研究代數(shù)方程論

　　李銳對代數(shù)方程論的興趣發(fā)軔于對秦九韶、李冶等末元數(shù)學(xué)家著作的整理與研習(xí)，但其直接導(dǎo)因卻是汪萊在《衡齋算學(xué)》第五冊中對各類方程是否僅有一個(gè)正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條"知不知"歸納為三條判定準(zhǔn)則，其中第一條相當(dāng)于說系數(shù)序列有一次變號(hào)的方程只有一個(gè)正根，第三條相當(dāng)于說系數(shù)序列有偶數(shù)次變號(hào)的方程不會(huì)只有一個(gè)正根；它們與l6世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)(G·CarJano)提出的兩個(gè)命題十分相似。

　　在《開方說》中，李銳則給出了更一般的陳述："凡上負(fù)、下正，可開一數(shù)"，"上負(fù)、中正、下負(fù)，可開二數(shù)"，"上負(fù)、次正、次負(fù)、下正，可開三數(shù)或一數(shù)"，"上負(fù)、次正、次負(fù)、次正、下負(fù)，可開四數(shù)或二數(shù)"；推而廣之，他的意思相當(dāng)于說：(實(shí)系數(shù))數(shù)字方程所具有的正根個(gè)數(shù)等于其系數(shù)符號(hào)序列的變化數(shù)或者比此變化數(shù)少2(精確的陳述應(yīng)為"少一個(gè)偶數(shù)")。這一認(rèn)識(shí)與法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個(gè)數(shù)的符號(hào)法則是不分伯仲的。

　　除了關(guān)于方程正根個(gè)數(shù)的判定法則之外，《開方說》中還有許多其他的重要成果。例如李銳首先引進(jìn)了負(fù)根和重根的概念；他又將方程的非正數(shù)解稱為"無數(shù)"，并聲稱"凡無數(shù)必兩，無一無數(shù)者"，這里隱約含著虛根共扼出現(xiàn)的思想。李銳又在整數(shù)范圍內(nèi)討論了二次方程和雙二次方程無實(shí)根的判別條件，創(chuàng)造了先求出一根首位再由變形方程續(xù)求其余位數(shù)字和其余根的"代開法"，還對末元算書中所包含的各種方程變形法，如倍根變形、縮根變形、減根變形、負(fù)根變形，逐一進(jìn)行了解釋并加以完善。