“平行”是幾何概念，在認(rèn)識直線以后教學(xué)。啟東蔡宏圣老師的教學(xué)實(shí)錄，常州趙智敏老師的教學(xué)設(shè)計(jì)，都先讓學(xué)生在熟悉的活動中提取已有經(jīng)驗(yàn)，再觀察、比較、分類，由表及里地體會概念的本質(zhì)屬性，然后識別生活里的平行現(xiàn)象，加強(qiáng)對概念的理解。這些安排，尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，符合認(rèn)知原理，較好地體現(xiàn)了教材的意圖。

　　我們能夠看到蔡老師厚實(shí)的教學(xué)功底和先進(jìn)的教學(xué)理念。表現(xiàn)在：一是課的導(dǎo)入細(xì)致，處處為學(xué)生著想。從兩支鉛筆掉在地上的情境，思考可能出現(xiàn)哪些情況，引導(dǎo)學(xué)生利用經(jīng)驗(yàn)充分想象；用兩條直線表示掉在地上的兩支鉛筆，讓學(xué)生畫出可能出現(xiàn)的各種情況，感受數(shù)學(xué)知識與方法能表達(dá)生活現(xiàn)象，為認(rèn)識平行積累感知材料；為學(xué)生提供點(diǎn)子圖，便于畫出不相交的直線，初步感知“不相交”的含義。二是課中交流有深度，時時和學(xué)生互動。如，教師指著圖形問：“這兩條直線相交嗎？”學(xué)生異口同聲回答：“不相交”。他一邊板書“不相交”，一邊說：“我們沒有看到相交，但不知把兩條直線畫得長一些，是什么結(jié)果？”這句啟發(fā)性的話語，引導(dǎo)學(xué)生用直線概念分析現(xiàn)象，畫出或想出這兩條直線是相交的，糾正了原來的認(rèn)識偏差。再如，教師指著圖形問：“這兩條直線也相交嗎？”引導(dǎo)學(xué)生通過多種方法進(jìn)行驗(yàn)證，確認(rèn)這兩條直線不相交……

　　趙老師對教材的使用比較充分，教師努力理解教材設(shè)計(jì)的教學(xué)線索和主要活動，盡量把教材意圖落實(shí)到教學(xué)之中。為了使學(xué)生理解直線的相交與不相交，引導(dǎo)學(xué)生擺小棒、畫直線，對大量感知材料進(jìn)行分類、比較；為了突出“平行”是兩條直線的位置關(guān)系，結(jié)合實(shí)例及時板書“互相平行”，還讓學(xué)生說說“誰是誰的平行線”。教師還精心安排教材中“試一試”“想想做做”的教學(xué)，從安排時間看，有利于及時鞏固概念、形成技能；從教法看，預(yù)設(shè)了交流、反饋與評價……

　　研究兩位老師的教學(xué)，聯(lián)想許多教師在教學(xué)中存在的困惑，有幾點(diǎn)想法和大家交流。

　　第一，教材第87頁例題有三層內(nèi)容，首先聯(lián)系現(xiàn)實(shí)情境，教學(xué)兩條直線相交與不相交；然后利用兩條直線不相交，教學(xué)“平行”的概念；最后說一說生活中常見的平行實(shí)例，用數(shù)學(xué)知識描述、解釋生活現(xiàn)象。

　　本單元的教學(xué)重點(diǎn)是平行和垂直。以前教材的單元標(biāo)題為“平行與垂直”或“垂線與平行線”。本單元的標(biāo)題為什么用“平行和相交”？為什么先教學(xué)直線的相交與不相交？這些問題都應(yīng)在鉆研教材時弄明白。

　　可以從三個方面來回答上面的問題。首先，同一平面內(nèi)的兩條直線，可能相交，可能不相交，還可能重合。相交與不相交是常見的位置關(guān)系，學(xué)生在生活中已有經(jīng)驗(yàn)積累，而重合不適宜小學(xué)生學(xué)習(xí)。先教學(xué)直線的相交與不相交，能把生活經(jīng)驗(yàn)提升成數(shù)學(xué)概念。其次，“同一平面內(nèi)不相交”是平行概念的內(nèi)涵，兩條直線相交成直角稱互相垂直�？梢�，“同一平面內(nèi)不相交”與“互相平行”具有同一性，而相交與垂直是屬種關(guān)系，后者是前者的真子集。先教學(xué)直線的相交與不相交，能形成關(guān)于平行、垂直的上位觀念。這樣，全單元的重點(diǎn)就不會是孤立的，而是有結(jié)構(gòu)的。再次，先認(rèn)識直線的相交與不相交，就能通過下位學(xué)習(xí)，理解平行與垂直。這是公認(rèn)的、比較好的認(rèn)知線索與方式。

　　既然認(rèn)識兩條直線相交與不相交是例題的一個教學(xué)層次，那么其教學(xué)過程就需要有相應(yīng)的完整性。盡管兩位教師都引導(dǎo)學(xué)生收集豐富的感知材料，開展扎實(shí)的感知活動，認(rèn)識兩條直線相交或不相交，但總感覺還缺了一點(diǎn)。蔡老師的一句話“經(jīng)過一番分析，看來畫在點(diǎn)子圖上的兩條直線或者相交，或者不相交”，可以作為這一段教學(xué)的小結(jié)。如果改造成學(xué)生的回顧及小結(jié)，變成學(xué)生主動的知識建構(gòu)，就能更充分發(fā)揮上位觀念對后繼學(xué)習(xí)的積極意義，為理解平行、垂直構(gòu)建認(rèn)知平臺。趙老師在聯(lián)系感知材料，指出兩條直線相交、不相交后，立即從不相交引出平行，顯得有點(diǎn)倉促。適時安排學(xué)生回顧、再認(rèn)學(xué)習(xí)過程，是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》對教學(xué)活動的要求。

　　第二，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。“不相交”是概念的內(nèi)涵，“在同一平面內(nèi)”是不可或缺的前提。學(xué)生在感知兩條直線的常見位置關(guān)系時，對“不相交”已有感受，因而建立互相平行這個概念時，會關(guān)注“不相交”，疏忽“在同一平面內(nèi)”。為此，兩位教師都力求解決這個矛盾。

　　數(shù)學(xué)概念是嚴(yán)密的。概念的嚴(yán)密性要求概念教學(xué)也必須是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�。兩條異面直線雖然不相交，但不一定平行。所以，教學(xué)直線互相平行，必須指出它們在同一平面內(nèi)。數(shù)學(xué)概念的建立可以分階段，學(xué)生對概念中的某一內(nèi)容，如果受基礎(chǔ)知識、思維發(fā)展水平的制約，暫時不能透徹理解，應(yīng)允許他們先知道，再逐漸深刻領(lǐng)會。在缺乏條件的狀況下，勉強(qiáng)讓他們理解異面直線，恐怕很難達(dá)到要求，即使教學(xué)投入大量時間和精力，也未必有效。

　　教學(xué)中怎樣妥善處理“同一平面內(nèi)”呢？首先，教材與教學(xué)給學(xué)生提供的感知材料，如掉在地面上的兩支鉛筆，擺在桌面上的兩根小棒，畫在紙上的兩條直線，都在同一平面上。因此，揭示互相平行的含義時，可以聯(lián)系具體材料，先指出鉛筆、小棒、直線都在同一平面內(nèi)。其次，可以適當(dāng)舉出淺顯的實(shí)例，如桌面上的一條直線與地面上的一條直線，它們不在同一平面內(nèi)，即使不相交，也不一定互相平行。以此提醒學(xué)生注意，我們說的互相平行指的是在同一平面內(nèi)的直線。并可進(jìn)一步告訴學(xué)生，到中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中將會更明白。再次，不要把“在同一平面內(nèi)”作為練習(xí)與考查的知識點(diǎn)�？梢宰寣W(xué)生判斷畫在試卷上的幾組直線，哪些互相平行，哪些不平行，不必讓他們判斷“兩條不相交的直線互相平行”這句話是對還是錯。

　　我贊同蔡老師在反思中說的：“同一平面內(nèi)”是繞不開的坎，不能不講……講得過于深，也沒必要。他選擇立交橋上、下汽車行駛路線作例子也是可以的。趙老師把“同一平面內(nèi)”作為教學(xué)難點(diǎn)，力求在長方體上突破，無論對教還是學(xué)，要求都偏高了。兩位老師首次講“互相平行”，都只突出“不相交”，把“在同一平面內(nèi)”留到后面補(bǔ)充說明，似乎把有關(guān)平行的兩個重點(diǎn)逐一教學(xué)。其實(shí)，他們首次講的“互相平行”并不嚴(yán)密，在學(xué)生建立新概念的最佳時刻，給予不完整的信息，應(yīng)該是教學(xué)的缺陷。

　　第三，教材里有關(guān)畫平行線的內(nèi)容也比較多。第88頁例題先讓學(xué)生自己找工具想辦法畫一組平行線，再沿著直尺平移三角尺，畫出一組平行線。第89頁第2題，把長方形紙對折兩次，折痕是平行線。

　　編排畫平行線的目的，一是進(jìn)一步體驗(yàn)兩條直線互相平行的含義�；ハ嗥叫械闹本�永不相交，為了畫出不相交的兩條直線，可以借助有平行對邊或有平行線的物體為工具，沿著平行的對邊或平行的線畫，物體平移前、后，相對應(yīng)的線段互相平行，可以通過平移有直邊的物體畫出平行線；把長方形紙連續(xù)對折，折痕在兩條對邊之間，互相平行且長度相等，有助于體會長方形的兩條對邊也是平行的。二是培養(yǎng)初步的畫圖能力，在生活和學(xué)習(xí)中，經(jīng)常需要畫一組平行線，或者畫已知直線的平行線。直尺與三角尺是畫平行線的工具，掌握了畫平行線的方法，既能方便地畫出平行線，還能用來檢驗(yàn)兩條直線是不是平行。

　　蔡老師在反思中說：技能與知識本是“同根”，有了知識的支撐，技能完全可能是學(xué)生心智生長的結(jié)晶，技能的學(xué)習(xí)過程完全可以富有生命成長的氣息。他是這樣想的，也是這樣做的。教學(xué)的“抽象”階段，課件演示小旗沿直尺平移的情境，在平移前后的圖形中尋找平行線，滲透了畫平行線的方法。教學(xué)的“操作”階段，學(xué)生在徒手移動直尺畫平行線時，自發(fā)需要另一根直尺作“軌道”幫助平移，不僅知道了可以怎樣畫，還明白了為什么這樣畫。畫平行線的方法不再是機(jī)械的程序知識，不再是缺少思維含量的純粹模仿。這一段教學(xué)是該課的亮點(diǎn)，值得大家借鑒。教材里的“想想做做”，蔡老師的實(shí)錄中沒有看到，也許受篇幅限制刪去了。趙老師把“想想做做”分兩段進(jìn)行，在教學(xué)互相平行的概念后，安排第1～3題；在教學(xué)畫平行線后，安排第4、5題，這樣安排是可以的，如果把部分題目二次使用，就更好了。如第1題，在初步理解互相平行之后憑觀察、想象做出相應(yīng)的判斷。在教學(xué)畫平行線以后再練習(xí)這道題，用畫平行線的工具與方法驗(yàn)證。又如第2題也可以二次使用，第一次直觀判斷，第二次操作驗(yàn)證。像這些習(xí)題二次使用，既有助于及時消化、鞏固新知識，又有助于知識與技能有機(jī)融合。

　　第四，數(shù)學(xué)教學(xué)講究語言準(zhǔn)確，尤其是幾何知識的教學(xué)，稍不留心，就會用詞不妥當(dāng)。兩位教師都有這種情況。“距離”是兩點(diǎn)之間線段的長度。點(diǎn)到直線的距離，是這點(diǎn)到這條直線的垂直線段的長度，即點(diǎn)與垂足之間的距離。兩條互相平行的直線的距離，是夾在兩條直線之間、垂直于兩條直線的線段長度，即兩個對應(yīng)的垂足間的距離。這些“距離”都是數(shù)學(xué)概念。

　　兩條相交的直線，雖然從一條直線上任取一點(diǎn)，能夠畫出另一條直線的垂直線段，但畫成的垂直線段的長度在區(qū)間無限長與0之間，是不穩(wěn)定的。數(shù)學(xué)里把兩條相交直線之間的距離定義為“0”。

　　蔡老師用生活概念“兩條直線間的寬度”，引導(dǎo)學(xué)生度量、比較兩條直線間的“寬度”，體會圖形 里的兩條直線相交，圖形里的兩條直線不相交。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，對學(xué)生理解平行概念可能會起到一定的作用，但仔細(xì)斟酌，其實(shí)不夠妥當(dāng)，也沒有必要。首先，生活概念是日常生活中積淀的與數(shù)學(xué)有關(guān)的認(rèn)識，這種認(rèn)識經(jīng)常不系統(tǒng)、不深刻，甚至不準(zhǔn)確。生活概念有時支持?jǐn)?shù)學(xué)概念，有時干擾數(shù)學(xué)概念。教學(xué)中，指出“相交直線有寬度”，還要度量和比較，這樣處理顯然是不妥當(dāng)?shù)�。其次，本�?jié)課是認(rèn)識平行的第一課時，只要求在直觀情境中，通過觀察和想象，判斷兩條直線是不是互相平行，也可以利用畫平行線的方法幫助判斷。給學(xué)生的直觀情境，兩條直線的位置關(guān)系比較明顯，幾乎一眼就能看出。對圖形里的兩條直線，學(xué)生的交流“畫長一些會相交”，“那條直線斜過來了”，表明他們已經(jīng)看出這兩條直線的位置關(guān)系，確信兩條直線相交。對圖形里兩條直線不相交，例題只要求學(xué)生直觀判斷，不要求解釋或驗(yàn)證。再次，結(jié)合教學(xué)垂直，學(xué)生還有深入認(rèn)識平行的機(jī)會，如第45頁第2題兩條平行線之間的垂直線段都相等�？梢姡�教學(xué)兩條直線相交或不相交，沒有必要使用“兩條直線間的寬度”。

　　直線與線段是兩種幾何圖形，它們有聯(lián)系，更有質(zhì)的區(qū)別，趙老師在教學(xué)設(shè)計(jì)里有些疏忽。如“把每個圖形中的兩條直線都向兩端無限延長，結(jié)果會怎樣？”直線是沒有端點(diǎn)、無限長的，怎么向兩端無限延長呢？這句話要改成“把圖形中的直線畫長一點(diǎn)，看看會怎樣？”又如學(xué)生根據(jù)小棒畫成的圖形，看成直線還是看成線段？同一平面內(nèi)兩條直線或是相交、或是平行，而同一平面內(nèi)兩條線段還可能既不平行，又不相交。教學(xué)中把圖形里的線一會兒說是直線，一會兒說是線段不大好。