所謂操作問題，實際上是對某個事物按一定要求進行的一種變換，這種變換可以具體執(zhí)行。例如，對任意一個自然數，是奇數就加1，是偶數就除以2。這就是一次操作，是可以具體執(zhí)行的。操作問題往往是求連續(xù)進行這種操作后可能得到的結果。

　　1、 對于任意一個自然數 n，當 n為奇數時，加上121；當n為偶數時，除以2。這算一次操作。現(xiàn)在對231連續(xù)進行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？

　　解題思路：

　　這個過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100。當然，連續(xù)操作下去會發(fā)現(xiàn)，數字一旦重復出現(xiàn)后，這一過程就進入循環(huán)，這時就可以肯定不會出現(xiàn)100。因為這一過程很長，所以這不是好方法。

　　解：因為231和121都是11的倍數，2不是11的倍數，所以在操作過程中產生的數也應當是11的倍數。100不是11的倍數，所以不可能出現(xiàn)。

　　由習題1看出，操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門。

　　2、對任意兩個不同的自然數，將其中較大的數換成這兩數之差，稱為一次變換。如對18和42可進行這樣的連續(xù)變換：

　　18， 42—→ 18， 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到兩數相同為止。問：對12345和54321進行這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個相同的數是幾？

　　分析與解：如果兩個數的最大公約數是a，那么這兩個數之差與這兩個數中的任何一個的最大公約數也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數的最大公約數始終不變，所以最后得到的兩個相同的數就是它們的最大公約數。因為12345和54321的最大公約數是3，所以最后得到的兩個相同的數是3。

　　注：這個變換的過程實際上就是求兩數最大公約數的輾轉相除法。

　　3、下圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上。開始時，圓盤上每個數字所對應的黑板處均寫著0。然后轉動圓盤，每次可以轉動90°的任意整數倍，圓盤上的四個數將分別正對著黑板上寫數的位置，將圓盤上的數加到黑板上對應位置的數上。問：經過若干次后，黑板上的四個數是否可能都是999？

　解：不可能。因為每次加上的數之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四個數之和永遠是10的整數倍。 999×4=3996，不是10的倍數，所以黑板上的四個數不可都是999。