一、整體感受
師：今天這節(jié)課，我們研究時(shí)正是圓。瞧，(教師出示一個(gè)．信封)這信封里就裝有一個(gè)圓，想看看嗎?
生(齊)：想!
師(從中摸出一個(gè)圓)：是圓嗎?
生：是。
師：現(xiàn)在，老師把它重新放回信封里，有信心把它從信封里摸出來嗎?
生：有!
師：那當(dāng)然，如果信封里只有這一個(gè)圖形，誰都能摸出來。(生笑。)但問題是，信封里除了這個(gè)圓以外，還有其他平面圖形。想看看嗎?
生：想!
教師先后從信封中取出一些圖形(如圖1)，讓學(xué)生一一辨認(rèn)。
師：現(xiàn)在，要從這一堆平面圖形中把圓摸出來，有難度嗎?
生(齊)：沒有!
師：為什么?
生：很簡(jiǎn)單呀，圓是彎彎的，而其他圖形的邊都是直直的。
生：圓沒有角，而其他圖形都有角。
師：奇怪，為什么這些圖形都有角，而圓卻沒有呢?
生：因?yàn)檫@些圖形都是由直線圍成的……
師：不夠?qū)I(yè)。
生：哦，是由線段圍咸的。
師：這就對(duì)了!我們把這些由線段圍成的平面圖形，叫做直線圖形。直線圖形都有角。圓是直線圖形嗎?
生：不是，它是由曲線圍成的。
師：所以，圓看起來特別一
生：光滑。
生：圓潤(rùn)。
師：感覺真好!那么，該給這類由曲線圍成的，光滑、圓潤(rùn)的平面圖形，取個(gè)怎樣的名稱呢?
生：曲線圖形。
師：沒錯(cuò)!那現(xiàn)在，要從這一堆直線圖形中把圓這個(gè)唯一的曲線圖形摸出來，難不難?
生：不難。
生：找最光滑的摸就行了。
師：不過，問題可不像你們想象的那么簡(jiǎn)單。因?yàn)樾欧饫�，還有幾個(gè)圖形呢。 (生頗感意外。)
教師出示圖2。
師：怎么樣，它也是由曲線圍成的吧?
生：是呀。
師：看起來也特別光滑?
生：是的。
師：看來，你們一定會(huì)把它也當(dāng)做圓模出來。
生：不會(huì)!不會(huì)!
師：為什么?
生：因?yàn)閳A很圓，但它不那么圓。
生：因?yàn)樗械牡胤桨迹械牡胤酵埂?/p>
師：噢，這個(gè)圖形看起來有些凹凸不平。而圓呢?
生：圓不會(huì)凹進(jìn)去，一直向外凸著。
生：圓看起來特別飽滿。
師：這個(gè)詞兒好!不過(教師接著從信封里取出圖3)，這兒還有一個(gè)圖形，它可沒有凹凸不平。怎么樣，夠光滑、夠飽滿吧?
生：嗯。
師：看來，這一回你們一定會(huì)把它當(dāng)做圓摸出來了。
生：也不會(huì)!
師：為什么?
生：因?yàn)檫@個(gè)圖形看起來扁扁的，不像圓那么鼓。
師(將橢圓旋轉(zhuǎn)90°后)：現(xiàn)在看起來呢?
生：感覺這個(gè)圖形瘦瘦的。
師：那圓呢? (教師出示圓片，并不停旋轉(zhuǎn)。)感覺怎么樣?
生：怎么轉(zhuǎn)，看起來都一樣。
生：而且，圓看起來特別勻稱。
師：小小的一個(gè)游戲，無非是為了讓大家認(rèn)識(shí)到，和其他平面圖形相比，圓的確—生：很特別。
師：沒錯(cuò)，和這些直線圖形相比——
生：圓是一個(gè)曲線圖形。
師：但是，和這些曲線圖形相比，圓看起來又特別——
生：光滑、飽滿、勻稱……
師：難怪2000多年前，偉大的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在研究完大量的平面圖形后，發(fā)出這樣的感慨：在一切平面圖形中，圓最美。而且，2000多年過去了，這一觀點(diǎn)得到了越來越多的數(shù)學(xué)家乃至普通大眾的認(rèn)可。那么，圓究竟美在哪兒?更進(jìn)一步地，究竟是什么內(nèi)在的原因，使得圓這種平面圖形看起來這樣光滑、飽滿、勻稱，以至于成為所有平面圖形中最美的一個(gè)?就讓我們一起帶著問題，深入地認(rèn)識(shí)圓；研究圓。
二、尋根究底
師：圓的美，光靠看是不夠的，咱還得動(dòng)手來畫。因?yàn)�，畫圓的過程，正是我們體會(huì)它的特點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)它的美的過程。 (教師簡(jiǎn)單介紹圓規(guī)的構(gòu)造后)課前，老師布置同學(xué)們?cè)囍脠A規(guī)畫過圓�，F(xiàn)在，請(qǐng)大家試著在白紙上畫一個(gè)圓。(學(xué)生用圓規(guī)畫圓，教師巡視。)
師：應(yīng)該說，絕大多數(shù)同學(xué)畫得都很棒。不過，也有失敗的作品。瞧，這個(gè)圓顯然變形了，這個(gè)則咧著嘴。大膽地猜一猜，這些同學(xué)之所以沒能成功地用圓規(guī)畫出一個(gè)圓，可能在哪兒出問題了?
生：可能是畫圓時(shí)，圓規(guī)的腳移動(dòng)了。
師：不動(dòng)，怎么畫出圓呀?
(生笑。)
生：是裝有針尖的腳動(dòng)了!
師：那你得說清楚呀。同學(xué)們，你們覺得，針尖所在的腳能隨便動(dòng)嗎?
生：不能!一動(dòng)，畫出的圓一定會(huì)咧開嘴巴。
師：你試過?
生：是的!我失敗過好幾次呢。
師：經(jīng)驗(yàn)之談呀!當(dāng)然，也有同學(xué)畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳都沒動(dòng)，但也畫出圓來了，你們猜——
生：我知道!一定是圓規(guī)不轉(zhuǎn)，紙轉(zhuǎn)。
師：奇怪，你怎么知道?
生：我就這么試過。
師：看來，用圓規(guī)畫圓時(shí)，針尖得固定，這是寶貴的經(jīng)驗(yàn)。還有其他可能嗎?
生：也可能是他們畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳的夾角的角度變了。
師：角度變了，也就意味著——
生：圓規(guī)兩腳之間的距離變了。
師：看來，用圓規(guī)畫圓時(shí)，兩腳之間的距離不能變�，F(xiàn)在，掌握了這些要求，有沒有信心比剛才畫得更好?
生：有! (不少學(xué)生拿起圓規(guī)急著要畫。)
師：別著急!數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)光會(huì)動(dòng)手還不夠，咱還得——
生：動(dòng)腦。
師：心有靈犀呀!第二次用圓規(guī)畫圓時(shí)，請(qǐng)大家邊畫邊思考：如果方法完全正確，用手中的圓規(guī)會(huì)不會(huì)畫出這樣一會(huì)兒凹、一會(huì)兒凸的曲線圖形?或者是扁扁的橢圓?
(教師依次指圖2、圖3。)
生：不會(huì)!
師：先別忙著下結(jié)論，還是帶著這些問題，邊畫邊細(xì)細(xì)體會(huì)吧!
(學(xué)生操作。教師巡視，了解學(xué)生的感受與思考。)
師：為什么畫不出這樣的曲線圖形，相信不少同學(xué)已經(jīng)有了答案。不過，為了使大家感受更鮮明，我打算在黑板上也來畫一個(gè)。(教師畫完半個(gè)圓后，停下。)想象一下，照這樣畫下去，會(huì)畫出一會(huì)兒凹、一會(huì)兒凸的平面圖形嗎?
生：不會(huì)。
師：會(huì)畫出扁扁的橢圓嗎?
生：也不會(huì)。
師：為什么?
生：因?yàn)閳A規(guī)兩腳間的距離沒有變。
師：哪兒到哪兒的距離沒有變?
生：就是從這兒(手指圓上的點(diǎn))到這兒(手指圓心)的距離沒 有變。只要距離不變，就不會(huì)畫出一會(huì)兒凹、一會(huì)兒凸的平面圖形了。
師：光這樣說好像有點(diǎn)抽象。你能不能把這一不變的距離用一條線段表示出來? (學(xué)生上臺(tái)，連接圓上任選一點(diǎn)與圓心，得到一條線段。)
師：可別小看這條線段，在這個(gè)圓里，它可是起著至關(guān)重要的決定性作用。有誰了解這條線段?
生：這條線段叫做半徑，可以用小寫字母r表示。
(教師板書，并引導(dǎo)學(xué)生在自己的圓內(nèi)畫出一條半徑，標(biāo)上字母r。)
師：有沒有補(bǔ)充?
生：半徑的一端連著圓心，另一端在圓上。
師：說得好!圓心是圓規(guī)畫圓時(shí)針尖留下的，可以用字母O示。更準(zhǔn)確地說，半徑的另一端在圓上。 (教師板書，并引導(dǎo)學(xué)生在自己的圓上標(biāo)出圓心及字母O。)
師：關(guān)于半徑，你們還知道些什么?
生：圓應(yīng)該不只有一條半徑。
生：圓有無數(shù)條半徑。
生：半徑的長(zhǎng)度都相等。
師：看來，關(guān)于半徑，同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)還真不少。但是，沒有經(jīng)過思維考量的數(shù)學(xué)直覺，算不上真正的數(shù)學(xué)知識(shí)。剛才有人說，圓有無數(shù)條半徑，同意的請(qǐng)舉手。
(全班學(xué)生都舉起了手)不過，為什么呢? (一只只舉起的手慢慢放了下來。)
師：原來，大家都是蒙的!不過還好，至少還有幾只手直到現(xiàn)在還舉著。要不，先來聽聽他們的聲音，或許你會(huì)從中受到啟發(fā)。
生：剛才我只畫了一條，但如果我們繼續(xù)畫下去，永遠(yuǎn)也畫不完，所以應(yīng)該有無數(shù)條。
師：都同意?
生：同意!
師：有人就不同意。這是我自己班上的小陳同學(xué)在學(xué)完《圓的認(rèn)識(shí)》后回去做的一次小實(shí)驗(yàn)(教師呈現(xiàn)在半徑5厘米的圓上畫得密密麻麻的半徑)。瞧，他在這么大的圓里畫滿了半徑，最后一數(shù)，才524條。不對(duì)呀，不是說無數(shù)條嗎?
生：我覺得他的圓太小了，要是再大一點(diǎn)，那么畫的半徑就更多了。
師：哦，你是說大圓的半徑有無數(shù)條，而小圓的半徑則未必?(生一時(shí)語塞。)
生：不對(duì)，大圓小圓的半徑都應(yīng)該是無數(shù)條。我想，主要是這位同學(xué)用的鉛筆太粗了。如果用細(xì)一半的鉛筆畫，應(yīng)該可以畫一千多條；如果用再細(xì)一半的鉛筆畫，半徑就有兩千多條。這樣不斷地細(xì)下去，最終可以畫出無數(shù)條半徑。
師：多富有想象力呀!半徑可以不斷地細(xì)下去，直到無窮無盡。這樣想來，半徑當(dāng)然應(yīng)該有——
生：無數(shù)條。
生：我還有補(bǔ)充。因?yàn)榘霃绞菑膱A上任意一點(diǎn)發(fā)出的，所以圓有無數(shù)條半徑。
師：什么叫任意?
生：隨便。
師：那么，在一個(gè)圓上有多少個(gè)這樣隨便的點(diǎn)?
生：無數(shù)個(gè)。
生：有一個(gè)點(diǎn)，就能連出一條半徑。有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，就能連出無數(shù)條半徑。
師：回過頭來看看，同樣是無數(shù)條半徑，經(jīng)過我們的深入思考，大家感覺怎么樣?
生：我覺得更清楚了。
生：原來只是—種感覺，現(xiàn)在真正理解了。
師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可不能只浮子表面，或停留于直覺，還得學(xué)會(huì)問為什么。只有這樣，數(shù)學(xué)思考才會(huì)不斷走向深入。關(guān)于半徑，還有其他新的發(fā)現(xiàn)嗎?
生：它們的長(zhǎng)度都相等。
師：同意的舉手。 (全班學(xué)生又一次都舉起了手。)了不起!不過——
生：為什么? (話還沒說完，一大半學(xué)生就放下了手。聽課教師大笑。)
師：有這樣的追問意識(shí)挺好!不過，光等著別人來回答也不是個(gè)辦法。這樣吧，我稍作提醒：課前，數(shù)學(xué)老師讓咱們都帶了直尺，猜猜為什么?
生：可以量。 (學(xué)生操作后，發(fā)現(xiàn)圓的半徑的確都相等。)
生：其實(shí)根本不用量。因?yàn)楫媹A時(shí)，圓規(guī)兩腳的距離一直不變，而兩腳的距離其實(shí)就是半徑的長(zhǎng)，所以半徑的長(zhǎng)度當(dāng)然處處相等。
師：多妙的思路1看來，畫一畫、量一量是一種辦法，而借助圓規(guī)畫圓的方法進(jìn)行推理，同樣能得出結(jié)論。通過剛才的研究，關(guān)于半徑，我們已有了哪些結(jié)論?
生：半徑有無數(shù)條，它們的長(zhǎng)度都相等。
師：其實(shí)，關(guān)子圓，早在2000多年前，我國(guó)古代偉大的思想家墨子也得出過和我們相似的結(jié)論。只不過，他的結(jié)論是用古文描述的，不知道你們能不能看懂? (課件出示： “圓，一中同長(zhǎng)也。”)生：一中，應(yīng)該是指圓心。
師：沒錯(cuò)。圓心，正是圓的中心。那同長(zhǎng)——
生：應(yīng)該是指半徑同樣長(zhǎng)!
師：這樣看來，墨子得出的結(jié)論和我們剛才得出的——
生：完全一樣。
師：不過，也有人指出，這里的“同長(zhǎng)”除了指半徑同樣長(zhǎng)以 外，還可能指——
生：直徑同樣長(zhǎng)。
師：沒錯(cuò)。 (板書：直徑。)連接圓心和圓上某一點(diǎn)的線段叫半徑。那么，怎樣的線段叫直徑呢?(少數(shù)學(xué)生舉手。)我猜，多數(shù)同學(xué)不是不知道，而是不會(huì)用語言來描述，是這樣嗎? (多數(shù)學(xué)生連連點(diǎn)頭。)那么，你們能用手比畫出一條直徑嗎? (學(xué)生比畫。)
師：剛才的半徑是同學(xué)們畫的。這回，我自己來試試。 (教師故意將直尺擺放在偏離圓心的位置，提筆欲畫。)
生：老師，您的直尺放錯(cuò)位置啦，應(yīng)該放在圓心上。
師：哦，，原來是這樣。 (教師調(diào)整好直尺的位置，并從圓上某點(diǎn)開始畫，畫到圓心時(shí)停下。)
生：錯(cuò)!
生：這是一條半徑呢，還得繼續(xù)往下畫。
教師繼續(xù)往下畫，眼看就要畫到圓上時(shí)，不露痕跡地停下了筆。
生：對(duì)!
生：不對(duì)!是錯(cuò)的。我們上當(dāng)了。
師：怎么又反悔了?
生：還沒到頭，還得再往前畫一點(diǎn)點(diǎn)。
教師繼續(xù)往下畫。就在學(xué)生喊“對(duì)”時(shí)，教師又悄悄地往前畫了一小段。
生：對(duì)!
生：不對(duì)!出頭啦。
師：一會(huì)兒對(duì)，一會(huì)兒錯(cuò)，都給你們弄糊涂了。畫直徑到底得注意些什么呢?
生：得通過圓心。
生：兩頭都要在圓上。
生：還不能出頭。
師：這就對(duì)啦!數(shù)學(xué)上，我們把通過圓心、兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑通常用字母d表示(板書：d)。請(qǐng)?jiān)谀愕膱A上畫出一條直徑，標(biāo)上字母d。 (學(xué)生操作。)
師：半徑的特點(diǎn)已經(jīng)研究過了，直徑又有哪些特點(diǎn)呢?大家可以和半徑比較著研究。半徑有無數(shù)條，那么——
生：直徑也有無數(shù)條。
師：半徑的長(zhǎng)度都相等，那么——
生：直徑的長(zhǎng)度也都相等。
師：直徑有無數(shù)條，我們就不必去探討了，原因和半徑差不多。直徑的長(zhǎng)度都相等，為什么呢?
生：我們是量的，發(fā)現(xiàn)直徑的長(zhǎng)度都是6厘米。
師：瞧，動(dòng)手操作又一次幫助我們獲得了結(jié)論。
生：不用量也行。我們發(fā)現(xiàn)，每一條直徑里面都有兩條半徑，半徑的長(zhǎng)度都相等，那么，直徑的長(zhǎng)度當(dāng)然也都相等。
師：在我們看來，這只是一條直徑，但在他的眼里，還看出了兩條半徑，多厲害!尤其是，他的發(fā)現(xiàn)還幫助我們獲得了一個(gè)新的結(jié)論，那就是，在同一個(gè)圓里，直徑和半徑是有關(guān)系的。誰能用最簡(jiǎn)潔的語言描述出它們之間的關(guān)系?
生：直徑是半徑的兩倍。
師：挺好。還能更簡(jiǎn)潔嗎?
生：半徑x2：直徑。
師：的確又簡(jiǎn)潔了些。還能更簡(jiǎn)潔嗎? (無人舉手。)想想它們的字母——
生：我知道了，d=2r。
師：這就是數(shù)學(xué)語言的魅力!同學(xué)們可千萬別小看這個(gè)結(jié)論。(教師課件出示圖4)試想一下，如果在一個(gè)圓里，圓的半徑不是都相等的，而是有的長(zhǎng)、有的短，最后連起來的還會(huì)是一個(gè)光滑、飽滿、勻稱的圓(指著圖4)嗎?
