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1993年全國數(shù)學聯(lián)賽第二試（高中）

來源：數(shù)學聯(lián)賽 文章作者：數(shù)學聯(lián)賽 2008-11-04 10:44:05

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一．（35分） 設一凸四邊形ABCD，它的內角中僅有∠D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點．試證n應滿足的充分必要條件是n≥4．

二．（35分） 設A是一個有n個元素的集合，A的m個子集A1，A2，…，Am兩兩互不包含． 試證：
(1)≤1； (2)≥m2．
其中|Ai|表示Ai所含元素的個數(shù)，表示n個不同元素取|Ai|個的組合數(shù)．

三．（35分） 水平直線m通過圓O的中心，直線 l⊥m，l與m相交于M，點M在圓心的右側，直線l上不同的三點A，B，C在圓外，且位于直線m上方，A點離M點最遠，C點離M點最近，AP，BQ，CR為圓O的三條切線，P，Q，R為切點．試證：
(1)l與圓O相切時，AB×CR+BC×AP＝AC×BQ；
(2)l與圓O相交時，AB×CR+BC×AP＜AC×BQ；
(3)l與圓O相離時，AB×CR+BC×AP＞AC×BQ．

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