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第二講整數(shù)問題:關(guān)于特殊的自然數(shù)之二

來源:www.jiajiao100.com 文章作者:dfss 2008-11-04 09:38:26

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A1008 將某個17位數(shù)的數(shù)字的順序顛倒,再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加.證明:得到的和中至少有一個數(shù)字是偶數(shù).

【題說】 第四屆(1970年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級題 4

【證】 假設(shè)和的數(shù)字都是奇數(shù).在加法算式

中,末一列數(shù)字的和da為奇數(shù),從而第一列也是如此,因此第二列數(shù)字的和bc9.于是將已知數(shù)的前兩位數(shù)字ab與末兩位數(shù)字c、d去掉,所得的13位數(shù)仍具有性質(zhì):將它的數(shù)字顛倒,得到的數(shù)與它相加,和的數(shù)字都是奇數(shù).照此進行,每次去掉首末各兩位數(shù)字.最后得到一位數(shù),它與自身相加顯然是偶數(shù).矛盾!

因此,和的數(shù)字中必有偶數(shù).

A1009 證明:如果pp2都是大于3的素數(shù),那么6p1的因數(shù).

【題說】 第五屆(1973年)加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題 3

【證】 因為p是奇數(shù),所以2p1的因數(shù).

因為p、p1、p2除以 3余數(shù)不同,p、p2都不被 3整除,所以p1 3整除.

于是6p1的因數(shù).
 A1010 證明:三個不同素數(shù)的立方根不可能是一個等差數(shù)列中的三項(不一定是連續(xù)的).

【題說】 美國第二屆(1973年)數(shù)學(xué)奧林匹克題5

【證】 設(shè)p、q、r是不同素數(shù).假如有自然數(shù)l、mn和實數(shù)a、d

消去a,d,得

化簡得(mn3p=(ln3q+(ml3r3ln)(m

原命題成立.
  A1011 設(shè)n為大于2的已知整數(shù),并設(shè)Vn為整數(shù)1kn的集合,k12,….?dāng)?shù)mVn稱為在 Vn中不可分解,如果不存在數(shù)p,qVn使得 pqm.證明:存在一個數(shù)rVn可用多于一種方法表達成Vn中不可分解的元素的乘積.

【題說】 第十九屆(1977年)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題3.本題由荷蘭提供.

【證】 設(shè)an1,b2n1,則a2、b2、a2b2都屬于Vn.因為a2<(n12,所以a2Vn中不可分解.

式中不會出現(xiàn)a2

ra2b2有兩種不同的分解方式:ra2?b2a2…(直至b2分成不可分解的元素之積)與rab?ab=…(直至ab分成不可分解的元素之積),前者有因數(shù)a2,后者沒有.

A1012 證明在無限整數(shù)序列

10001,100010001,1000100010001,…

中沒有素數(shù).

注意第一數(shù)(一萬零一)后每一整數(shù)是由前一整數(shù)的數(shù)字連接0001而成.

【題說】 1979年英國數(shù)學(xué)奧林匹克題 6

【證】 序列 1,10001,100010001,…,可寫成

11104,1104108,…

一個合數(shù).

即對n2,an均可分解為兩個大于1的整數(shù)的乘積,而a210001137?73.故對一切n2,an均為合數(shù).

A1013 如果一個自然數(shù)是素數(shù),并且任意地交換它的數(shù)字,所得的數(shù)仍然是素數(shù),那么這樣的數(shù)叫絕對素數(shù).求證:絕對素數(shù)的不同數(shù)字不能多于3個.

【題說】 第十八屆(1984年)全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級題 8

【證】 若不同數(shù)字多于 3個,則這些數(shù)字只能是1<FONT style=

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