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第十二講整數(shù)問題:關(guān)于求解問題之六

來源:www.jiajiao100.com 文章作者:dfss 2008-11-04 09:38:48

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A2029 對任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)fx)有性質(zhì)fx)+fx1)=x2.如果f19)=94,那么f94)除以1000的余數(shù)是多少?

【題說】 第十二屆(1994年)美國數(shù)學(xué)邀請賽題3

【解】 重復(fù)使用fx)=x2fx1),有

f94)=942f93

942932f92

942932922f91

=…

942932922-…+202f19

=(9493)(9493)+(9291)(92

91)+…+(2221)(2221)+20294

=(949392+…+21)+306

4561

因此,f94)除以1000的余數(shù)是561

A2030 對實(shí)數(shù)x[x]表示x的整數(shù)部分,求使[log21][log22][log23]+…+[log2n]1994成立的正整數(shù)n

【題說】 第十二屆(1994年)美國數(shù)學(xué)邀請賽題 4

【解】 [long21][log22][log23]+…+[log2128][log2129]+…+[log2255]2×14×28×316×432×564×6128×71538

    A2031 對給定的一個(gè)正整數(shù)n.設(shè)pn)表示n的各位上的非零數(shù)字乘積(如果n只有一位數(shù)字,那么pn)等于那個(gè)數(shù)字).若Sp1)+p2)+p3)+…+p999),則S的最大素因子是多少?

【題說】 第十二屆(1994年)美國數(shù)學(xué)邀請賽題5

【解】 將每個(gè)小于1000的正整數(shù)作為三位數(shù),(若位數(shù)小于3,則前面補(bǔ)0,如 25可寫成 025),所有這樣的正整數(shù)各位數(shù)字乘積的和是

0?0?00?0?10?0?2+…+9?9?89?9?9)-0?0?0

=(012+…+930

pn)是n的非零數(shù)字的乘積,這個(gè)乘積的和可以由上面表達(dá)式將0換成1而得到.

因此,

463133?5?7?103

最大的素因子是103

  A2032 求所有不相同的素?cái)?shù)pq、rs,使得它們的和仍是素?cái)?shù),并且p2qsp2qr都是平方數(shù).

【題說】 第二十屆(1994年)全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級題7

【解】 因?yàn)樗膫(gè)奇素?cái)?shù)之和是大于2的偶數(shù),所以所求的素?cái)?shù)中必有一個(gè)為偶數(shù)<FONT lang=

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