1993年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試（高中）
來(lái)源：數(shù)學(xué)聯(lián)賽 文章作者：數(shù)學(xué)聯(lián)賽 2008-11-04 10:44:05
| 一．（35分） 設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有∠D是鈍角，用一些直線(xiàn)段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點(diǎn)．試證n應(yīng)滿(mǎn)足的充分必要條件是n≥4． 二．（35分） 設(shè)A是一個(gè)有n個(gè)元素的集合，A的m個(gè)子集A1，A2，…，Am兩兩互不包含． 試證： (1) 其中|Ai|表示Ai所含元素的個(gè)數(shù)， 三．（35分） 水平直線(xiàn)m通過(guò)圓O的中心，直線(xiàn) l⊥m，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心的右側(cè)，直線(xiàn)l上不同的三點(diǎn)A，B，C在圓外，且位于直線(xiàn)m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近，AP，BQ，CR為圓O的三條切線(xiàn)，P，Q，R為切點(diǎn)．試證： (1)l與圓O相切時(shí)，AB×CR+BC×AP＝AC×BQ； (2)l與圓O相交時(shí)，AB×CR+BC×AP＜AC×BQ； (3)l與圓O相離時(shí)，AB×CR+BC×AP＞AC×BQ． |
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