距離分別為si(i=1,2,…,n)。這n個(gè)城鎮(zhèn)決定集資修建一個(gè)貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站,如何選擇建站地點(diǎn)從整體上看最合理?
如果要學(xué)習(xí)的知識(shí)與先前的某些知識(shí)貌似相同但本質(zhì)不同,或者雖然類似但需要進(jìn)行變通,這時(shí)定勢(shì)可能產(chǎn)生干擾作用,使思維僵化,解題方法固定化,從而阻礙遷移。研究表明,學(xué)生如果在較難的問題中用慣了某一公式,那么他們以后就有堅(jiān)持應(yīng)用這一公式的傾向,并且很難改變;如果學(xué)生在較易解決的問題中用慣了某一公式,則在解決新問題時(shí)能夠較靈活地適應(yīng)。因此,學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)某一法則或方法付出的代價(jià)越大,定勢(shì)導(dǎo)致的僵化行為就越難改變。由此可以得出,定勢(shì)在遷移方面的消極作用,往往表現(xiàn)為一種具有負(fù)遷移的功能固著,導(dǎo)致盲目地套用某種程式,簡(jiǎn)單模仿某種經(jīng)驗(yàn),從而影響問題的順利解決。
例如,求二次函數(shù) 的最大值或最小值,通常用“配方法”:
,
因此,a<0時(shí),。
一般來說,許多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中都把注意力放在“配方”和 上,而對(duì)于
到底能否取得則往往不予注意。如果教師在組織“求二次函數(shù)的最大、最小值”訓(xùn)練的開始階段,對(duì)這一點(diǎn)沒有給予充分重視,則經(jīng)過一定的強(qiáng)化訓(xùn)練,就會(huì)形成“不顧x的取值范圍”的定勢(shì)。在解類似于下列問題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤:
例6 α、β是方程 的兩個(gè)根,問m為何值時(shí),α2+β2有最小值?
解: ,
又α2+β2≥0,因此當(dāng) 時(shí),α2+β2有最小值0。
還有許多學(xué)生得出最小值為 。
大多數(shù)教師肯定有過這樣的經(jīng)驗(yàn):當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)上述錯(cuò)誤時(shí),要求他們重新檢查結(jié)果,并改正錯(cuò)誤,學(xué)生在這樣的要求下能夠獨(dú)立正確地檢查和改錯(cuò)任務(wù),但下次解答同類問題時(shí),上述錯(cuò)誤仍然再次出現(xiàn)。顯然,造成這種問題的原因不是因?yàn)閷W(xué)生頭腦中缺乏應(yīng)有的知識(shí),而是因?yàn)椤芭浞椒ā鼻蟆白钪怠背绦虻亩▌?shì)所造成的。這一點(diǎn)正如心理學(xué)家指出的,規(guī)則經(jīng)過程序化后,人的行為會(huì)變得相當(dāng)刻板。這樣,如果學(xué)生總是習(xí)慣以一種方式來處理某類問題情景(如上面的“配方”然后“找零點(diǎn)”),那么他們處理這種問題情景的程序就會(huì)得到充分編輯,既被組合起來,又被程序化。一旦出現(xiàn)這種程序化,人就很難對(duì)它進(jìn)行有意識(shí)的檢驗(yàn)和評(píng)價(jià),因而很少甚至絕不會(huì)想到再啟用另一些更可取的程序,即使這些程序已經(jīng)保持在他的長(zhǎng)時(shí)記憶中。因此,為了克服定勢(shì)所造成的負(fù)遷移,應(yīng)當(dāng)使知識(shí)的學(xué)習(xí)與其使用條件的認(rèn)知結(jié)合起來,加強(qiáng)根據(jù)具體條件靈活應(yīng)用知識(shí)的訓(xùn)練。
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