把3個蘋果任意放到兩個抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個抽屜放一個，另一個抽屜放兩個；或3個蘋果放在某一個抽屜里.盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個共同的規(guī)律：至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.如果把5個蘋果任意放到4個抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結(jié)果.由此我們可以想到，只要蘋果的個數(shù)多于抽屜的個數(shù)，就一定能保證至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.道理很簡單：如果每個抽屜里的蘋果都不到兩個（也就是至多有1個），那么所有抽屜里的蘋果數(shù)的和就比總數(shù)少了.由此得到：

　　抽屜原理：把多于n個的蘋果放進n個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。

　　如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié)論，所以有時也把抽屜原理叫做鴿籠原理.不要小看這個“原理”，利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數(shù)學(xué)問題。

　　比如，我們從街上隨便找來13人，就可以斷定他們中至少有兩個人屬相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二種生肖）相同.怎樣證明這個結(jié)論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚.事實上，由于人數(shù)（13）比屬相數(shù)（12）多，因此至少有兩個人屬相相同（在這里，把13人看成13個“蘋果”，把12種屬相看成12個“抽屜”）。

　　應(yīng)用抽屜原理要注意識別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數(shù)目一定要大于抽屜的個數(shù)。

例1 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

例2 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？

分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計10種情況.把這10種花色配組看作10個抽屜，只要蘋果的個數(shù)比抽屜的個數(shù)多1個就可以有題目所要的結(jié)果.所以至少有11個人。

例3 證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。

分析與解答 在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù).根據(jù)這個性質(zhì)，本題只需證明這8個自然數(shù)中有2個自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個數(shù)在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。

　　把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個類含有無窮多個數(shù)，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究與整除有關(guān)的問題時，常用剩余類作為抽屜.根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個自然數(shù)中，總有兩個自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。

　　在有些問題中，“抽屜”和“蘋果”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“蘋果”.如何制造“抽屜”和“蘋果”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗。

例4 從2、4、6、…、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34。

分析與解答 我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜：

　　凡是抽屜中有兩個數(shù)的，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34。

　　現(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數(shù)在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是34。

例5 從1、2、3、4、…、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12。分析與解答在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：

　　｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

　　另外還有4個不能配對的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到（取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一個數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12）。

例6 從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。

分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜.把這20個數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：

　�。�1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

　　從這10個數(shù)組的20個數(shù)中任取11個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個數(shù)中，其中一個數(shù)一定是另一個數(shù)的倍數(shù)。

例7 證明：在任取的5個自然數(shù)中，必有3個數(shù)，它們的和是3的倍數(shù)。

分析與解答 按照被3除所得的余數(shù)，把全體自然數(shù)分成3個剩余類，即構(gòu)成3個抽屜.如果任選的5個自然數(shù)中，至少有3個數(shù)在同一個抽屜，那么這3個數(shù)除以3得到相同的余數(shù)r，所以它們的和一定是3的倍數(shù)（3r被3整除）。

　　如果每個抽屜至多有2個選定的數(shù)，那么5個數(shù)在3個抽屜中的分配必為1個，2個，2個，即3個抽屜中都有選定的數(shù).在每個抽屜中各取1個數(shù)，那么這3個數(shù)除以3得到的余數(shù)分別為0、1、2.因此，它們的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。

例8 某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。

分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數(shù)最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.校友人數(shù)與握手次數(shù)的不同情況（0，1，2，…，n-1）數(shù)都是n，還無法用抽屜原理。

　　然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、…、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數(shù)一樣多。