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名師秘笈系列之:不定方程的“四原則”

來源:本站原創(chuàng) 文章作者:奧數(shù)網(wǎng)教研組:陳體鑾 2006-12-20 10:28:11

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  引言:所謂不定方程,就是未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù),一般我們在求解的時候主要是討論未知數(shù)的取值可能性,但是在討論是我們可以根據(jù)題目給出的條件提高解題速度,下面是筆者總結的幾個原則:
下面我們以“11屆迎春杯試題”來講解四個原則,題目見下:

  現(xiàn)商店有7分,4分鉛筆,現(xiàn)花6角錢各買若干只,問兩種鉛筆各買幾只?
  根據(jù)題意,我們很容易得出7x+4y=60,這樣我們來討論解法:

[原則一]:系數(shù)大的開始討論
  很容易發(fā)現(xiàn):如果討論x,我們只要討論從1~8總共8種可能取值;
              如果討論y,我們要討論從1~14總共14種可能取值,所以我們選擇未知數(shù)前面系數(shù)大的開始討論。

[原則二]:奇偶性討論
  很容易發(fā)現(xiàn):60是個偶數(shù),4y也是個偶數(shù),這樣我們就要求7x也必須是個偶數(shù),所以x只能取偶數(shù),這樣我們只要討論x取2、4、6、8四種取值。

[原則三]:倍數(shù)原理
  我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn),方程中有三個常數(shù)60、4、7,這樣我們發(fā)現(xiàn)60是4的倍數(shù),4y是4的倍數(shù),這樣7x=60-4y=4(15-y)肯定也是4的倍數(shù),所以x也只能是4的倍數(shù),所以x只能取4、8。

[原則四]:尾數(shù)原理(運用條件:出現(xiàn)5的倍數(shù))
  下面我們再來看: 9x+5y=73
  5y的尾數(shù)只有0、5,
  如果5y尾數(shù)為0,那么9x的尾數(shù)只能是3,所以x=7,
  如果5y尾數(shù)為5,那么9x的尾數(shù)只能是8,所以x=2。
  從上面我們可以發(fā)現(xiàn)方法得當可以大大減少計算時間,建議學生多練習。

  附:

  1、圓珠筆每支5角,彩色日記本每本8角現(xiàn)在有6元3角錢.問圓珠筆和彩色日記本各買多少,才使錢正好用光?
  答案:圓珠筆11支,筆記本1本。

  2、六年級某班同學48人到公園里去劃船,如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人,那么需要小船和大船各幾只?(大船小船都有)
  答案:小船x大船y列方程:3x+5y=48   x,y都是正整數(shù)
  解得:x=1,y=9  
  x=6,y=6
  x=11,y=3

  3、裝水瓶的盒子有大小兩種,大的能裝7個,小的能裝4個,要把41個水瓶裝入盒內(nèi).問需大、小盒子個多少個?
  答案:設大的x個,小的y個,有:7x+4y=41
  根據(jù)奇偶關系知道:x只能取奇數(shù)
  x=1,y=8.5 舍去
  x=3,y=5  滿足
  x=5,y=1.5 舍去

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