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小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)問答300例—用“公倍數(shù)法”解“孫子問題”

來源:奧數(shù)網(wǎng) 文章作者:奧數(shù)網(wǎng)整理 2009-11-12 11:08:44

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  180.怎樣用“公倍數(shù)法”解“孫子問題”?

  我國(guó)古代的《孫子算經(jīng)》里,曾提出了這樣一個(gè)問題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”

  翻譯成現(xiàn)代語(yǔ)言就是:“現(xiàn)在有許多物品不知道是多少,三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè),五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余三個(gè),七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè),問這些物品有多少個(gè)?”這個(gè)問題通常叫做“孫子定理”或“孫子問題”,它的解法很早就流傳到國(guó)外,被稱為“中國(guó)剩余定理”。

  用公倍數(shù)法解這道題的思路是這樣的:先考慮第一個(gè)條件,并使其余數(shù)為1,從第二、三個(gè)條件入手,5和7的公倍數(shù)是35,但35÷3的余數(shù)為 2,不是 1,而 35×2= 70, 70÷3的余數(shù)正好是1,也就是說:能被5、7整除,而被3除余1的數(shù)是70。

  再考慮第二個(gè)條件,也使其余數(shù)為1,從第一、三條件入手,3和7的公倍數(shù)是21,21÷5的余數(shù)正好是1,這說明:能被3和7整除,而被5除余1的數(shù)是21。

  然后考慮第三個(gè)條件,從第一、二條件入手,使其余數(shù)也是1, 3和5的公倍數(shù)是15,15÷7的余數(shù)也恰是1,這說明:能被3和5整除,而被7除余1的數(shù)是15。

  因此,被5和7整除,而被3除余2的數(shù)是70×2=140;被3和7整除,而被5除余 3的數(shù)是: 21×3=63;被 3和 5整除,而被7除余2的數(shù)是15×2=30。把滿足三個(gè)條件的數(shù)加起來,所得的和必然是具備被3除余2,被5除余3,被7除余2的特點(diǎn)。

  140+63+30=233,這個(gè)結(jié)果是正確的,但不是唯一的,因?yàn)槌龜?shù)3、5、7的最小公倍數(shù)是105,233加上或減去若干個(gè)105,所得的結(jié)果仍然能滿足題目中的全部條件。但減105時(shí),在正整數(shù)范圍內(nèi),差小于105就可以了。

  如果原題最后一問加上“最少”兩個(gè)字,即:“最少為幾何?”則:233-105-105=23。這個(gè)23是滿足題目條件的最小的一個(gè)數(shù)。

  這個(gè)問題的解法,在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》里,有如下歌訣:

  三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,

  七子團(tuán)圓正半月,除百零五便得知。

  這個(gè)歌訣所說的計(jì)算步驟,與前面敘述過程一樣,列出算式為:

  2×70+3×21+2×15=233

  233-105-105=23

  檢驗(yàn):23÷3=7……2 23÷5=4……3

  23÷7=3……2w

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