所謂操作問題，實(shí)際上是對(duì)某個(gè)事物按一定要求進(jìn)行的一種變換，這種變換可以具體執(zhí)行。例如，對(duì)任意一個(gè)自然數(shù)，是奇數(shù)就加1，是偶數(shù)就除以2。這就是一次操作，是可以具體執(zhí)行的。操作問題往往是求連續(xù)進(jìn)行這種操作后可能得到的結(jié)果。
1、 對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù) n，當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，加上121；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以2。這算一次操作�，F(xiàn)在對(duì)231連續(xù)進(jìn)行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？
解題思路：
這個(gè)過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100。當(dāng)然，連續(xù)操作下去會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字一旦重復(fù)出現(xiàn)后，這一過程就進(jìn)入循環(huán)，這時(shí)就可以肯定不會(huì)出現(xiàn)100。因?yàn)檫@一過程很長(zhǎng)，所以這不是好方法。
解：因?yàn)?31和121都是11的倍數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當(dāng)是11的倍數(shù)。100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn)。
由習(xí)題1看出，操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門。
2、對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)，將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱為一次變換。如對(duì)18和42可進(jìn)行這樣的連續(xù)變換：
18， 42—→ 18， 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到兩數(shù)相同為止。問：對(duì)12345和54321進(jìn)行這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是幾？
分析與解：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是a，那么這兩個(gè)數(shù)之差與這兩個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的最大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數(shù)的最大公約數(shù)始終不變，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)就是它們的最大公約數(shù)。因?yàn)?2345和54321的最大公約數(shù)是3，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是3。
注：這個(gè)變換的過程實(shí)際上就是求兩數(shù)最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。
3、下圖是一個(gè)圓盤，中心軸固定在黑板上。開始時(shí)，圓盤上每個(gè)數(shù)字所對(duì)應(yīng)的黑板處均寫著0。然后轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動(dòng)90°的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個(gè)數(shù)將分別正對(duì)著黑板上寫數(shù)的位置，將圓盤上的數(shù)加到黑板上對(duì)應(yīng)位置的數(shù)上。問：經(jīng)過若干次后，黑板上的四個(gè)數(shù)是否可能都是999？
解：不可能。因?yàn)槊看渭由系臄?shù)之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四個(gè)數(shù)之和永遠(yuǎn)是10的整數(shù)倍。 999×4=3996，不是10的倍數(shù)，所以黑板上的四個(gè)數(shù)不可都是999。
