這部分內(nèi)容共有三道例題。它們的共同點(diǎn)是每道例題都擔(dān)負(fù)著教學(xué)列方程和教學(xué)解方程的雙重任務(wù)。這是本單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。
1.例1。
編寫(xiě)意圖
例1的題材源于足球的構(gòu)成，即一個(gè)現(xiàn)代足球是由12塊正五邊形的黑色皮和20塊正六邊形的白色皮制成的。這種完美的球形結(jié)構(gòu)，令一些數(shù)學(xué)家、建筑學(xué)家和化學(xué)家著迷。教材呈現(xiàn)給同學(xué)們的問(wèn)題是：已知白色皮有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，問(wèn)黑色皮有多少塊？
這道題的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生容易想到的有以下三種形式
黑色皮的塊數(shù)×2－白色皮的塊數(shù)＝4
黑色皮的塊數(shù)×2－4＝白色皮的塊數(shù)
黑色皮的塊數(shù)×2＝白色皮的塊數(shù)＋4
比較而言，前兩種形式的數(shù)量關(guān)系，更容易理解，而且都能引入形如ax±b=c的方程，有利于達(dá)成既學(xué)列方程，又學(xué)解方程的教學(xué)目標(biāo)。因此，教材的解答,選用了第一種形式的等量關(guān)系，即把黑色、白色皮的塊數(shù)關(guān)系看成一個(gè)數(shù)的幾倍與另一數(shù)比大小的關(guān)系。與其相應(yīng)的順?biāo)伎紗?wèn)題，就是求比一個(gè)數(shù)的幾倍多（或少）幾的數(shù)是多少。
例1若用算術(shù)方法解，需要逆思考，思維難度較大，學(xué)生容易出現(xiàn)先除后減的錯(cuò)誤。通常不作教學(xué)要求。這里用方程解，思路比較順，體現(xiàn)了列方程解實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)越性。
從這里開(kāi)始，教材要求學(xué)生自己寫(xiě)出用字母x表示未知數(shù)的設(shè)句。
列出方程之后，怎樣解這樣的方程呢？實(shí)際上，形如ax±b=c的方程，是由ax=d與y±b=c綜合而成的。因此，教材介紹的解法，先把a(bǔ)x作一個(gè)整體，求出ax等于多少，再求x等于多少。
最后，提示學(xué)生交流不同解法，并繼續(xù)提醒“記住驗(yàn)算”。
教學(xué)建議
（1）教學(xué)前，可以組織兩個(gè)內(nèi)容的準(zhǔn)備性練習(xí)，為新授做好鋪墊。一是針對(duì)幾倍多（少）幾的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行列方程的練習(xí)。如：
公雞x只，母雞30只，比公雞只數(shù)的2倍少6只。
二是解方程的練習(xí)。如：y－20＝4，2x＝24等。
（2）出示例題后，首先引導(dǎo)學(xué)生審題，識(shí)別哪些信息是解決“求黑色皮塊數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題所需要的。然后分析白色皮塊數(shù)與黑色皮塊數(shù)之間的關(guān)系，如有必要，可畫(huà)線段圖幫助分析。
然后提問(wèn)：
①怎樣把x表示什么寫(xiě)清楚？
②怎樣列方程？
應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生得出不同的數(shù)量關(guān)系式，列出不同的方程。
教師選擇2x－20＝4討論它的解法。強(qiáng)調(diào)先把2x看作一個(gè)整體，先求出2x等于多少，再求出x等于多少。然后讓學(xué)生自己檢驗(yàn)。
接下去，就可以請(qǐng)列出不同方程的學(xué)生說(shuō)出自己所列的方程，如2x－4＝20,或2x＝20＋4。這時(shí)就完全可以讓學(xué)生自己陳述解方程的過(guò)程了。教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生觀察解的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)它們“殊途同歸”，都能轉(zhuǎn)化為2x＝24。
最后，可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)列方程解決問(wèn)題的步驟：
①弄清題意，找出未知數(shù)，用x表示；
②分析、找出數(shù)量之間的相等關(guān)系，列方程；
③解方程；
④檢驗(yàn)，寫(xiě)出答案。
2.關(guān)于練習(xí)十二中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。
第1題，練習(xí)解形如ax±b=c方程。最后一小題4x－3×9＝29略有變化，一般學(xué)生能自己解決。對(duì)確感困惑的學(xué)生，可指導(dǎo)他們先算3×9。
第2～10題都是實(shí)際問(wèn)題，其中第3、4、5、6、9、10題，雖然題材各異，但它們的數(shù)量關(guān)系都與例1類似，都是一個(gè)量比另一個(gè)量的幾倍多（少）幾，都是求作為比較標(biāo)準(zhǔn)（即看作“一倍”）的那個(gè)量。
這些問(wèn)題，都可以讓學(xué)生獨(dú)立解答。練習(xí)后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意它們的共同點(diǎn)，并總結(jié)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。
第6題，其中亞洲的面積（包括島嶼）約為4400萬(wàn)平方千米。
第7題，題材與表現(xiàn)形式富有趣味。題目中提供了華氏溫度與攝氏溫度的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系也可以說(shuō)成華氏溫度比攝氏溫度的1?8倍還多32度。
練習(xí)時(shí)，可以讓學(xué)生自己代入關(guān)系式解答，再引導(dǎo)他們用幾倍多幾的語(yǔ)言表達(dá)兩種溫度之間的關(guān)系。
第2題與第8題的數(shù)量關(guān)系相類似，都是某一總數(shù)由兩部分組成，其中一部分為兩個(gè)數(shù)的積。
第11*題，可讓學(xué)有余力的學(xué)生選做�？梢赃@樣想：（36－4a）÷8是一個(gè)除法算式，當(dāng)它的結(jié)果是0時(shí)，說(shuō)明被除數(shù)是0，即36-4a＝0；當(dāng)它的結(jié)果是1時(shí)，說(shuō)明被除數(shù)與除數(shù)相等，即36-4a＝8。這樣的方程前面尚未出現(xiàn)過(guò)，可以利用加減法關(guān)系，推得4a＝36與4a＝36－8。
最后一題為思考題。容易看出，和的最高位是1、即t=1,代入原式，得
個(gè)位上a＋1＝1,說(shuō)明a＝0。觀察十位與千位，v+s＝11,因此百位上v＝1＋1＋1=3,代入v+s＝11,得s＝8。
3.例2。
編寫(xiě)意圖
例2創(chuàng)設(shè)了購(gòu)買兩種水果的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境。如果撇開(kāi)各數(shù)量的具體內(nèi)容，就它的數(shù)學(xué)意義來(lái)講，可抽象為兩積之和的數(shù)量關(guān)系。這種數(shù)量關(guān)系在生活中經(jīng)常能遇到。而且，理解了兩積之和的數(shù)量關(guān)系，也就容易理解兩積之差、兩商之差的數(shù)量關(guān)系。在例2中組成兩積的四個(gè)因數(shù)，有兩個(gè)是相同的，這就可以根據(jù)分配律，得到含小括號(hào)的方程。這些都使例2具有舉一反三的典型意義。
教材給出了兩種方程，其一為兩積之和等于已知的總數(shù)，讓學(xué)生自己解答。其二為含小括號(hào)的方程，介紹了把小括號(hào)內(nèi)的式子看作一個(gè)整體求解的思路和方法，并留有空白讓學(xué)生自己解完。
教學(xué)建議
（1）教學(xué)例題前，可以先復(fù)習(xí)兩積之和的實(shí)際問(wèn)題，如：
媽媽買了2 kg蘋果和3 kg梨，已知梨每千克2.8元，蘋果每千克2.4元，媽媽一共要付多少錢？讓學(xué)生獨(dú)立列式計(jì)算，并說(shuō)出數(shù)量關(guān)系：
蘋果的總價(jià)＋梨的總價(jià)＝總錢數(shù)
2.4×2＋2.8×3＝13.2（元）
（2）教學(xué)例題時(shí)，可以先把復(fù)習(xí)題改為：媽媽買了2 kg蘋果和3 kg梨，共付13.2元錢，已知梨每千克2.8元，蘋果每千克多少錢？
學(xué)生容易看出前后兩題的數(shù)量關(guān)系沒(méi)變，只是已知數(shù)和未知數(shù)交換了位置。因此，完全可以讓學(xué)生自己列出方程并解答。
解：設(shè)蘋果每千克x元。
2x＋2.8×3＝13.2
然后，出示例2，即把梨的數(shù)量由3 kg改為2 kg，讓學(xué)生審題后，教師可提出問(wèn)題：除了像上題那樣列方程之外，還可以怎樣列方程？有了上面的鋪墊，學(xué)生不難想到：
（蘋果的單價(jià)＋梨的單價(jià)）×2＝總錢數(shù)
并根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出方程。
接下去就可以引導(dǎo)學(xué)生把小括號(hào)內(nèi)的2.8＋x看作一個(gè)整體，先求出2.8＋x＝？，剩下的解題過(guò)程可以讓學(xué)生在課本上完成。
（3）作為補(bǔ)充練習(xí)可以給出一個(gè)方程，如：（26＋x）×3＝150讓學(xué)生口頭編出具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題，在小組內(nèi)交流。這樣的練習(xí)既有助于學(xué)生掌握數(shù)量關(guān)系，又能使學(xué)生初步體會(huì)這一數(shù)量關(guān)系廣泛的現(xiàn)實(shí)意義。
4.例3。
編寫(xiě)意圖
例3的內(nèi)容是關(guān)于地球表面海洋面積和陸地面積的計(jì)算。它的特點(diǎn)是問(wèn)題含有兩個(gè)未知數(shù)，一般通常用兩個(gè)已知條件說(shuō)明兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系。如給出兩個(gè)未知數(shù)的和與差，或給出兩個(gè)未知數(shù)的倍數(shù)關(guān)系與兩個(gè)未知數(shù)的和（或差）。
具有這種數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，在算術(shù)中稱為“和差”、“和倍”、“差倍”問(wèn)題。若用算術(shù)方法解，思路特殊，需要分別教學(xué)。改用方程解，都可歸結(jié)為解形如ax±bx=c的方程，思路統(tǒng)一，解法一致，學(xué)會(huì)其中之一的解法，其他幾種就很容易類推解決。
在實(shí)際生活中，也常常會(huì)遇到一些具有這種數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題。特別是當(dāng)兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系用分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)表示時(shí)，這樣的問(wèn)題就更常見(jiàn)了。
像這樣含有兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，在本單元之前，學(xué)生還沒(méi)接觸過(guò)。但它與學(xué)生以前學(xué)過(guò)的不少內(nèi)容有關(guān)。比如，已知兩數(shù)，可以求出它們的和、差及倍數(shù)關(guān)系，這是小學(xué)低年級(jí)的小學(xué)內(nèi)容�，F(xiàn)在，從兩數(shù)的和、差及倍數(shù)關(guān)系中選取兩項(xiàng)作已知條件，反過(guò)來(lái)求兩數(shù)各是多少，這就是我們?cè)谶@里討論的問(wèn)題�？梢�(jiàn)，所謂的“和差”、“和倍”、“差倍”問(wèn)題，實(shí)際上是已知兩數(shù)，求它們的逆思考問(wèn)題。
在小學(xué)中年級(jí)，曾出現(xiàn)過(guò)只有兩個(gè)已知條件，卻要兩步計(jì)算解決的實(shí)際問(wèn)題。如，舞蹈隊(duì)有男生20人，女生人數(shù)是男生的2倍，舞蹈隊(duì)共有學(xué)生多少人？女生比男生多多少人？這類問(wèn)題的特點(diǎn)是選取兩數(shù)之一作一個(gè)條件，再?gòu)膬蓴?shù)的和、差及倍數(shù)關(guān)系這三個(gè)量中選取一個(gè)為另一個(gè)條件，然后求三個(gè)量中的其他兩個(gè)量。不難看出，例3也是這類兩步計(jì)算問(wèn)題的逆思考問(wèn)題。
解答例3，首先碰到的第一個(gè)問(wèn)題是設(shè)未知數(shù)。學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是“求什么設(shè)什么”�，F(xiàn)在面臨一道題中要求兩個(gè)未知數(shù)各是多少，究竟設(shè)哪個(gè)為x，另一個(gè)又怎樣表示？這是必須突破的一個(gè)難點(diǎn)。就數(shù)學(xué)本身來(lái)說(shuō)，和差倍關(guān)系的兩個(gè)未知數(shù)，任選一個(gè)設(shè)為x都是可行的。同樣，另一個(gè)未知數(shù)的表示方法也有兩種，即選用兩個(gè)已知條件中的任何一個(gè)都能表示。比較而言，在各種解法中，把作為比較標(biāo)準(zhǔn)的未知數(shù)設(shè)為x，則用含x的式子表示另一個(gè)未知數(shù)就比較容易。
教材采用的就是這種方法。設(shè)陸地面積為x億平方千米，根據(jù)兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系這個(gè)條件表示海洋面積，再根據(jù)另一個(gè)已知條件（兩部分面積的和即地球表面積），列出方程。
這里第一次出現(xiàn)了形如ax±bx=c的方程�？紤]到學(xué)生的知識(shí)水平和接受能力，教材沒(méi)有出現(xiàn)合并同類項(xiàng)等術(shù)語(yǔ)，而是啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用乘法分配律，將原方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生已會(huì)解的形式（a±b）x＝c。這與合并同類項(xiàng)的方法實(shí)質(zhì)上是一致的。
求出陸地面積后，接下去怎樣求海洋面積？有兩種選擇。即任選兩個(gè)已知條件中的任何一個(gè)都可以。教材以兩個(gè)同學(xué)互相交流的形式，對(duì)兩種算法都作了介紹。
教學(xué)建議
（1）教學(xué)例3前，可以采用口答形式進(jìn)行一些寫(xiě)出含有字母式子的填空練習(xí)。如：學(xué)�？萍冀M有女同學(xué)x人，男同學(xué)是女同學(xué)的3倍，男同學(xué)有（ ）人，男女同學(xué)一共有（ ）人，男同學(xué)比女同學(xué)多（ ）人。還可以給出復(fù)習(xí)題：
地球上的陸地面積為1.5億平方千米，海洋面積約為陸地面積的2.4倍。地球的表面積是多少億平方千米？讓學(xué)生列式計(jì)算出地球表面積是5.1億平方千米，作為新授的鋪墊和過(guò)渡。
（2）教學(xué)例3時(shí)，可以先讓學(xué)生說(shuō)出已知條件，并根據(jù)已知條件畫(huà)出線段圖（暫不標(biāo)出“x” ）。再讓學(xué)生說(shuō)出所求問(wèn)題，明確要求的未知數(shù)有兩個(gè)。然后利用線段圖啟發(fā)學(xué)生思考，先設(shè)哪一個(gè)未知數(shù)為x，根據(jù)已知條件，另一個(gè)未知數(shù)該怎樣用含有字母的式子來(lái)表示。根據(jù)學(xué)生的回答在線段圖上標(biāo)注x和2.4x。然后引導(dǎo)學(xué)生想：一個(gè)條件已經(jīng)用來(lái)表示第二個(gè)未知數(shù)了，還可以根據(jù)哪個(gè)條件找出等量關(guān)系列方程？由此列出課本介紹的方程。然后將方程和復(fù)習(xí)題的算式進(jìn)行對(duì)比：
1.5＋1.5×2.4＝5.1
x＋2.4x＝5.1
幫助學(xué)生溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，進(jìn)一步理解數(shù)量關(guān)系。
如果學(xué)生提出不同的方法，可酌情加以比較，如：
讓學(xué)生觀察這些方程，容易看出解方程都比較麻煩。如果學(xué)生求出陸地面積后，怎樣求海洋面積，有兩種方法。學(xué)生喜歡用哪一種都可以，不必強(qiáng)求一律。
（3）例3的檢驗(yàn)，應(yīng)予以重視�？梢蕴岢鰡�(wèn)題：除了代入方程檢驗(yàn)之外，還有沒(méi)有其他的驗(yàn)算方法？學(xué)生一般能夠想到，驗(yàn)算兩個(gè)得數(shù)的和與商，看是否等于已知數(shù)。教師可以指出，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，這樣驗(yàn)算比先檢查方程，再把x的值代入方程檢驗(yàn)，更有效，也更簡(jiǎn)便。
（4）引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)時(shí)，可以著重明確以下三點(diǎn)：第一，兩個(gè)未知數(shù)怎么辦？可以先選擇其中一個(gè)設(shè)為x，列方程解，再求另一個(gè)；第二，兩個(gè)已知條件怎么用？可以把其中一個(gè)用來(lái)寫(xiě)出含有字母的式子，表示另一個(gè)未知數(shù)，另一個(gè)用來(lái)列方程；第三，怎樣驗(yàn)算？可以通過(guò)列式計(jì)算，檢驗(yàn)兩個(gè)得數(shù)的和及倍數(shù)關(guān)系是否符合已知條件。
5.關(guān)于練習(xí)十三中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。
第1題，練習(xí)解含有小括號(hào)的方程。熟練之后，允許學(xué)生簡(jiǎn)化解方程過(guò)程的書(shū)寫(xiě)。如：
x= 11.4 x=11.4
第2題，數(shù)量關(guān)系為兩積之和的實(shí)際問(wèn)題。已知四張門票共11元。從插圖中可以看出，成人票、兒童票各2張。
第3題，數(shù)量關(guān)系為兩積之差的實(shí)際問(wèn)題。如學(xué)生理解題意有困難（特別是農(nóng)村學(xué)校），教師有必要作些說(shuō)明。如水表有什么用處，收取的水費(fèi)是怎樣計(jì)算出來(lái)的。還可以從已知的101室入手，先讓他們列式計(jì)算，101室第二季度的水費(fèi)是不是80元。即
2.5×2788－2.5×2756＝2.5×（2788－2756）＝80（元）
然后再設(shè)102室上次讀數(shù)為x噸，并列出方程，這樣就不會(huì)感到困難了。
第4題的數(shù)量關(guān)系仍為兩積之和，但兩個(gè)積都含未知因數(shù)x，所以列出的方程形如ax±bx=c。把它作為例2與例3配套練習(xí)的過(guò)渡比較合適。
第5題，練習(xí)解形如ax±bx=c的方程。熟練以后，允許學(xué)生簡(jiǎn)化解方程的書(shū)寫(xiě)過(guò)程。如：
解5.4x＋x＝12.8
6.4x＝12.8
x＝2
第6題，含兩個(gè)未知數(shù)，已知條件是兩數(shù)的和與差（兩個(gè)相鄰自然數(shù)的差是1），它與已知“和倍”、“差倍”關(guān)系的問(wèn)題略有不同的是，設(shè)兩個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)為x都可以，不存在解方程時(shí)簡(jiǎn)便或麻煩的問(wèn)題。
第7題，為雞兔同籠問(wèn)題的變式。題中的隱蔽條件是雞有2條腿，兔有4條腿。由于雞兔數(shù)量相同，所以列出的方程形如ax+bx=c。
第8題，含兩個(gè)未知數(shù)，已知條件為兩數(shù)之差與倍數(shù)關(guān)系。可以讓學(xué)生選用自己喜歡的方法，列出方程。
第9、10題都是兩積之和數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，而且兩個(gè)積中都有相同的數(shù)，所以都能轉(zhuǎn)化為或直接列出含小括號(hào)的方程。區(qū)別只是第9題的相同因數(shù)是未知數(shù)，第10題的相同因數(shù)是已知數(shù)。
第11*、12*題為選做題。兩題難度都不大，一般學(xué)生都能解決。第11*題只要把□里填入的相同數(shù)設(shè)為x，就轉(zhuǎn)化為熟悉的方程24x－15x＝18。第12*題可先從方程的兩邊同時(shí)減去x，即得2x＝100。
最后一題是思考題。設(shè)一共取了x次，也就是乒乓球、羽毛球都各取了x次。由于乒乓球、羽毛球的數(shù)量相等，得方程
5x＝3x＋6
解：x＝3。
所以原來(lái)乒乓球有5×3＝15（個(gè)），羽毛球也有3×3＋6＝15（個(gè)）。
