一、構(gòu)造的技巧：

　　它的基本形式是：以已知條件為原料、以所求結(jié)論為方向，構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式，使得問(wèn)題在這種形式下簡(jiǎn)捷解決。常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程，構(gòu)造恒等式，構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造反例，構(gòu)造抽屜，構(gòu)造算法等。

　　二、映射的技巧：

　　它的基本形式是RMI原理。令R表示一組原像的關(guān)系結(jié)構(gòu)（或原像系統(tǒng)），其中包含著待確定的原像 ，令 表示一種映射，通過(guò)它的作用把原像結(jié)構(gòu)R被映成映象關(guān)系結(jié)構(gòu)R*，其中自然包含著未知原像 的映象 。如果有辦法把 確定下來(lái)，則通過(guò)反演即逆映射 也就相應(yīng)地把 確定下來(lái)。取對(duì)數(shù)計(jì)算、換元、引進(jìn)坐標(biāo)系、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造發(fā)生函數(shù)等都體現(xiàn)了這種原理。建立對(duì)應(yīng)來(lái)解題，也屬于這一技巧。

　　三、遞推的技巧：

　　如果前一件事與后一件事存在確定的關(guān)系，那么，就可以從某一（幾）個(gè)初始條件出發(fā)逐步遞推，得到任一時(shí)刻的結(jié)果，用遞推的方法解題，與數(shù)學(xué)歸納法（但不用預(yù)知結(jié)論），無(wú)窮遞降法相聯(lián)系，關(guān)鍵是找出前號(hào)命題與后號(hào)命題之間的遞推關(guān)系。

　　四、區(qū)分的技巧：

　　當(dāng)“數(shù)學(xué)黑箱”過(guò)于復(fù)雜時(shí)，可以分割為若干個(gè)小黑箱逐一破譯，即把具有共同性質(zhì)的部分分為一類，形成數(shù)學(xué)上很有特色的方法——區(qū)分情況或分類，不會(huì)正確地分類就談不上掌握數(shù)學(xué)。

　　有時(shí)候，也可以把一個(gè)問(wèn)題分階段排成一些小目標(biāo)系列，使得一旦證明了前面的情況，便可用來(lái)證明后面的情況，稱為爬坡式程序。比如，解柯西函數(shù)方程就是將整數(shù)的情況歸結(jié)為自然數(shù)的情況來(lái)解決，再將有理數(shù)的情況歸結(jié)為整數(shù)的情況來(lái)解決，最后是實(shí)數(shù)的情況歸結(jié)為有理數(shù)的情況來(lái)解決。

　　區(qū)分情況不僅分化了問(wèn)題的難度，而且分類標(biāo)準(zhǔn)本身又附加了一個(gè)已知條件，所以，每一類子問(wèn)題的解決都大大降低了難度。

　　五、染色的技巧：

　　染色是分類的直觀表現(xiàn)，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有大批以染色面目出現(xiàn)的問(wèn)題，其特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)少，邏輯性強(qiáng)，技巧性強(qiáng)；同時(shí)，染色作為一種解題手段也在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中廣泛使用。下面是一些熟知的結(jié)果。

　　1．在（點(diǎn)）二染色的直線上存在相距1或2的同色兩點(diǎn)；

　　2．在（點(diǎn)）二染色的直線上存在成等差數(shù)列的同色三點(diǎn)；

　　3．在（點(diǎn)）二染色的平面上存在邊長(zhǎng)為1或 的單色正三角形（三個(gè)頂點(diǎn)同色的三角形）；

　　4．設(shè)T1，T2是兩個(gè)三角形，T1有一邊長(zhǎng)1，T2一邊長(zhǎng) ，若將平面作（點(diǎn)）二染色，則恒可找到一個(gè)全等于T1或T2的單色三角形；

　　5．在（點(diǎn)）三染色的平面上，必有相距為1的兩點(diǎn)同色；

　　6．在（點(diǎn)）三染色的平面上，必存在一個(gè)斜邊為1的直角三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)是全同色的或是全不同色的；

　　7．在（邊）染色的六階完全圖中必有單三角形（三邊同色）；

　　8．在（邊）染色的六階完全圖中至少有兩個(gè)單色三角形。

　　六、極端的技巧：

　　某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中所出現(xiàn)的各個(gè)元素的地位是不平衡的，其中的某個(gè)極端元素或某個(gè)元素的極端狀態(tài)往往具有優(yōu)先于其它元素的特殊性質(zhì)，而這又恰好為解題提供了突破口，從極端元素入手，進(jìn)而簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，這就是通常所說(shuō)的“極端原理”。

　　七、對(duì)稱的技巧：

　　對(duì)稱性分析就是將數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與題目的條件或結(jié)論相結(jié)合，再憑借知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與審美直覺(jué)，從而確定解題的總體思想或入手方向。其實(shí)質(zhì)是美的啟示、沒(méi)的追求在解題過(guò)程中成為一股宏觀指導(dǎo)的力量。著名物理學(xué)家楊振寧曾高度評(píng)價(jià)對(duì)稱性方法：“當(dāng)我們默默考慮一下這中間所包含的數(shù)學(xué)推理的優(yōu)美性和它的美麗完整性，并以此對(duì)比它的復(fù)雜的、深入的物理成果，我們就不能不深深感到對(duì)對(duì)稱定律的力量的欽佩”。

　　八、配對(duì)的技巧：

　　配對(duì)的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對(duì)或共軛配對(duì)，有解析式的對(duì)稱配對(duì)對(duì)或整體配對(duì)，有子集與其補(bǔ)集的配對(duì)，也有集合間象與原象的配對(duì)。凡此種種，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和諧美的追求與力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首創(chuàng)了配對(duì)。

　　九、特殊化的技巧：

　　特殊化體現(xiàn)了以退求進(jìn)的思想：從一般退到特殊，從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從抽象退到具體，從整體退到部分，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論，從高維退到低維，退到保持特征的最簡(jiǎn)單情況、退到最小獨(dú)立完全系的情況，先解決特殊性，再歸納、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)一般性。華羅庚先生說(shuō)，解題時(shí)先足夠地退到我們最易看清楚問(wèn)題的地方，認(rèn)透了、鉆深了，然后再上去。特殊化既是尋找解題方法的方法，又是直接解題的一種方法。

　　十、一般化的技巧：

　　推進(jìn)到一般，就是把維數(shù)較低或抽象程度較弱的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為維數(shù)較高、抽象程度較強(qiáng)的問(wèn)題，通過(guò)整體性質(zhì)或本質(zhì)關(guān)系的考慮，而使問(wèn)題獲得解決，離散的問(wèn)題可以一般化用連續(xù)手段處理，有限的問(wèn)題可以一般化用數(shù)學(xué)歸納法處理，由于特殊情況往往涉及一些無(wú)關(guān)宏旨的細(xì)節(jié)而掩蓋了問(wèn)題的關(guān)鍵，一般情況則更明確地表達(dá)了問(wèn)題的本質(zhì)。波利亞說(shuō)：“這看起來(lái)矛盾，但當(dāng)從一個(gè)問(wèn)題過(guò)渡到另一個(gè)，我們常�？吹�，新的雄心大的問(wèn)題比原問(wèn)題更容易掌握，較多的問(wèn)題可能比只有一個(gè)問(wèn)題更容易回答，較復(fù)雜的定理可能更容易證明，較普遍的問(wèn)題可能更容易解決。”希爾伯特還說(shuō)：在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果我們沒(méi)有獲得成功，原因常常在于我們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到更一般的觀點(diǎn)，即眼下要解決的只不夠是一連串有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)環(huán)節(jié)。

　　十一、數(shù)字化的技巧：

　　數(shù)字化的好處是：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí)，還將抽象的推理轉(zhuǎn)化為具體的計(jì)算。

　　十二、有序化的技巧：

　　當(dāng)題目出現(xiàn)多參數(shù)、多元素（數(shù)、字母、點(diǎn)、角、線段等）時(shí)，若按一定的規(guī)則（如數(shù)的大小，點(diǎn)的次序等），將其重新排列，則排序本身就給題目增加了一個(gè)已知條件（有效增設(shè)），從而大大降低問(wèn)題的難度。特別是處理不等關(guān)系時(shí)，這是一種行之有效的技巧。

　　十三、不變量的技巧：

　　在一個(gè)變化的數(shù)學(xué)過(guò)程中常常有個(gè)別的不變?cè)�素或特殊的不變狀態(tài)，表現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定的較好性質(zhì)，選擇這些不變性作為解題的突破口是一個(gè)好主意。