A1－008 將某個(gè)17位數(shù)的數(shù)字的順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來(lái)的數(shù)相加．證明：得到的和中至少有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)．

【題說(shuō)】 第四屆（1970年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題 4．

【證】 假設(shè)和的數(shù)字都是奇數(shù)．在加法算式

中，末一列數(shù)字的和d＋a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b＋c≤9．于是將已知數(shù)的前兩位數(shù)字a、b與末兩位數(shù)字c、d去掉，所得的13位數(shù)仍具有性質(zhì)：將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)．照此進(jìn)行，每次去掉首末各兩位數(shù)字．最后得到一位數(shù)，它與自身相加顯然是偶數(shù)．矛盾！

因此，和的數(shù)字中必有偶數(shù)．

A1－009 證明：如果p和p＋2都是大于3的素?cái)?shù)，那么6是p＋1的因數(shù)．

【題說(shuō)】 第五屆（1973年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題 3．

【證】 因?yàn)?/font>p是奇數(shù)，所以2是p＋1的因數(shù)．

因?yàn)?/font>p、p＋1、p＋2除以 3余數(shù)不同，p、p＋2都不被 3整除，所以p＋1被 3整除．

于是6是p＋1的因數(shù)．
 A1－010 證明：三個(gè)不同素?cái)?shù)的立方根不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)（不一定是連續(xù)的）．

【題說(shuō)】 美國(guó)第二屆（1973年）數(shù)學(xué)奧林匹克題5．

【證】 設(shè)p、q、r是不同素?cái)?shù)．假如有自然數(shù)l、m、n和實(shí)數(shù)a、d，

消去a，d，得

化簡(jiǎn)得（m－n）³p＝（l－n）³q＋（m－l）³r＋3（l－n）（m

原命題成立．
  A1－011 設(shè)n為大于2的已知整數(shù)，并設(shè)V_n為整數(shù)1＋kn的集合，k＝1，2，…．?dāng)?shù)m∈V_n稱為在 V_n中不可分解，如果不存在數(shù)p，q∈V_n使得 pq＝m．證明：存在一個(gè)數(shù)r∈V_n可用多于一種方法表達(dá)成V_n中不可分解的元素的乘積．

【題說(shuō)】 第十九屆（1977年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題3．本題由荷蘭提供．

【證】 設(shè)a＝n－1，b＝2n－1，則a²、b²、a²b²都屬于V_n．因?yàn)?/font>a²＜（n＋1）²，所以a²在V_n中不可分解．

式中不會(huì)出現(xiàn)a²．

r＝a²b²有兩種不同的分解方式：r＝a²?b²＝a²…（直至b2分成不可分解的元素之積）與r＝ab?ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之積），前者有因數(shù)a²，后者沒(méi)有．

A1－012 證明在無(wú)限整數(shù)序列

10001，100010001，1000100010001，…

中沒(méi)有素?cái)?shù)．

注意第一數(shù)（一萬(wàn)零一）后每一整數(shù)是由前一整數(shù)的數(shù)字連接0001而成．

【題說(shuō)】 1979年英國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題 6．

【證】 序列 1，10001，100010001，…，可寫(xiě)成

1，1＋10⁴，1＋10⁴＋10⁸，…

一個(gè)合數(shù)．

即對(duì)n＞2，a_n均可分解為兩個(gè)大于1的整數(shù)的乘積，而a₂＝10001＝137?73．故對(duì)一切n≥2，a_n均為合數(shù)．

A1－013 如果一個(gè)自然數(shù)是素?cái)?shù)，并且任意地交換它的數(shù)字，所得的數(shù)仍然是素?cái)?shù)，那么這樣的數(shù)叫絕對(duì)素?cái)?shù)．求證：絕對(duì)素?cái)?shù)的不同數(shù)字不能多于3個(gè)．

【題說(shuō)】 第十八屆（1984年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題 8．

【證】 若不同數(shù)字多于 3個(gè)，則這些數(shù)字只能是1<FONT style=