保羅·厄多斯（PaulErdth1913—）1983年以色列政府頒給十萬美元“沃爾夫獎金”（WolfPrize）就是由他和華裔美籍的陳省身教授平分。

　　浪跡天涯的數(shù)學(xué)家

　　厄多斯是當(dāng)代發(fā)表最多數(shù)學(xué)論文的數(shù)學(xué)家，也是全世界和各種各樣不同國籍的數(shù)學(xué)家合作發(fā)表論文最多的人；他也是旅行最多地方、四海為家的數(shù)學(xué)家。

　　如果你聽過這樣的歌：“我是一個(gè)孤獨(dú)的牛仔，浪跡天涯……”厄多斯教授一定會改唱為：“我是一個(gè)快樂的非常老的老頭子，浪跡天涯……”他是不孤獨(dú)的，他的朋友遍天下。

　　對于熟悉他的人，他很樂意人家叫他“保羅叔叔”，他曾常常對人說：“我已經(jīng)是非常老了。”他生于1913年布達(dá)佩斯一個(gè)中產(chǎn)階層的家庭，父母都是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，作為一個(gè)獨(dú)身子，他很敏感，他在六歲時(shí)就顯露出他的與眾不同之處，他能很快的加及乘六位數(shù)的大數(shù)。他的父母從事教育工作，對于他的才智的發(fā)展關(guān)注及善于指導(dǎo)，從小他就對自然科學(xué)、文學(xué)及社會問題關(guān)心。

　　他發(fā)表了近1000多篇的論文，平均一年要寫和回答1500多封有關(guān)于數(shù)學(xué)問題的信。他可以和任何大學(xué)的數(shù)學(xué)家合作研究，他每到一處演講就能和該處的一兩個(gè)數(shù)學(xué)家合作寫論文，據(jù)說多數(shù)的情形是人們把一些本身長期解決不了的問題和他討論，他可以很快就給出了問題的解決方法或答案，于是人們趕快把結(jié)果寫下來，然后發(fā)表的時(shí)候放上他的名字，厄多斯的新的一篇論文就這樣誕生了。

　　他是一個(gè)富有傳奇色彩的人，人們甚至謠傳（當(dāng)然這不是真的）：他有一次從一個(gè)地方要到另外一個(gè)地方的大學(xué)演講，他竟然在旅途中和查票的火車查票員合寫了一篇數(shù)學(xué)論文！

　　每星期有新研究才是數(shù)學(xué)家

　　厄多斯對數(shù)學(xué)家的定義是很奇特的：“一個(gè)數(shù)學(xué)家必須是在每個(gè)星期有一些新的研究工作才成為數(shù)學(xué)家。”

　　因此有一次，他在巴黎演講后，有個(gè)法國數(shù)學(xué)家問他關(guān)于他們英國的共同朋友某個(gè)得爵士頭銜的教授的近況。厄多斯回答：“這可憐的家伙兩年前已死去了。”另外一位法國教授在旁邊聽到，馬上說：“這是不可能的，我上個(gè)月還在羅馬見到他�！倍�厄多斯卻說：“啊！你應(yīng)該明白我的意思，我是指他這兩年沒有搞出一些新東西出來！”

　　他遇見他的搞數(shù)學(xué)的同行，就喜歡問：“你昨天有什么新的發(fā)現(xiàn)？”而“保羅叔叔”要生出一個(gè)新的定理或問題是比母雞生蛋還要快。

　　去年他已是70歲高齡，他還精神抖擻到處演講。聽他演講時(shí)還中氣十足，記憶力也不太衰退，身體輕盈活潑，不像一個(gè)上了年紀(jì)的老人家。

　　他從來沒有一個(gè)固定的職位，也從來不定居在一個(gè)地方，他也沒有結(jié)婚，他的父親去世后，母親就跟著他。他非常孝順照顧她一些生活，難為他的母親與他過著“處處無家處處家”的流浪生活，母親晚年曾短期居住在以色列，90高齡才去世。而他風(fēng)塵仆仆旅行時(shí)，只三兩個(gè)小的舊皮箱放他的一點(diǎn)衣服和私人用具，或加上一兩個(gè)塑膠袋里面裝了一些他送給朋友或朋友孩子的禮物。

　　他是國際聞名的大數(shù)學(xué)家，可是生活比愛因斯坦還要簡樸，他沒有什么個(gè)人的書籍，到那里就用學(xué)�；蜓芯克�的圖書。我在法國龐加萊研究所的圖書館就曾見到他進(jìn)來查閱雜志，他的記憶力好得不必翻目錄，用手一翻就能找到他要的文章，我看了只好佩服得五體投地。

　　主人是妻子，奴隸是丈夫

　　他很愛小孩，他叫小孩子“epsilon”（希臘字母，數(shù)學(xué)在微積分上通常用來表示一個(gè)很小的數(shù)，中文可以譯成“小不點(diǎn)兒”）。他對婚姻和配偶有奇怪的看法：一個(gè)結(jié)合的配偶包含一個(gè)“主人”和一個(gè)“奴隸”。主人是妻子，奴隸是丈夫。他們結(jié)合就意味奴隸被主人逮住了。如果離婚，奴隸就是被解放。如果一個(gè)男人還要再結(jié)婚，那么他就是要再被逮捕成為奴隸。

　　因此他為了不做“奴隸”，一生不娶，專心搞他喜歡的數(shù)學(xué)。

　　美國著名數(shù)學(xué)家S.M.烏朗（Ulam1909—）在1976年，他的自傳《一個(gè)數(shù)學(xué)家的冒險(xiǎn)記》（Adventureofmathematician）曾經(jīng)這么寫：“數(shù)學(xué)的天地是大腦創(chuàng)造出來，可以視為不需外界的助力。數(shù)學(xué)家工作可以不像其他科學(xué)家那樣需要儀器。物理學(xué)家（甚至理論物理學(xué)家），生物學(xué)家和化學(xué)家都需要實(shí)驗(yàn)室——可是數(shù)學(xué)家能在沒有粉筆、紙或筆的情況下工作，他可能在走路，吃飯甚至談天時(shí)繼續(xù)思考。這就或許可以解釋為什么有許多數(shù)學(xué)家在從事其他工作時(shí)表現(xiàn)得內(nèi)向（inward）及心不在焉，這和其他領(lǐng)域的科學(xué)工作者的形象最鮮明的不同。當(dāng)然，這還要看具體情形。有些人像保羅·厄多斯具有極端的特點(diǎn)。他在清醒的時(shí)間里非常大的百分比是放在數(shù)學(xué)構(gòu)造和推理思考，把其他的事都擱在一邊。”

　　“……保羅·厄多斯在任何時(shí)刻都集中精神和思考，通常是放在已經(jīng)開始工作或者他以前曾經(jīng)考慮過的問題。他不把他的記憶像錄音機(jī)那樣洗干凈，從新開始……”

　　我和他的結(jié)識

　　“……他真的是一個(gè)神童，在18歲時(shí)就發(fā)表他的在數(shù)論和組合數(shù)學(xué)的結(jié)果。

　　由于是猶太人，他需離開匈牙利，而這反而救了他的命。在1941年他是27歲，卻不快樂，思鄉(xiāng)，常常擔(dān)憂他那留在匈牙利的母親。

　　他來麥迪生（Madison）是我們友誼的開始。由于經(jīng)濟(jì)桔據(jù)，除他所說的窮，他常把他訪問的日子延長到不能延為止。在1943年他在普度大學(xué)（PurdueUniversity）取得一個(gè)獎學(xué)金，這時(shí)他不再分文全無。就如他所說的：“還從舉債的日子擺脫。”在這次及其他的訪問，我們互相討論合作——我們的數(shù)學(xué)討論只有在讀報(bào)紙或聽收音機(jī)廣播戰(zhàn)爭情況及政治分析時(shí)才終斷。在去普度之前，他仍在普林斯敦研究所一年到他的生活津貼被停止為止。

　　大動作、神經(jīng)質(zhì)、特異語言

　　他是比中等身裁稍矮，非常神經(jīng)質(zhì)，當(dāng)時(shí)他是比現(xiàn)在還要活躍——常常跳上跳下或者拍打（flapping）他的雙臂。他的眼睛常常顯示他是在思考數(shù)學(xué)，這過程只有在他說出對世界事務(wù)、政治或人類悲觀的論調(diào)時(shí)才中斷。如果有一些有趣的想法從他頭上產(chǎn)生，他就會跳上來，拍他的手掌，然后再坐下。他的專心搞數(shù)學(xué)及常常思索問題，很像我的一些波蘭朋友。他的怪異的形態(tài)是太多了，不可能全寫下來。一個(gè)方面（現(xiàn)在仍然保留下來）是他的特異的語言。如用“epsilon”表示孩子，“奴隸”是指丈夫，“主人，”是指妻子，“捕俘”是指“結(jié)婚”，“講道”（preach）是指演講，及其他現(xiàn)在數(shù)學(xué)界所知道他的獨(dú)創(chuàng)名詞。我們共同獲得的數(shù)學(xué)結(jié)果，有許多到今天還沒有發(fā)表。

　　厄多斯并不因時(shí)間的過去而有太大的改變。他仍舊是專心于數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家�，F(xiàn)在已過60歲了，他已有超過700多篇他個(gè)人寫的論文。關(guān)于他的許多說法，其中之一是：“如果你不認(rèn)識保羅·厄多斯，你就不是真正的數(shù)學(xué)家�！边�有一個(gè)有名的厄多斯數(shù)——任何數(shù)學(xué)家通過和他合作者聯(lián)系到厄多斯所要的階數(shù)。例如，如果你是列為“厄多斯數(shù)2”表示你和一個(gè)曾和厄多斯合寫過的人合寫論文。多數(shù)的數(shù)學(xué)家，如果不是屬于厄多斯數(shù)1就是厄多斯數(shù)2。

　　厄多斯還是繼續(xù)用筆寫短信，開頭是：“假定×是這樣，因此有……”或者“假定我有一序列的數(shù)……”在信結(jié)尾時(shí)，他寫了一點(diǎn)他個(gè)人的看法，通常是他已經(jīng)老了（這從他30歲就開始說）或者帶憂郁（hypochondriac）或悲觀地對我們上了年紀(jì)的朋友的看法。他的信是迷人的（Charming）及常包含新的數(shù)學(xué)消息……

　　下棋證明腦筋健全

　　在1945年烏朗腦部動手術(shù)之后，準(zhǔn)備從醫(yī)院回家，厄多斯在走廊見到他，興高采烈的喊道：“史坦（Stan），我高興的看到你還活著。我想你快死了，我要為你的訃告及親自完成我們合作的論文。”當(dāng)時(shí)他手上拿了一個(gè)皮箱，沒有其他地方可去，烏朗就邀他來他家里小住。

　　烏朗的同事載他們回家，而在車上厄多斯就開始滔滔不絕地談?wù)撘恍��?shù)學(xué)問題，烏朗也發(fā)表一些看法。厄多斯就高興的說：“史坦，你還和以前一樣！”這給烏朗心中很大的安慰，他擔(dān)心自己的腦動手術(shù)后受損害。一到家，厄多斯就建議下國際象棋，烏朗很擔(dān)心對象棋的一些規(guī)則及棋子的走法忘記了，第一盤棋厄多斯是輸了，厄多斯再建議下第二盤，烏朗想可能厄多斯是要讓他贏使他心里高興，他想到疲倦，但是仍和他再下一盤。厄多斯努力奮戰(zhàn)仍舊輸，他說他感到疲倦不要下了，烏朗才相信厄多斯是很認(rèn)真及誠懇與他下棋，他才對自己的腦沒有完全損壞而高興。

　　他們常在一起討論數(shù)學(xué)或到海邊散步。有一次他遇到一個(gè)小孩，他說：“看，史坦！多么可愛的小不點(diǎn)兒�！币粋�(gè)非常漂亮的年青婦女坐在附近，肯定是這小孩的母親，烏朗就回答：“可是看那個(gè)大寫的epsilon。”這令厄多斯馬上臉紅和難堪。在那時(shí)期厄多斯用SF（Supremefascist最高至上法西斯分子）來代表上帝，用Joe（斯大林的名）來代表蘇聯(lián)，用Sam（山姆）來代表美國。

　　厄多斯從事工作的領(lǐng)域很廣：數(shù)論、集合論、組合數(shù)學(xué)、圖論、概率論及其應(yīng)用（應(yīng)用到數(shù)論、群論、更一些隨機(jī)結(jié)構(gòu)），實(shí)變函數(shù)論，無窮級數(shù)理論、插值論等等。

　　在1973年麻省理工學(xué)院的出版社為了他的60歲生日紀(jì)念出版了他的選集《計(jì)算的藝術(shù)》（TheartofCounting），讀者可以看到他的各種各類的數(shù)學(xué)工作。英國名數(shù)學(xué)家Rado在序上說他是：“流浪者（WanderingScholar）。他時(shí)常橫跨五大洲。他效忠的是“科學(xué)之后”而不是任何特別地方或研究所。

　　最早與他合作寫過論文的中國數(shù)學(xué)家有柯召（1938年），在數(shù)論方面。1947年有鐘開萊，在概率論方面，我這里介紹一點(diǎn)他有興趣的問題：

　　用金錢刺激解決難題

　　在四十多年前他問xxyy=Zz是否有非x=y=z=1的整數(shù)解？在1940年，柯召發(fā)現(xiàn)以上的方程有無窮多解。現(xiàn)在問題是柯召發(fā)現(xiàn)的是不是全部的解？是否還有新的解可以找出來？

　　他與Strauss猜想對于任何整數(shù)n≥3，方程：

　　是可以找到滿足1≥x1＜x2＜x3的整數(shù)解。這問題還沒解決。

　　對于任何整數(shù)n，與n互素的個(gè)數(shù)是φ（n），我們?nèi)绻麑⑦@些數(shù)列下1=r1＜…＜rφ（n）=n-1

　　厄多斯在40多年前，猜想一定能找到一個(gè)固定的常數(shù)C，使得

　　他給250美元的獎金，如果有人能證明或者反證以上的問題，這問題還未解決。

　　他提出許多數(shù)學(xué)問題及一些猜想，有時(shí)還附上獎金，這些數(shù)目最低是50美元，然后是100美元，400美元，500美元，高的可達(dá)1000、2000及3000美元及一萬美元。他的同胞Szemeredi在年青時(shí)，就曾解決了他的一個(gè)問題而獲得1000美元的獎金。在他的“金錢刺激”之下，有許多人研究他所認(rèn)為重要及有趣的數(shù)學(xué)難題。

　　他的一個(gè)3000美元獎金的問題是：如果正整數(shù)序列a1，a2，…有這樣的性質(zhì)：

　　則對于任何的k，我們可以找到k個(gè)數(shù)，在以上序列里成為等差級數(shù)。這問題有中學(xué)數(shù)學(xué)程度的人就可明白，但解決不容易。

　　厄多斯是匈牙利的國寶

　　美國數(shù)學(xué)家MarkKac有一次在演講他的數(shù)學(xué)研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)厄多斯聽得睡著了。當(dāng)他對聽眾說他相信他對某個(gè)數(shù)論問題的猜想是正確的，突然厄多斯驚醒，老頭子說：“請您把剛才的問題重復(fù)一下！”MarkKac再解釋一遍。結(jié)果在MarkKac演講還未結(jié)束時(shí)，厄多斯已經(jīng)把整個(gè)問題解決了。

　　他雖然是匈牙利的科學(xué)院士，可是他可以隨時(shí)自由離開自己的國家，他的護(hù)照就像外交人員那樣有特權(quán)，每次他從外國回來機(jī)場就有一大堆的年青或年紀(jì)大的數(shù)學(xué)家去迎接他，他的全部財(cái)產(chǎn)就是在那兩個(gè)舊皮箱里，看到他的朋友來迎接，他就從塑料袋里找禮物送，然后就詢問這些朋友親屬的近況，或者談坦桑尼亞的情況，或者提他最近和某些人接觸時(shí)所知道的有趣數(shù)學(xué)問題。走到某接待他的汽車時(shí)，他問候周圍的人，他有時(shí)還會把張三錯(cuò)當(dāng)李四。有時(shí)他也提起他所認(rèn)識的外國數(shù)學(xué)家的情況，而沒有考慮到聽的人并不認(rèn)識他所說的人。一到家，他就連續(xù)打電話給朋友或親戚，行李完全丟在一邊。他是匈牙利的“國寶”，刺激帶動許多人去從事數(shù)學(xué)研究工作。

　　不想傷害年青數(shù)學(xué)家的熱情

　　我印象最深刻的是我有一次到布達(dá)佩斯拜訪我認(rèn)識的一位F教授，F(xiàn)教授見到我說：“你知道嗎？厄多斯昨天回來了！”可見厄多斯一回國門，就變成布達(dá)佩斯的重要消息。

　　厄多斯知道和解決的東西太多了，有些他來不及寫下來，在40年代時(shí)，他和烏朗合作得到一些有關(guān)實(shí)踐上一些Borel集及平面上一些集合的拓?fù)鋵W(xué)定理，他們一直沒有機(jī)會坐下來合寫成文章。

　　其中有一些結(jié)果后來被一個(gè)印度數(shù)學(xué)家B.V.Rao重新發(fā)現(xiàn)并且發(fā)表。Rao得到這些結(jié)果時(shí)，把論文寄給厄多斯請他提供意見。厄多斯馬上回信鼓勵他發(fā)表這些結(jié)果，信中他并沒有說他及烏朗早已得到以上的結(jié)果并且證明了。后來有人告訴Rao，他所發(fā)現(xiàn)的定理實(shí)際上厄多斯及烏朗早已獲得只是沒有發(fā)表。Rao寫信給厄多斯，問他為什么不早點(diǎn)講這情況？厄多斯回答：他不想模仿高斯（Gauss）這個(gè)“混蛋習(xí)慣”——對于年青的數(shù)學(xué)家潑冷水說：他們自以為發(fā)現(xiàn)的新結(jié)果，事實(shí)上是他早已許多年前得到了。從這點(diǎn)可見厄多斯胸懷寬大及對年青數(shù)學(xué)工作者的愛護(hù)，不想傷害他們對數(shù)學(xué)研究的熱情。

　　厄多斯的事跡很多，他的有趣問題也不少，我們?yōu)榱似�幅限制不能講得太多。讀者如有興趣，可以閱讀《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》第一集，講他怎樣發(fā)現(xiàn)并栽培一個(gè)數(shù)學(xué)神童的故事。