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2004年全國數(shù)學聯(lián)賽競賽題目(高中)

來源:數(shù)學聯(lián)賽 文章作者:數(shù)學聯(lián)賽 2008-11-04 10:40:45

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一、選擇題(本題滿分36分,每小題6分)
1、設銳角θ使關于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根,則θ的弧度數(shù)為()
A.π/6 B.π/12或5π/12 C.π/6或5π/12 D.π/12
2、已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}。若對所有m∈R均有M∩N不是空集,則b的取值范圍是()
A.[-√6/6,√6/6] B.(-√6/6,√6/6) C.(-2√3/3,2√3/3]D.[-2√3/3,2√3/3]
3、不等式 √(log2x - 1) + (1/2)(log1/2x3 + 2) > 0 的解集為()
A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4]
4、設O點在三角形ABC內部,且有(0→A)+2(0→B)+3(O→C)=(0→0),則三角形ABC和三角形A0C的面積與的面積的比為()
[ 注釋:(0→X)表示從O到X的向量,特別地(0→0)表示零向量 ]
A.2 B.3/2 C.3 D.5/3
5、設三位數(shù)n的百位、十位、個位數(shù)字依次為a、b、c,若以a,b,c為三條邊的長可以構成一個等腰(含等邊)三角形,則這樣的三位數(shù)n有()
A.45個 B.81個 C.165個 D.216個
6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形,A是底面圓周上的點,B是底面圓內的點,O為底面圓的圓心,AB垂直于OB,垂足為B,OH垂直于PB,垂足為H,且PA=4,C為PA的中點,則當三棱錐O-HPC的體積最大時,OB的長是()
A.√5/3 B.2√5/3 C.√6/3 D.2√6/3
二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)
7、在平面直角坐標系xoy中,函數(shù) f(x) = a×sin ax + cos ax (a>0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù) g(x) = √(a2+1) 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____。
8、設函數(shù)f:R→R,滿足f(0)=1且對任意實數(shù)x,y都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(y)=_____。
9、正方體中ABCD-A1B1C1D1,二面角A-BD1-A1的度數(shù)是_____。
10、設p是給定的奇質數(shù),正整數(shù)k使得√(k2-pk)也是一個正整數(shù),則k=_____。
11、已知數(shù)列a0,a1,a2,…,an滿足關系式(3-an-1)(6+an)=18,且a0=3。設 Xi=1/ai 則X0+X1+X2+…+Xn的值是_____。
12、在平面直角坐標系XOY中,給定兩點M(-1,2)和N(1,4),點P在X軸上移動,當∠MPN取最大值時,點P的橫坐標為_____。
三、解答題(本題滿分60分,每小題20分)
13、一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定:在第n關要拋擲一顆骰子n次,如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2n,則算過關。
問:(Ⅰ)某人在這項游戲中最多能過幾關?
(Ⅱ)他連過前三關的概率是多少?(注:骰子是一個在各面上分別有1,2,3,4,5,6點數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后,向上一面的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù)。)
14、在平面直角坐標系xoy中,給定三點A(0,3/4),B(-1,0),C(1,0),點P到直線BC的距離是該點到直線AB,AC距離的等比中項。
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線L經過△ABC的內心(設為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點,求L的斜率k的取值范圍。
15、已知α,β是方程4x2-4tx-1=0 (t∈R)的兩個不等實根,函數(shù)f(x)=(2x-t)/(x2+1)的定義域為[α,β]。
(Ⅰ)求g(t) = max f(x) - min f(x);
(Ⅱ)證明:對于 ui∈(0,π/2) (i=1,2,3),G(x)=1/g(tan x)。若 sin u1 + sin u2 + sin u3 = 1,則G(u1)+G(u2)+G(u2)<3√6/4。

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