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1996年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試(高中)

來源:數(shù)學(xué)聯(lián)賽 文章作者:數(shù)學(xué)聯(lián)賽 2008-11-04 10:40:57

智能內(nèi)容

一、(25分)設(shè)數(shù)列 {an} 的前項(xiàng)和 Sn=2an-1 ,n∈N+ ,數(shù)列 {bn} 滿足 b1=3,bk+1=bk+ak,求數(shù)列bk的前n項(xiàng)和。

二、(25分)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍,使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x 和任意 θ∈[0,π/2] 恒有
   (x+3+2sincos)2 + (x+asin+acos)2 ≥1/8。

三、(35分)如圖,圓O1和圓O2與△ABC的三邊所在的三條直線都相切,E、F、G、H為切點(diǎn),并且EG、FH的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn),求證直線PA與BC垂直。

四、(35分)有 n(n≥5) 個(gè)人聚會(huì)。
已知:(1)每個(gè)人至少同其中 [n/2] 個(gè)人互相認(rèn)識(shí);
(2)對(duì)于其中任意 [n/2] 個(gè)人,或者其中有2人認(rèn)識(shí),或者余下的人中有2人相識(shí)。
證明:這n個(gè)人中必有3人兩兩相識(shí)。

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