一 奇怪的無窮多
整數(shù)有多少個(gè)？
無窮個(gè)。
偶數(shù)有多少個(gè)？
無窮個(gè)。
這樣的回答是正確的。如果我問你：
整數(shù)與偶數(shù)，哪一種數(shù)多？
恐怕不少同學(xué)都會(huì)說，當(dāng)然整數(shù)比偶數(shù)多了。進(jìn)一步，恐怕還會(huì)有同學(xué)告訴我，“偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于整數(shù)個(gè)數(shù)的一半”。什么道理呢？那是因?yàn)椤捌鏀?shù)與偶數(shù)合起來就是整數(shù)。而奇數(shù)與偶數(shù)是相同排列的，所以奇數(shù)與偶數(shù)一樣多，大家都是整數(shù)的一半。”
整數(shù)包括偶數(shù)，偶數(shù)是整數(shù)的一部分，全體大于部分，整數(shù)比偶數(shù)多，這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？
你認(rèn)為這樣的回答有道理嗎？
16世紀(jì)意大利著名科學(xué)家伽利略的看法卻與此相反，他曾提出過一個(gè)著名的悖論，叫做“伽利略悖論”，悖論的內(nèi)容是：“整數(shù)和偶數(shù)一樣多”。這似乎違背常識(shí)。
不過，伽利略所說的，也絕不是沒有道理。首先，我們論述的對象都是無窮個(gè)，而不是有限個(gè)，對于有限個(gè)來說，“全體大于部分”無可爭議。從1到10的整數(shù)比從1到10的偶數(shù)就是多。但是，把這個(gè)用到無窮上就要重新考慮了。對于有限來說，說兩堆物體數(shù)量一樣多，只要把各堆物體數(shù)一下，看看兩堆物體的數(shù)量是否相等就可以。這個(gè)辦法對“無窮”來說是不適用的，因?yàn)椤盁o窮”本身就包括“數(shù)不完”的意思在內(nèi)�？雌饋�，我們得另想辦法。
據(jù)說，居住在非洲的有些部族，數(shù)數(shù)最多不超過3，但是他們卻知道自己放牧的牛羊是否有丟失。辦法是，早上開圈放羊時(shí)，讓羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一塊小石頭。顯然，羊的個(gè)數(shù)和小石頭的個(gè)數(shù)一樣多。傍晚，放牧歸來，每進(jìn)圈一只羊，牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進(jìn)了圈，而小石頭一個(gè)沒剩，說明羊一只也沒丟。非洲牧羊人實(shí)際上采取了“一對一”的辦法，兩堆物體只要能建立起這種一對一的關(guān)系，就可以說明兩堆物體的數(shù)量一樣多。
這種辦法同樣可以用在無窮上，看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一對一的關(guān)系。伽利略在整數(shù)與偶數(shù)之間建立的對應(yīng)關(guān)系是：
0 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按這樣的一種關(guān)系，給出一個(gè)整數(shù)，就可以找出一個(gè)偶數(shù)與之對應(yīng)，給出的整數(shù)不同，與之相對應(yīng)的偶數(shù)也不同；反過來，對于每一個(gè)偶數(shù)，都可以找到一個(gè)自然數(shù)與之對應(yīng)，偶數(shù)不同，所對應(yīng)的整數(shù)也不同，由此我們稱整數(shù)與偶數(shù)之間建立了一對一的關(guān)系，所以我們說：“整數(shù)與偶數(shù)一樣多”是正確的。
這告訴我們，“無窮”是不能用“有限”中的法則來衡量的，許多對“有限”成立的性質(zhì)，對“無窮”卻未必成立。
二 變換
任給一個(gè)自然數(shù)n，如果n是偶數(shù)，則將它除以2；如果n是奇數(shù)，則將它乘以3，再加上1，我們稱這種作法為對于數(shù)n的變換.例如，對于數(shù)5，按照上述規(guī)則進(jìn)行一次變換得到。
3×5＋1＝16.
對16施行變換得 16÷2＝8.
將這種變換繼續(xù)下去，有
8÷2＝4， 4÷2＝2，
2÷2＝1， 1×3＋1＝4，
4÷2＝2， 2÷2＝1，
……
有趣的是，對于數(shù)5，按照上面所要求的規(guī)則不斷變換下去，最終出現(xiàn)形如
4→2→1→4→2→1→……的重復(fù).
還可以以6為例按上述指定規(guī)則進(jìn)行變換，得到
6→3→10→5→16→8
4→2→1→4→2→1→……
再如18，
18→9→28→14→7→22→
11→34→17→52→26→13→
40→20→10→5→16→8→
我們發(fā)現(xiàn)在這種指定變換下，無論開始是哪個(gè)自然數(shù)，最終總得到形如
4→2→1→4→2→1的循環(huán)、重復(fù).
遺憾的是我們不能僅憑列舉若干自然數(shù)，就斷定對任何自然數(shù)n都具備這種性質(zhì)。事實(shí)上，到目前為止，還沒有誰能證明這一點(diǎn)。
在競賽中我們會(huì)遇到一些類似的變換，有時(shí)候是對一個(gè)數(shù)連續(xù)進(jìn)行某種指定變換，有時(shí)候是對一組數(shù)連續(xù)進(jìn)行某種指定變換。在紛亂多樣的變化中，卻隱藏著某種規(guī)律，而我們解決這些問題的關(guān)鍵，就在于透過表面現(xiàn)象，從“萬變”中揭示出“不變”的數(shù)量關(guān)系。
例1 對任意兩個(gè)不同的自然數(shù)，將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱為一次變換。如對18和42可進(jìn)行這樣的連續(xù)變換：
18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。
直到兩數(shù)相同為止。問：對12345和54321進(jìn)行這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是幾？為什么？
解 如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是a，那么這兩個(gè)數(shù)之差與這兩個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數(shù)的最大公約數(shù)始終不變，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)就是它們的最大公約數(shù)。因?yàn)?2345和54321的最大約數(shù)是3，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是3。
說明 這個(gè)變換的過程實(shí)際上就是求兩數(shù)最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。
例2 在圖1中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時(shí)加1或減1，這算作一次變換。經(jīng)過若干次變換后，圖1變?yōu)閳D2。問：圖2中A格中的數(shù)字是幾？
解 每次變換都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（如圖3）。因?yàn)槊看巫儞Q總是一個(gè)黑格與一個(gè)白格的數(shù)字同時(shí)加上或減1，所以所有黑格內(nèi)的數(shù)字之和與所有白格內(nèi)數(shù)字之和的差保持不變。因?yàn)閳D1的這個(gè)差是13，所以圖2的這個(gè)差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。
例3 黑板上寫著三個(gè)整數(shù)，任意擦去其中一個(gè)，將它改寫成為其它兩數(shù)之和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到3，1997，1999，問原來的三個(gè)數(shù)能否是2，2，2？
解 答案是否定的。
注意到2，2，2按照題設(shè)中的方式首先變換為2，2，3，再變換下去必定其中兩個(gè)為偶數(shù)，一個(gè)為奇數(shù)（數(shù)值可以改變，但奇偶性不變）。但3，1997，1999是三個(gè)奇數(shù)，所以2，2，2永遠(yuǎn)不會(huì)按照所述方式變?yōu)?，1997，1999。
想想練練
1.黑板上寫著1～15共15個(gè)數(shù)，每次任意擦去兩個(gè)數(shù)，再寫上這兩個(gè)數(shù)的和減1。例如，擦掉5和11，要寫上15。經(jīng)過若干次后，黑板上就會(huì)剩下一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是幾？
2.在黑板上任意寫一個(gè)自然數(shù)，然后用與這個(gè)自然數(shù)互質(zhì)并且大于1的最小自然數(shù)替換這個(gè)數(shù)，稱為一次變換。問最多經(jīng)過多少次變換，黑板上就會(huì)出現(xiàn)2？
3.口袋里裝有101張小紙片，上面分別寫著1～101。每次從袋中任意摸出5張小紙片，然后算出這5張小紙片上各數(shù)的和，再將這個(gè)和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中。經(jīng)過若干次這樣做后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數(shù)是幾？
4.在一個(gè)圓上標(biāo)出一些數(shù)：第一次先把圓周二等分，在兩個(gè)分點(diǎn)分別標(biāo)上2和4。第二次把兩段半弧分別二等分，在分點(diǎn)標(biāo)上相鄰兩數(shù)的平均數(shù)3（圖4）。第三次把四段弧再分別二等分，在四個(gè)分點(diǎn)分別標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)兩數(shù)的平均數(shù)。如此下去，當(dāng)?shù)?次標(biāo)完后，圓周上所有標(biāo)出的數(shù)的總和是多少？
