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奧數(shù)探秘之棣莫弗定理

來源:網絡資源 文章作者:網絡資源 2009-12-08 15:18:20

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    棣莫弗(de Moivre)定理 設兩個復數(shù)(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),則:

  Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

  證:先講一下復數(shù)的三角形式的概念.在復數(shù)平面上,可以用向量Z(a,b)來表示Z=a+ib.于是,該向量可以分成兩個在實軸,虛軸上的分向量.如果向量Z與實軸的夾角為θ,這兩個分向量的模分別等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,復數(shù)Z可以表示為Z=r(cosθ+isinθ).這里θ稱為復數(shù)Z的輻角.

  因為Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以

  Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

  =r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

  =r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

  =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

  其實該定理可以推廣為一般形式:

  棣莫弗定理的推廣 設n個復數(shù)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……,Zn=rn(cosθn+isinθn), 則:

  Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].

  證:用數(shù)學歸納法即可,歸納基礎就是兩個復數(shù)相乘的棣莫弗定理。

  如果把棣莫弗定理和歐拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”(參見《泰勒公式》,嚴格的證明需要復分析)放在一起看,則可以用來理解歐拉公式的意義。

  利用棣莫弗定理有:

  Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]

  如果可以把所有的復數(shù)改寫成指數(shù)的形式,即:Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……,Zn=rne^iθn,

  Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)

  這和指數(shù)的可加性一致.

  在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,則能導出復數(shù)開方的公式.有興趣可自己推推看.

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