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1992年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試（高中）

來源：數(shù)學(xué)聯(lián)賽 文章作者：數(shù)學(xué)聯(lián)賽 2008-11-04 10:43:57

智能內(nèi)容

一、(35分)設(shè)A1A2A3A4為⊙O的內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的垂心，求證：H1，H2，H3，H4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置．

二、(35分)設(shè)集合 Sn＝{1，2，…，n}．若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集．
1．求證 Sn 的奇子集與偶子集個數(shù)相等．
2．求證：當(dāng) n≥3 時，Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
3．當(dāng) n≥3 時，求 Sn 的所有奇子集的容量之和．

三、(35分)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為格點，任取6個格點Pi (xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)滿足
(1) | xi |≤2，| yi |≤2，(i=1，2，3，4，5，6)，
(2) 任何三點不在同一條直線上．
試證：在以Pi (i=1，2，3，4，5，6)為頂點的所有三角形中，必有一個三角形，它的面積不大于2．

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