在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意無(wú)一重復(fù)，無(wú)一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。

　　兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A∪B = A+B - A∩B

　　三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

　　容斥原理(1)

　　如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個(gè)數(shù)= A類元素個(gè)數(shù)+

　　B類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。

　　例1

　　一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語(yǔ)文得滿分，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人?

　　分析：依題意，被計(jì)數(shù)的事物有語(yǔ)、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語(yǔ)文得滿分”稱為“B類元素”，“語(yǔ)、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類或B類元素個(gè)數(shù)”的總和。

　　試一試：某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有41人，有電容斥原理(2)

　　如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個(gè)數(shù)= A類元素個(gè)數(shù)+

　　B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)。

　　例2某校六(1)班有學(xué)生54人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問(wèn)：三項(xiàng)都參加的有多少人?

　　分析：仿照例1的分析，你能先說(shuō)一說(shuō)嗎?

　　例3 在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)?不能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)?

　　分析：顯然，這是一個(gè)重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題(當(dāng)然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù))。我們可以把“能被3或5整除的數(shù)”分別看成A類元素和B類元素，能“同時(shí)被3或5整除的數(shù)(15的倍數(shù))”就是被重復(fù)計(jì)算的數(shù)，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個(gè)數(shù)”。現(xiàn)在我們還不能直接計(jì)算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數(shù)有333個(gè)(想一想，這是為什么?)同理，可以求出其他的條件。

　　例4 分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)?

　　分析：這一題實(shí)際上就是找分子中不能整除1001的數(shù)。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數(shù)。

　　例5

　　某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、投擲三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試后，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一項(xiàng)達(dá)到了優(yōu)秀，達(dá)到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下表：

　　短跑 游泳 投擲 短跑、游泳 短跑、投擲 游泳、投擲 短跑、游泳、投擲

　　1 7 1 8 1 5 6 6 5 2

　　求這個(gè)班的學(xué)生共有多少人?

　　分析：這個(gè)班的學(xué)生數(shù)，應(yīng)包括達(dá)到優(yōu)秀和沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀的。

　　試一試：一個(gè)班有42人，參加合唱隊(duì)的有30人，參加美術(shù)組的有25人，有5人什么都沒(méi)有參加，求兩種都參加的有多少人?

　　例6

　　在一根長(zhǎng)的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段?

　　分析：很顯然，要計(jì)算木棍被鋸成多少段，只需要計(jì)算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。

　　若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開(kāi)，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的 11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù)的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來(lái)解決此問(wèn)題。用容斥原理的那一個(gè)呢?想一想，被計(jì)數(shù)的事物有那幾類?每一類的元素個(gè)數(shù)是多少?