引言

　　"牛吃草"問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)專(zhuān)題，也是小升初考試中常常涉及的題型。目前小學(xué)教材中對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的通用解法是用算術(shù)方法逐步分析求解。由于變量較多，同學(xué)們常常分不清數(shù)字之間的關(guān)系而得出錯(cuò)誤的結(jié)果。本人利用數(shù)學(xué)中方程思想對(duì)此類(lèi)題目進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上提出解決此類(lèi)問(wèn)題的通用方法。

　　一、問(wèn)題提出

　　有這樣的問(wèn)題，如：牧場(chǎng)上有一片均勻生長(zhǎng)的牧草，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？這類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為"牛吃草"問(wèn)題，它們的共同特點(diǎn)是由于每個(gè)單位時(shí)間草的數(shù)量在發(fā)生變化，從而導(dǎo)致時(shí)間不同，草的總量也不相同。

　　目前小學(xué)奧數(shù)輔導(dǎo)教材中對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的通用解法是用算術(shù)方法求出每個(gè)單位時(shí)間草的變化量等于多少頭牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少頭牛的吃草量，從而得出答案。這種方法在數(shù)量之間的關(guān)系換算上較麻煩，一旦題目增加難度，或與工程問(wèn)題結(jié)合，轉(zhuǎn)成進(jìn)水排水問(wèn)題，常常使人找不到解題的正確思路。如果用方程思想求解此類(lèi)問(wèn)題，思路可以清晰，步驟也可以明確，并形成一個(gè)通用的方法。

　　二、方程解題方法

　　用方程思路解決"牛吃草"問(wèn)題的步驟可以概括為三步：

　　1、 設(shè)定原有草的總量和單位時(shí)間草的變化量，一般設(shè)原有總量為1，單位時(shí)間變化量為X；

　　2、 列出表格，分別表示牛的數(shù)量、時(shí)間總量、草的總量（原有總量+一定時(shí)間內(nèi)變化的量）、每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量

　　3、 根據(jù)每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量保持不變這一關(guān)系列方程求解X，從而可以求出任意時(shí)間的草的總量，也可以求出每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量。從而針對(duì)題目問(wèn)題設(shè)未知數(shù)為Y進(jìn)行求解。

　　下面結(jié)合幾個(gè)例題進(jìn)行分析：

　　例題1：一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃幾周？

　　解：第一步：設(shè)牧場(chǎng)原有草量為1，每周新長(zhǎng)草X；

　　第二步：列表格如下：

　　第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：

　　(1-5X)/20*5 = (1-6X)/16*6                  (1)

　　(1-5X)/20*5 = (1-YX)/11Y                   (2)

　　由（1）得到X=1/30，

　　代入（2）得到Y(jié)=8（天）

　　"牛吃草"問(wèn)題常常以進(jìn)排水或排隊(duì)等其他的形式出現(xiàn)在考試中，這種問(wèn)題也可通過(guò)方程思想迎刃而解。

　　例題3：有一水池，池底有泉水不斷涌出。要想把水池的水抽干， 10臺(tái)抽水機(jī)需抽 8時(shí)，8臺(tái)抽水機(jī)需抽12時(shí)。如果用6臺(tái)抽水機(jī)，那么需抽多少小時(shí)？

　　解：第一步：設(shè)水池原有水量為1，每小時(shí)泉水涌出X；

　　第二步：列表格如下：

　　第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：

　　(1+90X)/110*90 = (1+210X)/90*210            (1)

　　(1+90X)/110*90 = X/Y                        (2)

　　由（1）得到 X=1/42

　　代入（2）得到 Y=75（億人）

　　例題5：某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，若同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口則需30分鐘，若同時(shí)開(kāi)6個(gè)檢票口則需20分鐘。如果要使隊(duì)伍 10分鐘消失，那么需同時(shí)開(kāi)幾個(gè)檢票口？

　　解：第一步：設(shè)開(kāi)始檢票之前人數(shù)為1，每分鐘來(lái)人X；

　　第二步：列表格如下：

　　第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：

　　(1+30X)/5*30 = (1+20X)/6*20                  (1)
　　(1+30X)/5*30 = (1+10X)/10Y                   (2)
　　由（1）得到X=1/20，
　　代入（2）得到Y(jié)=9（個(gè)）

　　三  計(jì)算機(jī)程序算法的初探

　　根據(jù)以上對(duì)"牛吃草"問(wèn)題的分析，我們知道由于解題格式固定，此類(lèi)問(wèn)題完全可以編制計(jì)算機(jī)程序輸入計(jì)算機(jī)之中，對(duì)更復(fù)雜的該類(lèi)題目用計(jì)算機(jī)求解。由于我希望得到此類(lèi)問(wèn)題的通用解法，所以我只列出計(jì)算機(jī)程序的算法，具體可以用各類(lèi)編程語(yǔ)言加以實(shí)現(xiàn)

　　1 判斷草均勻成長(zhǎng)還是均勻減少；
　　2 定義三個(gè)變量保存已知的牛的數(shù)量A,B,C；
　　3 再定義兩個(gè)變量保存相應(yīng)的牛吃草的天數(shù)D,E,F；
　　4 定義吃草函數(shù)的函數(shù)體：f(x)=1+Mx(均勻增長(zhǎng)時(shí)候)，f(x)=1-Mx(均勻減少時(shí)候)；并將天數(shù)變量傳參；
　　5 根據(jù)表格算法求出對(duì)應(yīng)的天數(shù)。

　　四、結(jié)論

　　通過(guò)五個(gè)例題的演示，我們可以得出解決類(lèi)似"牛吃草"問(wèn)題的通用解法，即首先設(shè)定單位時(shí)間的變化量及原有總量，其次通過(guò)表格形式表達(dá)出單位時(shí)間內(nèi)"單位牛的吃草量"，最后列出方程求解答案。這種方法對(duì)任何該類(lèi)題型都適用，而且思路清晰，步驟明確，不易出錯(cuò)。

　　四、參考文獻(xiàn)

　　【1】 人大附中劉彭芝主編，2004年，"仁華學(xué)校奧林匹克數(shù)學(xué)課本"（小學(xué)五年級(jí)），70-76。
　　【2】 奧數(shù)網(wǎng)（），2006年，"小學(xué)奧數(shù)補(bǔ)充題"。
　　【3】 C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)      譚浩強(qiáng)     清華大學(xué)出版社

指導(dǎo)教師：周脧  

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