梅涅勞斯定理

　　簡介

　　梅涅勞斯(Menelaus)定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

　　證明一：

　　過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G,

　　則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

　　三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

　　證明二：

　　過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

　　所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

　　它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線

　　梅涅勞斯(Menelaus)定理

　　證明三：

　　過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'，

　　所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'

　　所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

　　記憶

　　ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn)

　　(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

　　(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)=1

　　空間感好的人可以這么記：(上1/下1)*(整/右)*(下2/上2)=1

　　實(shí)際應(yīng)用

　　為了說明問題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。

　　我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。

　　例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。

　　另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。

　　從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明：

　　方案 ① ——從A經(jīng)過B(不停留)到F(停留)，再返回B(停留)，再到D(停留)，之后經(jīng)過B(不停留)到C(停留)，再到E(停留)，最后從E經(jīng)過C(不停留)回到出發(fā)點(diǎn)A。

　　按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式：

　　(AF：FB)*(BD：DC)*(CE：EA)=1。

　　現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

　　從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：

　　方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：

　　(AB：BF)*(FD：DE)*(EC：CA)=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有：

　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：

　　(AC：CE)*(ED：DF)*(FB：BA)=1。 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案：

　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：

　　(AE：EC)*(CD：DB)*(BF：FA)=1。

　　我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。

　　值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。

　　不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。

　　還可以從逆時(shí)針來看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1.