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1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試試題附錄答案

來(lái)源:數(shù)學(xué)聯(lián)賽 文章作者:數(shù)學(xué)聯(lián)賽 2008-11-04 10:42:58

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1、如圖,已知兩個(gè)半徑不相等的圓與圓相交于M、N兩點(diǎn),且圓、圓分別與圓內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證:OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。(命題組供題)

  證明:如圖,設(shè)圓、圓,圓的半徑分別為、。由條件知O、O1、S三點(diǎn)共線及O、O2、T三點(diǎn)共線,且OS=OT=,連結(jié)OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2

  充分性:設(shè)S、N、T三點(diǎn)共線,則∠S=∠T,又△O1SN與△O2NT均為等腰三角形,

  ∴∠S=∠O1NS,∠T=∠O2NT, ∴∠S=∠O2NT, ∠T=∠O1NS,

  ∴O2N∥OS, O1N∥OT,故四邊形OO1NO2為平行四邊形,由此知OO1=O2N==MO2,

OO2=O1N==MO1, ∴△O1MO≌△O2OM,從而有,由此得O1O2∥OM,又由于O1O2⊥MN,故0M⊥MN。

  必要性:若0M⊥MN,又O1O2⊥MN,故O1O2∥OM,從而有

  設(shè)OM=,由O1M=,O1O=,O2O=,O2M=,知△O1MO與△O2OM 的周長(zhǎng)都等于,記,由三角形面積的海倫公式,有

,

化簡(jiǎn)得()()=0,又已知,∴ ,故有

O1O==O2N,O2O==O1N,∴OO1NO2為平行四邊形,

∴∠O1NT+∠T=180°,∠O2NS+∠S=180°,又△O1SN與△O2NT均為等腰三角形,

∠T=∠O2NT,∠S=∠O1NS,∴∠O1NO2+2∠S=∠O2NS+∠S=∠O1NT+∠T=∠O1NO2+2∠T,即∠S=∠T,∴∠O1NS=∠O2NT,故∠O1NS+∠O1NO2+∠O2NT=∠SNO2+∠S=180°,

∴S、N、T三點(diǎn)共線。

  2、試問(wèn):當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí),存在實(shí)數(shù)使得…(1)成立,其中為虛數(shù)單位,,證明你的結(jié)論。 (天津供題)

解:易知(1),

若存在實(shí)數(shù)使(2)成立,則,

由柯西不等式可得,如果,則由(2)可得

,從而與(3)矛盾。于是得

反之,若(4)成立,有兩種情況

  (i),則取,顯然(2)成立。

 。╥i),記,從而不全為0,不妨設(shè),取

  ,,易知(2)也成立。

  綜上可知,所求的條件為。

  3、在100×25的長(zhǎng)方形表格中每一格填入一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),第行第列中填入的數(shù)為(如表1),然后將表1每列中的數(shù)按由大到小的次序從上到下重新排列為(如表2)。求最小的自然數(shù),使得只要表1中填入的數(shù)滿足,則當(dāng)時(shí),在表2中就能保證成立。 (命題組供題)

  解:的最小值為97。

 。1)取

這時(shí),滿足題設(shè)條件,重排后有

,

這時(shí),故的最小值

 。2)首先證明:表1中必有一行(設(shè)為第行)的所有數(shù),必在重排后所得表2的前97行中都出現(xiàn)。

  事實(shí)上,若上述結(jié)論不成立,則表1的每一行中至少有一個(gè)數(shù)不在表2的前97行中出現(xiàn),即表2的前97行中至多共有表1中100×24=2400個(gè)數(shù),這與表2的前97行共有25×97=2425個(gè)數(shù)矛盾。

其次,由重排要求知表之中每列的數(shù)從上到下是由大到小排列的,故當(dāng)時(shí),

故當(dāng)時(shí),

  綜合(1)、(2)知的最小值為97。

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