棣莫弗(de Moivre)定理 設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),則:

　　Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

　　證:先講一下復(fù)數(shù)的三角形式的概念.在復(fù)數(shù)平面上,可以用向量Z(a,b)來表示Z=a+ib.于是,該向量可以分成兩個(gè)在實(shí)軸,虛軸上的分向量.如果向量Z與實(shí)軸的夾角為θ,這兩個(gè)分向量的模分別等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,復(fù)數(shù)Z可以表示為Z=r(cosθ+isinθ).這里θ稱為復(fù)數(shù)Z的輻角.

　　因?yàn)閆1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以

　　Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

　　=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

　　=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

　　=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

　　其實(shí)該定理可以推廣為一般形式:

　　棣莫弗定理的推廣 設(shè)n個(gè)復(fù)數(shù)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn), 則：

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].

　　證：用數(shù)學(xué)歸納法即可，歸納基礎(chǔ)就是兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的棣莫弗定理。

　　如果把棣莫弗定理和歐拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”(參見《泰勒公式》，嚴(yán)格的證明需要復(fù)分析)放在一起看，則可以用來理解歐拉公式的意義。

　　利用棣莫弗定理有：

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]

　　如果可以把所有的復(fù)數(shù)改寫成指數(shù)的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)

　　這和指數(shù)的可加性一致.

　　在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)開方的公式.有興趣可自己推推看.