第十二講整數(shù)問(wèn)題:關(guān)于求解問(wèn)題之六
來(lái)源:www.jiajiao100.com 文章作者:dfss 2008-11-04 09:38:48

【題說(shuō)】 第十二屆(1994年)美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題3.
【解】 重復(fù)使用f(x)=x2-f(x-1),有
f(94)=942-f(93)
=942-932+f(92)
=942-932+922-f(91)
=…
=942-932+922-…+202-f(19)
=(94+93)(94-93)+(92+91)(92-
91)+…+(22+21)(22-21)+202-94
=(94+93+92+…+21)+306
=4561
因此,f(94)除以1000的余數(shù)是561.
A2-030 對(duì)實(shí)數(shù)x,[x]表示x的整數(shù)部分,求使[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2n]=1994成立的正整數(shù)n.
【題說(shuō)】 第十二屆(1994年)美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題 4.
【解】 [long21]+[log22]+[log23]+…+[log2128]+[log2129]+…+[log2255]=2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7=1538.
A2-031 對(duì)給定的一個(gè)正整數(shù)n.設(shè)p(n)表示n的各位上的非零數(shù)字乘積(如果n只有一位數(shù)字,那么p(n)等于那個(gè)數(shù)字).若S=p(1)+p(2)+p(3)+…+p(999),則S的最大素因子是多少?
【題說(shuō)】 第十二屆(1994年)美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題5.
【解】 將每個(gè)小于1000的正整數(shù)作為三位數(shù),(若位數(shù)小于3,則前面補(bǔ)0,如 25可寫(xiě)成 025),所有這樣的正整數(shù)各位數(shù)字乘積的和是
(0?0?0+0?0?1+0?0?2+…+9?9?8+9?9?9)-0?0?0
=(0+1+2+…+9)3-0
p(n)是n的非零數(shù)字的乘積,這個(gè)乘積的和可以由上面表達(dá)式將0換成1而得到.
因此,
=463-1=33?5?7?103
最大的素因子是103.
A2-032 求所有不相同的素?cái)?shù)p、q、r和s,使得它們的和仍是素?cái)?shù),并且p2+qs及p2+qr都是平方數(shù).
【題說(shuō)】 第二十屆(1994年)全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題7.
【解】 因?yàn)樗膫(gè)奇素?cái)?shù)之和是大于2的偶數(shù),所以所求的素?cái)?shù)中必有一個(gè)為偶數(shù)<FONT lang=
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