競賽專題講座 之 平面幾何四個重要定理
來源:網(wǎng)絡(luò) 文章作者:dfss 2008-11-04 11:35:11

競賽專題講座-平面幾何四個重要定理 |
四個重要定理:
△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn)P、Q、R,則P、Q、R共線的充要條件是
△ABC的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R,則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是 托勒密(Ptolemy)定理 四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。 西姆松(Simson)定理(西姆松線) 從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 例題: 1. 【分析】CEF截△ABD→ 【評注】也可以添加輔助線證明:過A、B、D之一作CF的平行線。 2. 求證:
DEG截△ABM→ DGF截△ACM→ ∴ 【評注】梅氏定理 3. D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上,
求S△LMN。 【分析】
4. 以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證:AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。 【分析】 【評注】塞瓦定理 5. 【分析】過A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D,連結(jié)BD。則CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理,AC?BD=AD?BC+CD?AB。 【評注】托勒密定理 6. 已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。 求證: 【分析】 【評注】托勒密定理 7. △ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P,作PE⊥AB于E,延長ED交AC延長線于F。 求證:BC?EF=BF?CE+BE?CF。 【分析】 【評注】西姆松定理(西姆松線) 8. 【分析】 【評注】面積法 9. 求證:(1)a?Ra≥b?db+c?dc; (2) a?Ra≥c?db+b?dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。
10.△ABC中,H、G、O分別為垂心、重心、外心。 求證:H、G、O三點(diǎn)共線,且HG=2GO。(歐拉線) 【分析】 【評注】同一法 11.△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BM、BN三等分∠ABC,與AD相交于M、N,延長CM交AB于E。 求證:MB//NE。 【分析】 【評注】對稱變換 12. 【分析】 【評注】平移變換 13. 【分析】 【評注】旋轉(zhuǎn)變換 費(fèi)馬點(diǎn) 【分析】將C ∴OO’=OB,PP‘ =PB。顯然△BO’C‘≌△BOC,△BP’C‘≌△BPC。 由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A、O、O‘、C’四點(diǎn)共線。 ∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
求證:MQ//NP。
結(jié)合∠A=∠C知,只需證 △AMQ∽△CPN ← 連結(jié)AC、BD,其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K,連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ,∠MOK=α,∠KON=β,則 ∠EOM=α,∠FON=β,∠EOF=2α+2β=180°-2φ。 ∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是 ∴AM?CN=AO?CO 同理,AQ?CP=AO?CO。 【評注】 15.(96全國競賽)⊙O1和⊙O2與ΔABC的三邊所在直線都相切,E、F、G、H為切點(diǎn),EG、FH的延長線交于P。求證:PA⊥BC。 【分析】
16.(99全國競賽)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E,BE與AC相交于F,延長DF交BC于G。求證:∠GAC=∠EAC。
因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線,由角平分線定理, 可得 過C作AB的平行線交AG的延長線于I,過C作AD的平行線交AE的延長線于J。 則 所以 又因?yàn)镃I//AB,CJ//AD,故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。 因此,△ACI≌△ACJ,從而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC。
證明:作△EOH 記∠BOG=α,∠GOE’=β。連結(jié)E‘F交BO于K。只需證
注:箏形:一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形。
事實(shí)上,上述條件是充要條件,且M在OB延長線上時結(jié)論仍然成立。 證明方法為:同一法。 蝴蝶定理:P是⊙O的弦AB的中點(diǎn),過P點(diǎn)引⊙O的兩弦CD、EF,連結(jié)DE交AB于M,連結(jié)CF交AB于N。求證:MP=NP。 【分析】設(shè)GH為過P的直徑,F(xiàn) 又FF’⊥GH,AN⊥GH,∴FF‘∥AB!唷螰’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180°,∴P、M、D、F‘四點(diǎn)共圓。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M,PN=PM。 【評注】一般結(jié)論為:已知半徑為R的⊙O內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P,過P作兩條相交弦CD、EF,連CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中點(diǎn)的距離為a,則 |
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