數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移不是自動(dòng)發(fā)生的，它受制于許多因素。其中最主要的有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的因素、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括水平以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定勢(shì)。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的相似性

遷移需要通過對(duì)新舊學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、抽象，概括出其中共同的經(jīng)驗(yàn)成分才能實(shí)現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料在客觀上要有相似性。心理學(xué)的研究表明，相似程度的大小決定著遷移范圍和效果的大小。許多心理學(xué)家從學(xué)習(xí)對(duì)象的結(jié)構(gòu)來分析相似性對(duì)遷移的影響。學(xué)習(xí)對(duì)象的構(gòu)成成分可以區(qū)分為結(jié)構(gòu)的和表面的。例如，一元二次方根的判別式，字母是表面成分，“一次項(xiàng)系數(shù)”－“二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)之積的4倍”是其結(jié)構(gòu)成分。如果兩個(gè)任務(wù)有共同的結(jié)構(gòu)成分，則產(chǎn)生正遷移，否則不能促進(jìn)正遷移。學(xué)習(xí)任務(wù)之間的相似性是由共同因素決定的，共同因素越多，相似性越大。但不管是表面的還是結(jié)構(gòu)的相似性，都將增加學(xué)生對(duì)兩個(gè)任務(wù)的相似性程度的知覺，而知覺到的相似性決定了遷移量的多少，兩種情景的結(jié)構(gòu)相似性決定了遷移的正或負(fù)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意抓共同因素，通過共同因素來促進(jìn)遷移，可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。

　　例1 已知  ，求證：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列。

　　分析：由已知條件的結(jié)構(gòu)與一元二次方程根的判別式結(jié)構(gòu)的相似性，構(gòu)造方程：

　　 ，①

　　由條件知①有等根，又由其系數(shù)之和為0，知①有根x＝1。從而由韋達(dá)定理得：

　　 由此即得所證。

二、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括水平

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移是一種學(xué)習(xí)中習(xí)得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，也就是已有經(jīng)驗(yàn)的具體化與新課題的類化過程或新、舊經(jīng)驗(yàn)的協(xié)調(diào)過程。因此，已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括水平對(duì)遷移的效果有很大影響。一般來說，概括水平越低，遷移范圍就越小，遷移效果也越差；反之，概括水平越高，遷移的可能性就越大，效果也越好。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，重視基本概念、基本原理的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的掌握，其意義就在于這些知識(shí)的概括水平高，容易實(shí)現(xiàn)廣泛的、效果良好的遷移。

心理學(xué)家以專家和新手作為被試對(duì)學(xué)習(xí)情景的結(jié)構(gòu)相似性和表面相似性進(jìn)行了深入的研究。結(jié)果表明，當(dāng)兩種學(xué)習(xí)具有結(jié)構(gòu)相似性但表面不相似時(shí)，專家比新手更易產(chǎn)生正遷移。而兩種學(xué)習(xí)僅具有表面相似性時(shí)，新手比專家更易產(chǎn)生負(fù)遷移。其原因是新手一般根據(jù)看得見的表面特征來形成表象，而對(duì)抽象的結(jié)構(gòu)特征往往注意不到。新手應(yīng)用表面特征作為提取線索，只要兩個(gè)問題具有相似的表面特征，他們就會(huì)用同樣的方式來解決。但專家往往善于從抽象的結(jié)構(gòu)水平上把握相似性，較少受表面特征的干擾。如果產(chǎn)生了負(fù)遷移，專家會(huì)在嘗試使用錯(cuò)誤程序后，以相似性和結(jié)構(gòu)這兩種特征作為提取線索，對(duì)兩個(gè)任務(wù)的關(guān)系重新進(jìn)行分析、加工，這就比較容易擺脫負(fù)遷移。專家之所以能夠做到這一點(diǎn)，其原因就在于他們善于從深層結(jié)構(gòu)上去理解知識(shí)，把知識(shí)與其應(yīng)用的條件、應(yīng)用方式結(jié)合起來，從而準(zhǔn)確地把握知識(shí)的功能。

例1 關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)公共實(shí)根，求k的值。

例2 關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)公共實(shí)根，求p＋q的值。

在學(xué)習(xí)了一元二次方程根的概念后，將上述兩個(gè)問題一起呈現(xiàn)，觀察學(xué)生在解題中的表現(xiàn)�？梢园l(fā)現(xiàn)，解例1的過程是：

令α為它們的公共根，由根的概念，有

，

兩式相減得

，

顯然，k≠1，因此，α＝1，于是k＝－2。

解例2時(shí)，大多數(shù)學(xué)生重復(fù)了解例1時(shí)的過程。

但是，對(duì)專家解答上述兩個(gè)問題的觀察可以發(fā)現(xiàn)，他們?cè)诮獯鹄?時(shí)，先分析它的結(jié)構(gòu)特征，在發(fā)現(xiàn)例1僅僅是它的特例后，利用例1所提供的“結(jié)構(gòu)信息”，在心中默想讓p＝k，q＝1，不需進(jìn)行重復(fù)操作而直接說出了答案為－1。

我們知道，在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有概括水平高、包容范圍廣、能夠起固定作用的有關(guān)知識(shí)，而且這些知識(shí)是清晰、穩(wěn)定的，與新知識(shí)之間彼此可以容易地區(qū)分的，是新知識(shí)學(xué)習(xí)的最重要條件。這里講的也是已有經(jīng)驗(yàn)（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）的概括性問題。已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概括性高，新舊知識(shí)的本質(zhì)差異或相似性就容易辨別，而且，概括性與穩(wěn)定性、清晰性是緊密聯(lián)系的。因此，已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括性是影響遷移的不可忽視的重要因素。

總之，概括程度高的已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為正遷移的產(chǎn)生提供了最重要的先決條件。正如布魯納指出的，所掌握的知識(shí)越基礎(chǔ)、越概括，對(duì)新學(xué)習(xí)的適應(yīng)性就越廣泛，遷移就越廣泛。所以，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，即要強(qiáng)調(diào)理解抽象的、概括水平高的數(shù)學(xué)基本概念、原理、公式、法則等以及由內(nèi)容反映出的數(shù)學(xué)思想方法。領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)基本概念“是通向適當(dāng)?shù)摹��?xùn)練遷移’的大道”。

三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定勢(shì)

定勢(shì)現(xiàn)象是一種預(yù)備性反應(yīng)或反應(yīng)的準(zhǔn)備，它是在連續(xù)活動(dòng)中發(fā)生的。在活動(dòng)進(jìn)程中，先前活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為后面的活動(dòng)形成一種準(zhǔn)備狀態(tài)。定勢(shì)是指向于一定活動(dòng)的動(dòng)力因素，它使學(xué)生傾向于在學(xué)習(xí)時(shí)以一種特定的方式進(jìn)行反應(yīng)。定勢(shì)本身是在一定活動(dòng)基礎(chǔ)上形成的，它實(shí)際上是關(guān)于活動(dòng)方向選擇方面的一種傾向性，這種傾向性本身是一種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。有的心理學(xué)家認(rèn)為，活動(dòng)的重復(fù)與活動(dòng)的需要是定勢(shì)形成的不可缺少因素。

由于定勢(shì)是關(guān)于選擇活動(dòng)方向的一種傾向性，因此對(duì)遷移來說，定勢(shì)的影響既可以起促進(jìn)作用也可以起阻礙作用。后續(xù)作業(yè)是先前作業(yè)的同類課題時(shí)，一般來說，定勢(shì)對(duì)學(xué)習(xí)能夠起促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們往往利用定勢(shì)的這一作用，循序漸進(jìn)地安排一組具有一定變化性的問題，來促使學(xué)生掌握某種數(shù)學(xué)思想方法。

例1① 解方程|x＋3|＋|x－3|＝10。

此題的解法很多，此處是為了使學(xué)生理解|x－A|的幾何意義在解題中的作用而設(shè)置，通過教學(xué)使學(xué)生初步掌握用絕對(duì)值意義解題的思想方法。

題中|x＋3|、|x－3|分別表示實(shí)數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)－3、3的距離，分別用a、b表示這兩個(gè)距離。容易看出（如圖5.3.1），當(dāng)|x|≤3時(shí)，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6，因此，方程有解的范圍是|x|＞3。于是有下列方程組：

圖5-3-1

　　得a＝8，b＝2，而x＝b＋3＝a－3＝5。再利用對(duì)稱性可求出另一根。
　　這里，|x－A|的幾何意義使學(xué)生看出了在|x|≤3時(shí)，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6。這一點(diǎn)在解下列問題中很有意義。
　　例2 求函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋|x＋4|＋|x－5|的極小值。
　　根據(jù)上述例1的經(jīng)驗(yàn)，容易想到使函數(shù)取極小值的x∈[－4，5]，且在該區(qū)間上只需討論函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋9即可；進(jìn)一步，x∈[－2，3]，保證了 x∈[－4，5]，于是只需討論函數(shù)f(x)＝|x－1|＋5＋9即可。顯然函數(shù)的極小值是函數(shù)f(1)＝5＋9＝14。
　　下面給出代數(shù)解答。
　　不難證明，若x₁∈[－4，5]，x₂∈(－∞，－4)∪(5，∞)，則f(x₁)＜ f(x₂)。
　　據(jù)|A＋B|≤|A|＋|B|中等號(hào)成立的充要條件AB＞0，有：x∈[－2，3]時(shí)(x＋2)(x－3)≤0和(x＋4)(x－5)≤0，于是(x＋2)(3－x)≥0，(x＋4)( 5－x)≥0,因此，|x＋2|＋|x－3|＝|(x＋2)＋(3－x)＝5，|x＋4|＋|x－5|＝|(x＋4)＋(5－x)＝9，故函數(shù)的最小值是f(1)＝14。
　　利用|x－A|的幾何意義和|A＋B|≤|A|＋|B|中等號(hào)成立的充要條件是AB＞0，不難得到下例的解法。

　　例3 求函數(shù)  （i≠j時(shí)，b_i≠b_j）的極小值。

　　不妨設(shè)b₁＜b₂＜…＜b_n，當(dāng)n＝2k－1（k為正整數(shù)）時(shí)，極小值為  ；當(dāng)n＝2k時(shí)，極小值為  。

　　實(shí)際上，在上述解法中，n為奇數(shù)時(shí)，  是數(shù)列b₁，b₂，…，b_n中居于中間的那個(gè)數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，  是數(shù)列b₁，b₂，…，b_n中居于中間的那兩個(gè)數(shù)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有“中位數(shù)”的概念，我們可以認(rèn)為，極小值是在“中位數(shù)”這一點(diǎn)上取得的。由此還可以解釋為什么在各種大獎(jiǎng)賽中，用“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”的方法計(jì)算成績(jī)的合理性。

　　在例3的討論中，如果出現(xiàn)i≠j，b_i＝b_j的情況，例如

　　例4 求f(x)＝2|x－1|＋3|x＋2|＋4|x－3|的極小值。

　　當(dāng)x∈[－2，3]時(shí)，f(x)＝2|x－1|＋3（|x＋2|＋|x－3|）＋|x－3| ＝2|x－1|＋3?5＋|x－3|；當(dāng)x∈[1，3]時(shí)顯然有x∈[－2，3]，有f(x)＝|x－1|＋15＋（|x－3|＋|x－1|）＝|x－1|＋15＋2，因此，所求極小值為f(1)＝17。

　　利用“中位數(shù)”概念，由－2≤－2≤－2＜1≤1＜3≤3≤3≤3，知數(shù)1處于中間位置，因此直接可求出極小值為f(1)＝17。

將上述純數(shù)學(xué)問題賦予一定的實(shí)際意義，就可以編出所謂的“實(shí)際應(yīng)用題”：

例5 一條河流沿岸有n個(gè)碼頭，現(xiàn)欲建一個(gè)儲(chǔ)油站供各個(gè)碼頭使用，如果每個(gè)碼頭的用油量相同，那么儲(chǔ)油站設(shè)在哪里最合算？

還可以引進(jìn)“權(quán)”的概念，即再上題中將“每個(gè)碼頭用油量相同”改為“各個(gè)碼頭用油量分別為ai（i＝1，2，…，n）”，如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)油站的位置？

又如：某國(guó)道附近有n個(gè)城鎮(zhèn)，各城鎮(zhèn)都有公路與國(guó)道相連，距離分別為si（i＝1，2，…，n）。這n個(gè)城鎮(zhèn)決定集資修建一個(gè)貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站，如何選擇建站地點(diǎn)從整體上看最合理？

如果要學(xué)習(xí)的知識(shí)與先前的某些知識(shí)貌似相同但本質(zhì)不同，或者雖然類似但需要進(jìn)行變通，這時(shí)定勢(shì)可能產(chǎn)生干擾作用，使思維僵化，解題方法固定化，從而阻礙遷移。研究表明，學(xué)生如果在較難的問題中用慣了某一公式，那么他們以后就有堅(jiān)持應(yīng)用這一公式的傾向，并且很難改變；如果學(xué)生在較易解決的問題中用慣了某一公式，則在解決新問題時(shí)能夠較靈活地適應(yīng)。因此，學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)某一法則或方法付出的代價(jià)越大，定勢(shì)導(dǎo)致的僵化行為就越難改變。由此可以得出，定勢(shì)在遷移方面的消極作用，往往表現(xiàn)為一種具有負(fù)遷移的功能固著，導(dǎo)致盲目地套用某種程式，簡(jiǎn)單模仿某種經(jīng)驗(yàn)，從而影響問題的順利解決。

　　例如，求二次函數(shù)  的最大值或最小值，通常用“配方法”：

　　 ，

　　因此，a＜0時(shí)，。

　　一般來說，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中都把注意力放在“配方”和    上，而對(duì)于  到底能否取得則往往不予注意。如果教師在組織“求二次函數(shù)的最大、最小值”訓(xùn)練的開始階段，對(duì)這一點(diǎn)沒有給予充分重視，則經(jīng)過一定的強(qiáng)化訓(xùn)練，就會(huì)形成“不顧x的取值范圍”的定勢(shì)。在解類似于下列問題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤：

　　例6 α、β是方程  的兩個(gè)根，問m為何值時(shí)，α²＋β²有最小值？

　　解：  ，

　　又α²＋β²≥0，因此當(dāng)  時(shí)，α²＋β²有最小值0。

　　還有許多學(xué)生得出最小值為  。

大多數(shù)教師肯定有過這樣的經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)上述錯(cuò)誤時(shí)，要求他們重新檢查結(jié)果，并改正錯(cuò)誤，學(xué)生在這樣的要求下能夠獨(dú)立正確地檢查和改錯(cuò)任務(wù)，但下次解答同類問題時(shí)，上述錯(cuò)誤仍然再次出現(xiàn)。顯然，造成這種問題的原因不是因?yàn)閷W(xué)生頭腦中缺乏應(yīng)有的知識(shí)，而是因?yàn)椤芭浞椒ā鼻蟆白钪怠背绦虻亩▌?shì)所造成的。這一點(diǎn)正如心理學(xué)家指出的，規(guī)則經(jīng)過程序化后，人的行為會(huì)變得相當(dāng)刻板。這樣，如果學(xué)生總是習(xí)慣以一種方式來處理某類問題情景（如上面的“配方”然后“找零點(diǎn)”），那么他們處理這種問題情景的程序就會(huì)得到充分編輯，既被組合起來，又被程序化。一旦出現(xiàn)這種程序化，人就很難對(duì)它進(jìn)行有意識(shí)的檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)，因而很少甚至絕不會(huì)想到再啟用另一些更可取的程序，即使這些程序已經(jīng)保持在他的長(zhǎng)時(shí)記憶中。因此，為了克服定勢(shì)所造成的負(fù)遷移，應(yīng)當(dāng)使知識(shí)的學(xué)習(xí)與其使用條件的認(rèn)知結(jié)合起來，加強(qiáng)根據(jù)具體條件靈活應(yīng)用知識(shí)的訓(xùn)練。