A1－019 n為怎樣的自然數(shù)時(shí)，數(shù)

3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ

是合數(shù)？

【題說(shuō)】 第二十四屆（1990年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題5

【解】 3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ＝（3ⁿ－2ⁿ）（3^n＋1＋2^n＋1）

當(dāng) n＞l時(shí)，3ⁿ－2ⁿ＞1，3^n＋1＋2^n＋1＞1，所以原數(shù)是合數(shù)．當(dāng) n＝1時(shí)，原數(shù)是素?cái)?shù)13．

    A1－020 設(shè)n是大于6的整數(shù)，且a₁、a₂、…、a_k是所有小于n且與n互素的自然數(shù)，如果

a₂－a₁＝a₃－a₂＝…＝a_k－a_k－1＞0

求證：n或是素?cái)?shù)或是2的某個(gè)正整數(shù)次方．

【題說(shuō)】 第三十二屆（1991年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題2．本題由羅馬尼亞提供．

【證】 顯然a₁＝1．

由（n－1，n）＝1，得 a_k＝n－1．

令 d＝a₂－a₁＞0．

當(dāng)a₂＝2時(shí)，d＝1，從而k＝n－1，n與所有小于n的自然數(shù)互素．由此可知n是素?cái)?shù)．

當(dāng)a₂＝3時(shí)，d＝2，從而n與所有小于n的奇數(shù)互素．故n是2的某個(gè)正整數(shù)次方．

設(shè)a₂＞3．a₂是不能整除n的最小素?cái)?shù)，所以2|n，3|n．由于n－1＝a_k＝1＋（k－1）d，所以3 d．又1＋d＝a₂，于是3 1＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，則a₃＝1＋2d，這時(shí)3|（a₃，n）．矛盾．若1＋2d≥n，則小于n且與n互素自然數(shù)的個(gè)數(shù)為2．

設(shè)n＝2m（＞6）．若m為偶數(shù)，則m＋1與n互質(zhì)，若m為奇數(shù)，則m＋2與m互質(zhì)．即除去n－1與1外、還有小于n且與n互質(zhì)的數(shù)．矛盾．

綜上所述，可知n或是素?cái)?shù)或是2的某個(gè)正整數(shù)次方．

A1－021 試確定具有下述性質(zhì)的最大正整數(shù)A：把從1001至2000所有正整數(shù)任作一個(gè)排列，都可從其中找出連續(xù)的10項(xiàng)，使這10項(xiàng)之和大于或等于A．

【題說(shuō)】 第一屆（1992年）中國(guó)臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克題6．

【解】 設(shè)任一排列，總和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，將它分為100段，每段10項(xiàng)，至少有一段的和≥15005，所以

A≥15005

另一方面，將1001～2000排列如下：

2000       1001       1900       1101       1800

1201       1700       1301       1600       1401

1999       1002       1899       1102       1799

1202       1699       1302       1599       1402

…    …    …    …    …    …

1901       1100       1801       1200       1701

1300       1601       1400       1501       1300

并記上述排列為

a₁，a₂，…，a₂₀₀₀

（表中第i行第j列的數(shù)是這個(gè)數(shù)列的第10（i－1