第六回  割之又割  割圓術(shù)得徽率祖率

　　        開(kāi)而再開(kāi)  開(kāi)方法解天元四元

　　勾股定理的證明，是背柴人的杰作。創(chuàng)造了“割圓術(shù)”、“重差術(shù)”的數(shù)學(xué)大家劉徽很謙虛，說(shuō)有道難題確實(shí)想不出，祖沖之的兒子把它解決了。當(dāng)中國(guó)人用“天元術(shù)”解高次方程，津津有味地說(shuō)著“物不知其數(shù)”時(shí)，歐洲還在睡覺(jué)。

　　同學(xué)們，說(shuō)到這里，咱們?nèi)A夏古算的種種，是應(yīng)該再表一番了。

　　中國(guó)古算，自文明升華起，一直領(lǐng)先世界。諸般功績(jī)，大家已經(jīng)有所了解。

　　大致說(shuō)來(lái)、中國(guó)的古算、大約可以化為這么幾個(gè)階段：

　　從上古結(jié)繩記事，發(fā)明十進(jìn)制位值記數(shù)法，發(fā)現(xiàn)勾股定理，還有分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)用如此等等，大約有兩三千年時(shí)間，是數(shù)學(xué)萌芽和初步發(fā)展的階段。

　　從這以后一直到元代中葉，這 1300多年，是中國(guó)古算迅速發(fā)展繁榮的時(shí)期。這期間大數(shù)學(xué)家并起，連綿不斷。

　　先是三國(guó)時(shí)期的趙爽、劉徽，接著是以計(jì)算圓周率著名的祖沖之父子，他們生活在南北朝時(shí)代，再往下就是唐代的一行大和尚，到北宋的賈憲，南宋的秦九韶、楊輝，一時(shí)間人才迭出，成果累累。一直到元代“四元術(shù)”的產(chǎn)生，達(dá)到了中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰。

　　這其中一直到清代，中國(guó)古算開(kāi)始走入低谷，緩慢發(fā)展。而西方數(shù)學(xué)也開(kāi)始輸入，一直到鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)以后，中西數(shù)學(xué)匯合，開(kāi)始了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展。

　　咱們這回書，就單說(shuō)那繁榮昌盛欣欣向榮成果累累的一階段。且說(shuō)自《九章》成書以來(lái)，中國(guó)初等數(shù)學(xué)的體系初步形成，方方面面都有了成果。這本《九章算術(shù)》也是很為矚目，許多人學(xué)習(xí)、作注。

　　給一本書作注，這是中國(guó)古代作學(xué)問(wèn)的一種主要方法。這恐怕與中國(guó)書的簡(jiǎn)約概括凝煉有關(guān)。一個(gè)主張、一種學(xué)問(wèn)、一種觀點(diǎn)，往往就那么幾句話，看來(lái)是節(jié)約“紙張”，古時(shí)用竹簡(jiǎn)，挺費(fèi)事。不過(guò)這給后人的理解也添了不少麻煩。

　　所以一部書成了經(jīng)典，立刻就有許多人圍著它作注釋。你這么理解，他那么認(rèn)為，典籍上的一句話翻來(lái)復(fù)去要被“炒”多少遍，反正寫著的人早就作古，他也沒(méi)辦法發(fā)表意見(jiàn)，由著別人折騰吧。

　　不過(guò)有許多注，當(dāng)然很有見(jiàn)地，往往發(fā)揚(yáng)光大了原來(lái)的意思，更把自己的新鮮見(jiàn)解加進(jìn)去，是一些很有價(jià)值、更見(jiàn)風(fēng)采的好文章、好論說(shuō)。

　　不過(guò)給數(shù)學(xué)專著作注，弊病恐怕小一些，數(shù)學(xué)是形式邏輯作用，一就是一，二就是二，可不能由著性子把正話說(shuō)反，反話正說(shuō)。

　　這位劉徽大師就是給《九章算術(shù)》作注作得最好的一個(gè)。咱們前幾回中談過(guò)，現(xiàn)在看到的《九章算術(shù)》就是經(jīng)過(guò)劉大師整理過(guò)，注解過(guò)的內(nèi)容。

　　《九章算術(shù)》是我國(guó)的一部最杰出的數(shù)字典籍，是一顆明珠，可與《原來(lái)》媲美，稱得上是東西雙璧，蓋世有雙。

　　所以整理注釋《九章》的劉徽，自然是功德無(wú)量，給后代做了件大好事。

　　何況在注解中，劉先生匠心獨(dú)運(yùn)，旁證博引，使得原先簡(jiǎn)約深?yuàn)W的術(shù)文得到了闡明，得到了解釋。

　　這劉徽在注釋中還有不少發(fā)揮創(chuàng)造，那更是對(duì)中國(guó)古算的發(fā)揚(yáng)光大了。有些西方人不明究竟，總覺(jué)得中國(guó)古算注重計(jì)算，沒(méi)有自己的理論體系。劉徽就在注釋中，清理古代數(shù)學(xué)體系，致力于把“術(shù)”文中算理的說(shuō)清楚。不但說(shuō)清楚，而且力圖把各種數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)理論之間的關(guān)系找出來(lái)，追根尋源。

　　所以劉徽的研究，就不是停留在“舉一反三”和簡(jiǎn)單的類比上，而是深入探求普通的數(shù)學(xué)原理。劉徽力圖用這些普遍的原理去說(shuō)明和統(tǒng)帥各種方法，這樣就形成了一種獨(dú)特的理論邏輯體系。

　　不但要有理論，而且還要論證。這就和有些人認(rèn)為的東方?jīng)]有證明的看法完全不同了。劉徽曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“不有明據(jù)，辯之斯難。”也就是說(shuō)，要論證的話，一定要有可靠的證據(jù)。他還主張“析理以辭，解體用圖”。意思是用邏輯知識(shí)去推理，用幾何圖形去進(jìn)行直觀分析，兩種辦法結(jié)合起來(lái)，證明問(wèn)題。

　　在注《九章》中，他就這樣，用邏輯推理和直觀推理的方法，把《九章》提到了新的理論高度。他不僅對(duì)書中有價(jià)值的公式、定理（就是“術(shù)文”）都作出了合乎邏輯的證明，而且對(duì)各種算法中涉及的數(shù)學(xué)概念，也給出了嚴(yán)格的定義，形成一整套理論。

　　劉老先生虛懷若谷，知之為知之，不知為不知，從不裝模作樣、不懂裝懂�！毒耪隆分星虻捏w積有錯(cuò)誤，他發(fā)現(xiàn)了。但是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力，他也是沒(méi)能有結(jié)果。這時(shí)他不是用一個(gè)改進(jìn)的公式去代替，而是實(shí)事求是地說(shuō)真話：“敢不闕疑，以俟能言者。”意思是把這個(gè)疑難問(wèn)題空缺在這里吧，等待以后能夠解決它的人。

　　在《九章》注釋的過(guò)程中，那些精彩的證明和解釋發(fā)揮，當(dāng)然都是好論文。但是最有成果的獨(dú)家創(chuàng)造是他老人家附有“勾股章”之后的心得體會(huì)。后人看它很不錯(cuò)，就把這一部分單獨(dú)成篇，起個(gè)名叫《海島算經(jīng)》。

　　這《海島算經(jīng)》是我國(guó)古算中的著名經(jīng)典的十分之一。在我國(guó)古算中，共有十部書最有名最珍貴，叫做“算經(jīng)十書”。

　　在“算經(jīng)十書”中，《周髀算經(jīng)》最古，《九章算術(shù)》最宏博豐富，其次為《孫子算經(jīng)》。這三部?jī)r(jià)值最大，而其中又以《九章》為代表。劉徽能以自己豐富的學(xué)識(shí)，為《九章》這本“算經(jīng)之最”作注，自然是不簡(jiǎn)單，何況他所著的《海島算經(jīng)》也能算上一份，更加了不起。說(shuō)到這里，還不得不提另一位人物趙爽。

　　趙爽與劉徽是同時(shí)代人，不過(guò)不在一個(gè)國(guó)家，或者說(shuō)那時(shí)是“一制三國(guó)”，在三國(guó)時(shí)代。劉在魏國(guó)，被曹操的孫子管著；趙在吳國(guó)，是孫權(quán)子孫的臣民。劉徽以注《九章》著名，而趙爽則以注《周髀》而著稱。兩人的貢獻(xiàn)都很大，對(duì)后世的影響也很大。

　　趙爽又名嬰，字君卿，他自己說(shuō)是“負(fù)薪余日，聊觀周髀”，也就是背柴火休息下來(lái)，研究研究《周髀算經(jīng)》。有人根據(jù)他這一句話，說(shuō)他是體力勞動(dòng)者，平民數(shù)學(xué)家，看樣子都不太像。真正是樵夫出身，哪有那閑功夫去看什么周髀？就是想看，也沒(méi)那么多好條件。

　　對(duì)劉徽的一切也不太明白，只知他受了一次封，不過(guò)那是八九百年后的宋朝了。那時(shí)為了提倡恢復(fù)數(shù)學(xué)教育，在宋徽宗大觀三年（1109年）追封了歷代“著名算數(shù)者”，一共70多位，而且還在孔廟的兩側(cè)走廊畫影造形，享受一下國(guó)家級(jí)待遇。

　　那追封的人中有“張衡西鄂伯”、“祖沖之范陽(yáng)子”，等等。封建社會(huì)共有五等爵位：公、侯、伯、子、男，所以張衡得了個(gè)三等爵位，祖沖之是四等。劉徽得的是“淄鄉(xiāng)男”，第五等。從中也可以知道，劉徽是淄鄉(xiāng)人，即現(xiàn)如今山東臨淄或淄川一帶人。因?yàn)橐陨纤�封的人大多符合籍貫�?/p>

　　花開(kāi)兩朵，各表一枝。我再說(shuō)一說(shuō)那趙爽的成就。

　　趙爽注《周髀》，首先第一件功勞就是證明了勾股定理。

　　在咱們中國(guó)歷史上，有案可考的第一個(gè)勾股定理證明，就是趙先生。趙先生的證法是用了“弦圖”，而且是彩色的。從下圖可以看出，兩個(gè)打陰影的正方形面積，就是勾的平方和股的平方�，F(xiàn)在把三角形Ⅰ移到Ⅱ，三角形Ⅱ移到Ⅲ，又構(gòu)成了一個(gè)新的正方形，它的面積正好是弦的平方。由此，定理得證。

　　不過(guò)，趙爽只在圖旁寫了一句話：“按弦圖可以。”就像那位印度數(shù)學(xué)家寫了一個(gè)字：“瞧！”

　　勾股定理的各種應(yīng)用，始終是中國(guó)古算的一個(gè)特征，叫做“勾股術(shù)”。

　　第四回中列出一些“勾股術(shù)”的公式，都可以用上面的那種方法來(lái)證明。也就是想辦法作一個(gè)圖，然后割補(bǔ)、移位，這就叫“出入相補(bǔ)原理”，這是劉徽提出的思想，趙爽首先運(yùn)用，日后更被許多人用得淋漓盡致，做出了不少好文章呢！

　　再說(shuō)趙爽除建了這第一功以外，更從分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，概括出“齊同術(shù)”。

　　原來(lái)那《周髀》、《九章》中，雖然分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除都有很多的例子，但是沒(méi)有概括出運(yùn)算的法則。

　　所謂“同”，就是把分母乘在一起，使分母不同的分?jǐn)?shù)變得分母相同，這也就是今天所謂“通分”的來(lái)歷。

　　那么“齊”是什么意思呢？比如現(xiàn)在有兩個(gè)分?jǐn)?shù)：

　　這樣齊同之后，就可以進(jìn)行四則運(yùn)算了�！吨荀隆贰ⅰ毒耪隆分械姆�?jǐn)?shù)運(yùn)算就是通過(guò)齊同后做的，只不過(guò)沒(méi)說(shuō)明罷了。

　　在《周髀》中，還有測(cè)量太陽(yáng)高度的問(wèn)題，大概的辦法就是在地上立兩根測(cè)桿，古代叫做“表”，然后計(jì)下兩根“表”的長(zhǎng)度，兩表之間的距離，兩表留下的影子，這樣，古人認(rèn)為就能得出太陽(yáng)的高度了。

　　這自然是錯(cuò)誤的。因?yàn)槿绻麅筛鶞y(cè)量桿離得較近的話，影子的長(zhǎng)度就差不多一樣了；而兩根測(cè)量桿高有十萬(wàn)八千里，那么地球不是一個(gè)平面，是彎曲的，而這種測(cè)高的算理，是基于測(cè)量的基準(zhǔn)面是個(gè)平面，所以也會(huì)錯(cuò)。古人有測(cè)量太陽(yáng)高度的雄心壯志，當(dāng)然令人敬佩，雖然有錯(cuò)，精神可嘉。

　　何況用來(lái)測(cè)一高山、高建筑，所說(shuō)的一切就完全正確了。因?yàn)檫@時(shí)當(dāng)然可以把測(cè)量的基準(zhǔn)面——地面認(rèn)為是個(gè)平面，兩根“表”離得近嘛。

　　趙爽就給《周髀》中這么個(gè)方法作了注釋，詳細(xì)說(shuō)明了求法。以后更由劉徽發(fā)揚(yáng)光大，用來(lái)表海島的高、遠(yuǎn)，著成《海島算卷》，成一家之說(shuō)。

　　那么，《周髀》上的“日高圖”（測(cè)太陽(yáng)高度的示意圖），究竟是什么樣子的呢？原圖是早已沒(méi)有了，但能根據(jù)趙爽的說(shuō)明將其恢復(fù)。

　　趙爽根據(jù)“表”的距離、表高和景差——也就是兩個(gè)影子（“景”）的差，得出以下求日高的公式：

　　他測(cè)量的方法是這樣的：

　　立兩根一樣長(zhǎng)的標(biāo)桿（“表”），使得和要測(cè)的海島三點(diǎn)一線。然后“人目著地取望島峰”，眼睛要趴在地下對(duì)準(zhǔn)島峰看，這樣對(duì)于兩個(gè)“表”就分別取得了H和I點(diǎn)。那么“表目距的差”就是F1減去DH了。

　　用這種測(cè)量方法可以測(cè)量很高，以及底部不能到達(dá)的物體的高度。不但如此，還能測(cè)出海島離觀察點(diǎn)有多遠(yuǎn)。

　　那么這個(gè)測(cè)高公式是怎么得出的呢？是不是有證明呢？原本劉徽是有圖有注，而“注”就是證明。到后來(lái)，就只有公式?jīng)]有圖和注了。

　　南宋的大數(shù)學(xué)家楊輝說(shuō)過(guò)，“海島算法，隱奧莫得其秘”。楊先生甚至將海島置于座右，以推想“先賢作法之萬(wàn)一”。

　　到得清朝，李潢等數(shù)學(xué)家都嘗試給出劉徽那時(shí)候的證明、不過(guò)經(jīng)現(xiàn)代一些數(shù)學(xué)家的研究，覺(jué)得那些證明都不太符合當(dāng)時(shí)的實(shí)際情況。

　　那么劉徽那時(shí)的“古證”，究竟是個(gè)什么樣子呢？現(xiàn)代大數(shù)學(xué)家吳文俊先生根據(jù)各方面的分析，給出了這么一個(gè)古證的復(fù)原：

　　首先，對(duì)于矩形AB，對(duì)角線上化一點(diǎn)C，可以得到矩形CI）的面積等于矩形CE的面積。這其中的道理也不復(fù)雜，因?yàn)椤鰽BD＝△ABE，而在這兩個(gè)大三角形中，各有兩對(duì)小三角形，面積也是相等的，等量減等量，當(dāng)然就得到所說(shuō)的兩個(gè)矩形面積相等。

　　在今天，這種方法就是所謂割補(bǔ)法，可以用來(lái)計(jì)算面積。而在古代，這就歸納成了一條重要的原理，叫“出入相補(bǔ)，各從其類”，這是劉大師的杰作，我們?cè)谇懊婢涂吹搅擞眠@條“出入相補(bǔ)原理”來(lái)證明勾股定理。

　　這么一來(lái)，“海島高”就簡(jiǎn)單多了！

　　矩形JG＝矩形GB    矩形KE＝矩形EB

　　兩式相減    矩形JG－矩形KE＝矩形GD，所以

　�。‵I－DH）×AC＝ED×DF，

　　而FI－DH就是“表目距的差”，所以有表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距，由此自然能得到島高公式。

　　瞧，多么輕松，多么自然，更主要是符合當(dāng)時(shí)的各方面實(shí)際。

　　《海島算經(jīng)》的第一題，就是這么個(gè)測(cè)島高的問(wèn)題。他老先生開(kāi)頭就是這么一句：“今有望海島……”所以后人、后生就把這本書起個(gè)名，叫《海島算經(jīng)》。

　　《海島算經(jīng)》只有九個(gè)問(wèn)題，都是一些“測(cè)”和“望”問(wèn)題。不是“望海島”，就是“望谷”，“望松”，“望樓”等等。因?yàn)橐?ldquo;測(cè)”，首先必須用標(biāo)桿“望”，而且都是兩“望”兩“測(cè)”，得到的公式，分母都像上面的一樣，是兩測(cè)之差，所以這一解題的招術(shù)就叫“垂差術(shù)”，是咱們中國(guó)古算一大創(chuàng)造，優(yōu)良傳統(tǒng)。

　　劉大師在給《九章》作注的序文中說(shuō)：“凡望極高，測(cè)絕深而兼知其遠(yuǎn)者，必用垂差。”

　　他那《海島算經(jīng)》里的九題，都是高的摸不著頭，低的探不著底。而且要測(cè)的東西，底部也挨不上去。

　　這“出入相補(bǔ)原理”，可是當(dāng)時(shí)的一大法寶。比如用來(lái)證有勾股定理。古代的中國(guó)數(shù)學(xué)家們，從劉徽、趙爽開(kāi)始，一直到清朝的梅文鼎、李善蘭都用這個(gè)法寶，設(shè)計(jì)出各種巧妙方法，不厭其煩一證再證，樂(lè)在其中。有位華衡芳老先生，設(shè)計(jì)出22圖，來(lái)證這么個(gè)定理，真可算得上一絕。

　　還有第四回中說(shuō)過(guò)，已知勾股之差和弦的長(zhǎng)度，求勾、股，或者是已知股弦之和以及勾，求股、弦，等等，在《九章》中都給出了公式，而證明，可就是劉徽用“出入相補(bǔ)原理”給出的啦。

　　這個(gè)原理在今天，對(duì)咱們還有用處，用面積相等來(lái)求長(zhǎng)度，大家好好想想，見(jiàn)到過(guò)嗎？恐怕不止一次吧。

　　劉徽用“垂差術(shù)”創(chuàng)造出的測(cè)量奇跡，西歐社會(huì)即使到了15、16世紀(jì)，也望塵莫及。

　　卻說(shuō)劉徽另一件功勞就是圓周率的計(jì)算。

　　說(shuō)到圓周率，大家都清楚，那不是3．1415926嘛！有人還會(huì)進(jìn)一步背到小數(shù)點(diǎn)后面100，300位，倒也真算得記憶的好漢，好學(xué)的君子。

　　只是這圓周率的求法就不那么簡(jiǎn)單了。’首先是要確定一個(gè)計(jì)算的步驟，計(jì)算的公式；然后是一步一步不畏艱難不怕繁雜去算，古時(shí)的計(jì)算工具，最先進(jìn)的就是算籌；最后還要有一種科學(xué)的誤差分析和誤差估計(jì)的辦法，算對(duì)了還是算錯(cuò)了，誤差是多少，要有個(gè)明白的說(shuō)法。

　　這么三件事可不是所有人都能認(rèn)識(shí)到的。在一些人的腦袋里，似乎圓周率的計(jì)算很簡(jiǎn)單，畫一個(gè)圓出來(lái)，半徑當(dāng)然是已知的，然后用一根絹?zhàn)影褕A周一圍，得個(gè)尺寸，最后再相除一下，不就解決問(wèn)題了嗎？

　　豈不知你這樣量圓周誤差不但大，而且各人有各人的量法，誤差還很隨意，不好控制。再說(shuō)了，把一個(gè)長(zhǎng)度量準(zhǔn)了，可要受到測(cè)量工具的限制，沒(méi)法準(zhǔn)到多少多少位。

　　而大師劉徽就是認(rèn)識(shí)到咱們所說(shuō)的三個(gè)要點(diǎn)，做了這三件事的中國(guó)第一人！足可笑傲江湖，橫刀立馬，稱雄天下。代表了當(dāng)時(shí)乃至一千多年后的世界水平。

　　直接“量”，自然是不行，劉徽以前的人大致是用這個(gè)方法吧，或者比它好不了多少，所以得出的圓周率大多是“周三徑一”，或者是用 10來(lái)近似。

　　劉徽慧眼獨(dú)具，他采用的是“算”的辦法，這樣就達(dá)到了三個(gè)要求。讓咱們來(lái)看一下下頁(yè)的圖，這首先是一個(gè)半徑為1的圓，內(nèi)接一個(gè)正六邊形。

　　正六邊形的面積當(dāng)然好計(jì)算，就用它來(lái)近似代替圓的面積，而圓的面積就是π的值。當(dāng)然用正六邊形近似圓，很不精確。

　　不過(guò)不要緊，下一步是在此基礎(chǔ)上作正十二邊形，計(jì)算這個(gè)十二邊形的面積。大家可以看到，圖中那正十二邊形的一部分（全部的 1/6），是一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形是兩個(gè)三角形底對(duì)底（公用一底）構(gòu)成的，面積好算，是六邊形的邊長(zhǎng)乘以半徑，再除以2。這樣十二邊形的面積自然可以得到。

　　再一步，我不說(shuō)同學(xué)們也會(huì)料到，就是再作正二十四邊形。根據(jù)計(jì)算十二邊形面積的方法，那當(dāng)然要首先知道十二邊形的邊長(zhǎng)，才能算出二十四邊形的面積。

　　這個(gè)邊長(zhǎng)如何算？讓咱們?cè)倏匆豢磮D。

　　因?yàn)镻T是六邊形邊長(zhǎng)之半，OP是半徑，那當(dāng)然就能用勾股定理得出OT；然后從OR中減去OT，自然就得到TR；最后在三角形PTR中再用勾股定理，就得到了十二邊形的邊長(zhǎng)PR。

　　就這么一直做下去，邊數(shù)翻倍，十二、二十四、四十八、九十六……這些面積一個(gè)比一個(gè)大，一個(gè)比一個(gè)更接近圓的面積。這就是劉徽創(chuàng)造的、大名鼎鼎的“割圓術(shù)”。

　　所謂“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”。

　　劉老先生的意思就是，“割”得越“細(xì)”，相差得就越少；一直不停地“割”下去，以至于不可割，就與圓完全一樣，而沒(méi)有誤差啦！

　　實(shí)際上又怎么能沒(méi)有誤差呢？因?yàn)槟銢](méi)法一直不停地“割”下去，所以你就得估計(jì)一下誤差，看看算到多少邊形，就可以精確到小數(shù)點(diǎn)多少位。想到這一層的人更少，也更不容易，但更加重要。請(qǐng)想一想，這么重要的一個(gè)常數(shù)，你對(duì)它的精確度心里沒(méi)譜，能放心使用嗎？要是用到關(guān)鍵的地方，說(shuō)不定會(huì)衛(wèi)星落地，核彈誤爆。

　　那么劉大師是如何估計(jì)誤差的呢？讓咱們回頭再看看那張圖。

　　劉徽又在R處添了一條切線，然后由P、Q作垂線，得到一個(gè)矩形，這一塊矩形連同三角形OPQ，構(gòu)成的面積可就超過(guò)了圓的面積了。

　　所以如果咱算到正十二邊形，那么圓面積就大于正十二邊形，而小于這么一個(gè)齒輪形的面積。這么一來(lái)，圓周率的真值也就在這兩者之間，它的精確度不就估計(jì)出來(lái)了嘛！

　　按算到一百九十二邊形來(lái)看，誤差不超過(guò)0．232，那么π本身就差不到0．003，所以劉徽就把圓周率之值取為3．14。

　　這么一個(gè)圓周率的值，被人們稱之為“徽率”。

　　這一下就可以放心了，那 3．14的第二位小數(shù)是完全準(zhǔn)確的，不是瞎蒙，有根有據(jù)。

　　不過(guò)那3．1416的圓周率值，竟然打起了一場(chǎng)官司，有人認(rèn)為它是祖沖之得出的。興起這場(chǎng)爭(zhēng)論的是清朝數(shù)學(xué)家李潢。后來(lái)參加筆戰(zhàn)的人就越來(lái)越多啦，從解放前一直爭(zhēng)到解放后，挺熱鬧。許多數(shù)學(xué)家都熱鬧過(guò)，大部分人都主張還算是劉徽閣下的。

　　說(shuō)起來(lái)也是“是非成敗轉(zhuǎn)頭空”，就算是劉先生的，與他也沒(méi)什么大關(guān)系了。只不過(guò)爭(zhēng)論一番，弄清發(fā)展的來(lái)龍去脈，也還是有益處的。咱們這也算是“古今多少事，都付笑談中”。

　　話說(shuō)那祖沖之自然也是一等一流的數(shù)學(xué)大師。到如今，也只有他老人家是第一個(gè)登月的中國(guó)人。

　　此話怎說(shuō)？卻原來(lái)祖老先生不但在中國(guó)，而且全球聞名，所以就把月球上的一座球形山，命名為祖沖之山。

　　大家若是中秋賞月，或是閑來(lái)無(wú)事看吳鉤，那么吳剛嫦娥倒是見(jiàn)不著，而是常常能看祖老先生了。

　　那祖沖之（429—500）是南北朝時(shí)代南朝的宋（420—478）、齊（479—502）兩朝人，比劉徽、趙爽晚了200多年。

　　祖沖之在劉宋朝廷被安排在政府的學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——華林學(xué)省工作，并“賜宅宇車服”，搞學(xué)術(shù)研究，是個(gè)享受國(guó)家津貼的有貢獻(xiàn)學(xué)者。后來(lái)又調(diào)到各處任地方官，大約是縣團(tuán)級(jí)。晚年被提升為長(zhǎng)水校尉，成為高級(jí)將領(lǐng)，而且給當(dāng)局上書獻(xiàn)策，談?wù)勚螄?guó)方略，以圖一展抱負(fù)。不過(guò)這些治國(guó)安邦的計(jì)劃也沒(méi)實(shí)現(xiàn)。

　　祖沖之最突出的成就倒不是政績(jī)，而是數(shù)學(xué)了。他繼承劉徽思想，通過(guò)研究劉徽的注釋和《九章》，水平自然不淺。

　　他認(rèn)為徽率3．14不夠精密，繼續(xù)往下推求，用的還是“割圓術(shù)”，他的新結(jié)果是：

　　3．1415926＜“正數(shù)”＜3．1415927所謂“正數(shù)”就是圓周率的準(zhǔn)確值。

　　但由于它是無(wú)理數(shù)，不能用有限小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示準(zhǔn)確值，所以只能用有限小數(shù)不斷逼近他，用一串有限小數(shù)逐漸地靠近那個(gè)準(zhǔn)確值。

　　不但要用一串有限小數(shù)去逼近，而且要用上限和下限兩個(gè)數(shù)（或兩串?dāng)?shù)）去“夾”，這樣，圓周率這個(gè)無(wú)理數(shù)就被準(zhǔn)確地描繪出來(lái)了。

　　因?yàn)檫@么一“夾”，就有了精度的衡量，“正數(shù)”（準(zhǔn)確值）的大小范圍明瞭了，這可是一種非常非常先進(jìn)的思想，了不得，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)才有的思想。而劉徽和祖沖之在那么遙遠(yuǎn)的年代就有此卓見(jiàn)，同學(xué)們，你看應(yīng)當(dāng)如何評(píng)價(jià)呢？

　　祖老先生把那個(gè)不足近似值3．1415926，叫做“朒數(shù)”，而那個(gè)過(guò)剩近似值3．1415927叫做“盈數(shù)”。按他的話說(shuō)，“正數(shù)在朒盈二限之間”，可嘆，可敬！

　　祖沖之的這個(gè)圓周率，自然叫“祖率”，保持了一千多年的世界紀(jì)錄。公元1596年，荷蘭數(shù)學(xué)家盧道夫經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期艱苦努力，把圓周率算到15位小數(shù)。1610年他逝世后，人們?cè)谒�的墓碑上刻上他的這個(gè)成果，并把這個(gè)數(shù)叫做“盧道夫數(shù)”。數(shù)學(xué)家墓碑都挺有職業(yè)味道，你說(shuō)是不是？

　　當(dāng)然，現(xiàn)在計(jì)算圓周率，可不是用這種方法。不是方法不對(duì)，而是用這種方法太慢。從這我們也可以想見(jiàn)劉徽、祖沖之的計(jì)算工作是多么繁重，要知道，計(jì)算中要有多次開(kāi)平方呢！

　　祖沖之還給出了分?jǐn)?shù)形式的“約率”、“密率”，

　　約率，就是精確度差一些的；密，就是精確度好一點(diǎn)的。

　　圓周率看起來(lái)是個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，其實(shí)真不簡(jiǎn)單，它往往反映了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)思想。

　　祖沖之的家庭真算是書香門弟了，他的先輩有搞建筑工程的，有寫詩(shī)作文的，也都有歷法研究的根底。他的兒子、孫子都精通歷法。

　　尤其是兒子祖?，更是了得，很可以說(shuō)“青出藍(lán)而勝于藍(lán)”。他造過(guò)當(dāng)時(shí)的計(jì)時(shí)工具——漏刻。在梁天監(jiān)十三年（514 年），去搞治淮工程，后來(lái)工程被水沖垮了，就被逮入獄，不知是不是判的是瀆職罪。出獄后遇到一位高人給他講授數(shù)學(xué)，恐怕是得益非淺。

　　祖的拿手絕活就是計(jì)算體積。

　　許多體積問(wèn)題咱們?cè)凇毒耪隆范家岩?jiàn)到“術(shù)文”了，都很正確，只有唯一一點(diǎn)遺憾，就是球體的公式不對(duì)。

　　這一點(diǎn)劉徽老先生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)。那么如何解決呢？他想了一個(gè)關(guān)鍵的辦法，就是在一個(gè)正方體里，縱橫交錯(cuò)內(nèi)切兩個(gè)圓柱。那兩個(gè)圓柱相交的公共部分，就是他所說(shuō)的“牟合方蓋”，像個(gè)做得不太好的燈籠，或是兩把底對(duì)底的方形傘。

　　這么個(gè)圖形不太好想象，要發(fā)揮一下大伙的水平了。這個(gè)圓形名子怪，樣子也挺怪。那么劉徽先生為何出此怪招呢？

　　原來(lái)他天才地發(fā)現(xiàn)，如果用一個(gè)平行截面去截它的話，不管這個(gè)截面是上去一點(diǎn)，還是往下截一點(diǎn)，截出的總是一個(gè)正方形！

　　如果在這個(gè)“牟合方蓋”里再內(nèi)切一球（實(shí)際上也是原正方體的內(nèi)切球），那么再用截面平行去截，截面就是一個(gè)正方形含內(nèi)切圓。那個(gè)內(nèi)切圓就是球的截口。

　　■

　　正方形與內(nèi)切圓的面積比是 4：π。而現(xiàn)在任意一個(gè)平行截面都是這樣的形狀，都是4：π，你說(shuō)說(shuō)，“牟合方蓋”與球的體積之比是不是也是4：π響？因?yàn)轶w積，咱們可以看作是這無(wú)數(shù)平行截面壘積而成的！

　　劉徽在這里提出了一個(gè)很重要的思想，就是兩個(gè)幾何體，如果用任一個(gè)平行截面去截，截得的兩個(gè)截面的面積比總是a：b，那么這兩個(gè)幾何體的體積之比也是a：b。

　　現(xiàn)在如果這個(gè)比是1：l，也就是兩個(gè)截面積相等，那么自然兩個(gè)幾何體的體積就應(yīng)該相等了。這正是祖?提出的著名判斷：

　　冪勢(shì)既同，則積不容異。

　　冪勢(shì)，即作面積講；而積，就是體積了。祖?的這一段話后來(lái)就被命名為“祖?原理”，在計(jì)算體積中有極重要的基礎(chǔ)作用。不過(guò)，咱們也看到了，劉徽也有著同樣光輝的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，所以還是叫“劉祖原理”為好。

　　但是劉徽在得出了“車合方蓋”和球的體積之比之后，他就想計(jì)算出那個(gè)怪物的體積了。不過(guò)進(jìn)展很不順利，他對(duì)這個(gè)“方圓相纏，濃纖詭互”的復(fù)雜圓形沒(méi)有了辦法，只有“以俟能言者”了。

　　祖?看到這個(gè)問(wèn)題后，自然也是想了半天，后來(lái)他靈機(jī)一動(dòng)，于脆去計(jì)算從正方體中去掉“牟合方蓋”后，所余下那部分的體積。如果能算出來(lái)，那么“牟合方蓋”的體積只要兩下一減就得到了。

　　他成功了！用的也是“劉祖原理”！他首先構(gòu)造了一個(gè)容易算體積的方錐，而后再去截！

　　這成功確實(shí)不容易，難怪他在得出了球的體積之后，得意洋洋地說(shuō)：“等數(shù)既密，心亦昭晰，張衡放舊，貽曬干后；劉微循故，未暇校新，夫豈難哉？抑未之思也。”

　　意思是張衡、劉徽都按著舊套子去干。這有什么難的？那不過(guò)是沒(méi)好好想罷了。

　　這么重要的“劉祖原理”，西方一直到17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利才發(fā)現(xiàn)，他們那一直把它叫做“卡瓦列利”公理，好像是不太公平吧！

　　祖代父子還有一本高級(jí)專著：《綴術(shù)》。據(jù)說(shuō)是“旨要精密，算氏之最者也”，曾經(jīng)被當(dāng)作當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)專業(yè)的必修書，要學(xué)四年。

　　但是曲高和寡，“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，故廢而不理”，這部好書就在北宋天對(duì)、元豐年間（1023—1078）失傳了。也正是個(gè)“把闌干拍遍，無(wú)人會(huì)，登臨意”。

　　魏晉南北朝時(shí)期，雖然戰(zhàn)亂頻繁，但數(shù)學(xué)成果倒不少。當(dāng)時(shí)有一本著名的算經(jīng)，叫《孫子算經(jīng)》，大約是公元400前后的產(chǎn)品，全書三卷，作者已經(jīng)不詳了。

　　《孫子算經(jīng)》之所以有名，是因?yàn)橛幸粋�(gè)著名的問(wèn)題：物不知其數(shù)。

　　即所謂：“今有物，不知其數(shù)。三、三數(shù)之余二；五、五數(shù)之余三；七、七數(shù)之余二。問(wèn)物幾何？”

　　也就是說(shuō)有一堆東西，3個(gè)3個(gè)數(shù)余兩個(gè)；5個(gè)5個(gè)數(shù)余3個(gè)，7個(gè)7個(gè)數(shù)也余2個(gè)，問(wèn)你一共有多少個(gè)物體。

　　翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，無(wú)外乎是被3 除余2，被 5除余 3 如此等等，所以我們今天用方程列出就是：

　　N＝3x＋2

　　N＝5y＋3

　　N＝7z＋2

　　這里N 表示物體總數(shù)，X、y、z 分別表示被 3、5、7 除后所得的商。三個(gè)方程，四個(gè)未知數(shù)，那么有解的話，就肯定不會(huì)唯一的了。這類方程叫不定方程，同學(xué)們想必均已知曉。

　　這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在可以用同余的知識(shí)來(lái)解決。當(dāng)時(shí)的《孫子算經(jīng)》是這么給出招“術(shù)”的：

　　將三三數(shù)之的余數(shù)，乘以 70；五的余數(shù)乘到 21；七七之余乘以 15。然后相加，再減去105的若干倍，即得答案23。

　　這其中的 70，21，15，顯然是關(guān)鍵之?dāng)?shù)。其訣竅就在于，70 是 5 和 7的倍數(shù)，而被3除則余1；21是3、7的公倍數(shù)，而被5除余1；15呢，不用說(shuō)是3、5的公倍數(shù)，而被7除余1了。所以如果問(wèn)題中各數(shù)的余數(shù)是a、b、c的話，那么70a＋21b＋15c，便是所求的一個(gè)答案。大家不妨推敲一番，便知奧妙。

　　那么為什么又要減去105的倍數(shù)呢？因?yàn)?05是3、5、7的公倍數(shù)，從最初的和數(shù)中，減去 105，仍然是一個(gè)答案，另一個(gè)解。而算經(jīng)中之所以減去，是為了求得這個(gè)問(wèn)題的最小正整數(shù)解。

　　這一套算計(jì)真是奧妙，后人更給它編了一首詩(shī)，朗朗上口，十分好記：

　　三人同行七十稀，

　　五樹(shù)梅花廿一枝；

　　七子團(tuán)圓正月半，

　　除百零五便得知。

　　正月半者，十五之謂也。

　　這個(gè)大名鼎鼎的題目后來(lái)由秦九韶發(fā)展為“大衍求一術(shù)”，在 1876年德國(guó)一學(xué)者發(fā)現(xiàn)孫子的解法與19世紀(jì)高斯的理論和解法完全一致，故而這一杰出的成就為世界矚目，被稱作“中國(guó)剩余定理”。

　　《孫子算經(jīng)》是一本當(dāng)?shù)氐钠占白x物，雅俗共賞，多為游戲性質(zhì)的趣題。

　　著名的“雞兔共籠”便在其中：

　　今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔幾何？

　　孫子的算法真是妙不可言。他設(shè)想雞免的足通通減少一半，成 47，也就是小雞一律金雞獨(dú)立，只有一條腿了；而小兔前爪舉起，剩兩只爪了。

　　那么這樣一來(lái)，47就是兔頭的二倍加雞頭數(shù)，從中減去總頭數(shù)35，得名義頭數(shù)12，也就是兔的數(shù)目。剩雞的數(shù)目當(dāng)然是23啦。

　　此外還有這樣的趣題：今有出門望見(jiàn)九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問(wèn)各幾何？

　　詩(shī)一般的意境自然能提興趣，吊胃口，孫子的心理學(xué)掌握得不錯(cuò)。咱們?cè)诎＜暗娜R因德紙草卷中，已見(jiàn)過(guò)這個(gè)問(wèn)題的類似情況。只不過(guò)在那里是 7的乘方，咱們這兒是9的乘方。九，陽(yáng)數(shù)之最也，算是中國(guó)古代的極品之?dāng)?shù)了。

　　且說(shuō)那歷史車輪轉(zhuǎn)到隋唐時(shí)期，隋朝雖然很短暫，但卻很繁榮；而盛唐時(shí)期更是古代中國(guó)空前鼎盛時(shí)代，后代一直津津樂(lè)道所謂“貞觀之治”、“開(kāi)元盛世”。

　　經(jīng)濟(jì)各方面發(fā)達(dá)了，學(xué)術(shù)研究文化事業(yè)當(dāng)然也跟著繁榮。在這么一個(gè)情況下，數(shù)學(xué)教育也制度化，中外數(shù)學(xué)交流也比較多。

　　咱們中國(guó)的數(shù)學(xué)教育有悠久歷史�？桌戏蜃拥慕逃齼�(nèi)容有所謂“六藝”的說(shuō)法，即禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)。也就是要學(xué)會(huì)禮儀、音樂(lè)、射箭、架車（“御”）、計(jì)算等本領(lǐng)、很有培養(yǎng)復(fù)合型人才的遠(yuǎn)見(jiàn)。

　　據(jù)說(shuō)周秦以來(lái)，小孩子六歲及八歲入學(xué)，就要學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。

　　隋代建立了最高學(xué)府——國(guó)子寺，和亞歷山大的大學(xué)差不多。其中就設(shè)立了明算學(xué)，也就是數(shù)學(xué)系了。主持?jǐn)?shù)學(xué)系的有算學(xué)博士2人，算助教2人，招入學(xué)生80名。不過(guò)這位算學(xué)博士（系主任）的級(jí)別很低，只是從九品下，簡(jiǎn)直夠不上級(jí)別，最末一級(jí)。

　　到了唐代，最高學(xué)府叫國(guó)子監(jiān)，也有明算科，也有明算博士主持工作。唐初明算科，分為兩個(gè)層次，好像專科、本科，或者像大學(xué)、研究生那樣，都要學(xué)七年，學(xué)的教科書就是“算經(jīng)十書”，其中第二個(gè)層次要學(xué)《綴術(shù)》，那時(shí)這本書還沒(méi)有失傳。

　　學(xué)習(xí)期滿要進(jìn)行考試，從算經(jīng)中出十道題，答對(duì)六道才算及格。有時(shí)還加口試，規(guī)定“得八以上為上；得六以上為中；得五以上為下”。

　　這樣的教育制度不但影響到宋朝，而且還連制度帶教科書一起出口到日本、朝鮮。不知當(dāng)時(shí)是不是按照現(xiàn)在一些大國(guó)的做法，搞一個(gè)什么“三○一”條款。

　　中國(guó)和印度的古代數(shù)學(xué)好像也是互通有無(wú)，相似的地方很多，有的完全一樣。有趣的是，相似的地方，印度一般晚于中國(guó)的記載。

　　不但正確的很相似，而且《九章》中兩個(gè)誤差很大的公式，在印度的《平面積量法》這本書里也記載著，完全一樣。對(duì)的方面相似還好說(shuō)，錯(cuò)也錯(cuò)的一樣就不大可能了。

　　就好像閱卷的看到兩位學(xué)生的試卷鍺的一樣，那他就要認(rèn)為是作弊了。當(dāng)然咱們可不能說(shuō)印度的數(shù)學(xué)有什么這個(gè)那個(gè)的嫌疑，只不過(guò)中印兩方面，數(shù)學(xué)肯定有著很密切的交流。諸位也許記得，印度的數(shù)學(xué)符號(hào)，不是也傳入過(guò)中國(guó)嗎？

　　卻說(shuō)中國(guó)古代文學(xué)中，有唐宋八大家，那當(dāng)然流芳千古；但咱們中華古算史上，倒也有鼎鼎有名的宋元四大家，將古代數(shù)學(xué)推上了前所未有的高峰。這四位前輩倒也是“聚得攏，散得開(kāi)”。

　　何謂聚得攏？卻是因?yàn)樗麄兌际峭瑫r(shí)代，相差不到50年，同時(shí)都卓有成就。

　　那又怎稱得上散得開(kāi)？那是由于這四大家的當(dāng)時(shí)既沒(méi)有現(xiàn)代火車、飛機(jī)的交通便利，又沒(méi)有計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)查詢，可以方便地進(jìn)行學(xué)術(shù)交流。他們都處于宋、元交替之機(jī)，兵連禍結(jié)，天各一方，沒(méi)個(gè)安生日子過(guò)，各人顧各人鉆研學(xué)問(wèn)，但都對(duì)高次方程的解法做出了大貢獻(xiàn)，你說(shuō)奇也不奇？

　　這其中首先一位是秦九韶（約1292—1261年），咱們大家也大略知道一點(diǎn)他的大名，秦九韶公式嘛。也就是外國(guó)人所說(shuō)的海倫公式，求三角形面積的。秦九韶是南宋人。那時(shí)南宋小朝廷內(nèi)爭(zhēng)激烈，腐敗不堪。秦先生聰敏好學(xué)，“星象、音律、算術(shù)以至營(yíng)造（建筑）無(wú)不精究”，“游戲、■馬、弓劍莫不能知”。

　　可能是他精力太過(guò)剩了，對(duì)那腐敗的政治也多想?yún)⑴c，“出污泥而有染”，品行很不好。他是個(gè)官迷，還是個(gè)貪官，到瓊州（海南）做官僅僅百多天，老百姓就盼他早死早好。照這么看來(lái)，要是現(xiàn)在被反貪局抓到，非殺頭不可。

　　不過(guò)照一位美國(guó)史學(xué)家說(shuō)，他無(wú)疑是“那個(gè)民族、那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”。

　　秦九韶的學(xué)術(shù)偉大在什么地方呢？

　　首先是創(chuàng)建了“大衍求一術(shù)”。大家當(dāng)然能記得咱們剛說(shuō)過(guò)的“中國(guó)剩余定理”，也不會(huì)忘記那三個(gè)關(guān)鍵的數(shù)：70、21、15。

　　這三個(gè)數(shù)之所以重要，是因?yàn)樗鼈兂�以某個(gè)數(shù)余 1，而又是另兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)。比如70，是5和7的倍數(shù)，但又被3除而余1。

　　這樣的數(shù)如何找？如何求？當(dāng)然有規(guī)律可尋，不能瞎碰。秦九韶正是找到這求法，把它稱為“求一術(shù)”，求一個(gè)被某數(shù)除余“一”的數(shù)。

　　正因?yàn)檫@么個(gè)“求一術(shù)”是普遍適用的，所以“孫子問(wèn)題”就不限于3、5、7了，也不限于三個(gè)數(shù)了，可以是很多個(gè)數(shù)。

　　這“大衍求一術(shù)”記載在他寫的《數(shù)書九章》中，反映了中國(guó)古代在一次剩余問(wèn)題的解法方面有著極為輝煌的成就。19世紀(jì)介紹至歐洲，引起很大轟動(dòng)。

　　《數(shù)書九章》是 1247年寫成，約 18卷20萬(wàn)字，堪稱煌煌巨制。它記載秦氏的另一項(xiàng)代表中國(guó)乃至世界中世紀(jì)最高成就的東西是一元高次方程的解法——秦九韶正負(fù)開(kāi)方術(shù)。

　　中國(guó)的開(kāi)方術(shù)，是世界上發(fā)明最早的主要算法之一�！毒耪隆分卸辔粩�(shù)的開(kāi)平方、開(kāi)立方法則，是全球最早、最完整的記載。

　　古代巴比倫的繁雜數(shù)表諸位當(dāng)能記得，那其中就有立方表、平方表，他們就是借助這表來(lái)進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算的，煩，沒(méi)一般方法。古希臘亞歷山大時(shí)期約400年，才有幾個(gè)開(kāi)平方的例子。

　　開(kāi)平方的一般筆算方法現(xiàn)在初中已經(jīng)不學(xué)了，用計(jì)算器按按挺方便。但

　　這開(kāi)方的一套程序自《九章》以來(lái)，又經(jīng)不斷改進(jìn)，算法比較簡(jiǎn)便了，但本質(zhì)都相同。后來(lái)又發(fā)展成一套高次方程的數(shù)值解法（不是用求根公式解），到秦九韶一代更到成熟地步，從而達(dá)到當(dāng)時(shí)世界水平的頂峰，譜寫了中算史上極其光輝的一頁(yè)。

　　秦先生的光輝著作中共有20多個(gè)高次方程問(wèn)題。最復(fù)雜的有高達(dá)十次的方程，那是一個(gè)所謂“遙度圓城”題，也就是測(cè)量一座圓城。不過(guò)秦先生有些好大喜功，這個(gè)問(wèn)題用三次方程就能解決了，他偏要賣弄�？赡苁切愿袷谷�，也可能是為了說(shuō)明十次方程的解法。

　　牛頓—拉弗森是西方數(shù)學(xué)嘖嘖稱道的解高次方程的好方法，但是它的原理卻同中國(guó)的開(kāi)方術(shù)解法是完全一致的。不過(guò)卻比咱中國(guó)晚了600年以上。

　　那開(kāi)方的辦法既如此重要，人們自然想到開(kāi)四次方、五次方等等應(yīng)依據(jù)什么開(kāi)，照今天的眼光來(lái)看，就是看看等等各項(xiàng)展開(kāi)的系數(shù)。秦九韶自然是知道這一套的，否則他的七次方程也沒(méi)法做，沒(méi)法求根。

　　但比他更早的是北宋人賈憲所做的貢獻(xiàn)�？赡軙�(huì)有人問(wèn)了，這北宋人能算得上你剛才所說(shuō)的宋元之際的四大家嗎？

　　那自然是算不上。但賈憲活動(dòng)于 1022—1054 年間，生平和著作都已失傳。而他的知于世，全靠著另一位大家、四大家之一的楊輝，在他的《評(píng)解九章算法》中記載的。

　　楊輝的幾本著作寫于 1261 年—1275 年間。那么他在《評(píng)解》又記述了賈憲的什么功勞呢？這就是用來(lái)開(kāi)方的關(guān)鍵圖——“開(kāi)方作法本源圖”。這張圖就是一一列出了這樣一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，你說(shuō)緊要不緊要？

　　在這個(gè)二項(xiàng)式中，如果n＝0，那么系數(shù)當(dāng)然只是1；若 n＝l，那么展開(kāi)后的系數(shù)就是1．1；而n＝2和n＝3，分別就是1、2、l和1、3、3、1。如此等等，n逐次增大，系數(shù)的個(gè)數(shù)也逐次多一個(gè)。

　　賈憲把這些系數(shù)依照n的不同，一層一層從上往下放好，就成了一個(gè)三角形。所以就叫它賈憲三角形。也把它叫做賈憲一楊輝三角形。本來(lái)嘛，這個(gè)三角形能傳播天下，多虧了楊輝的功勞，楊輝不掠人之美據(jù)為己有，應(yīng)該大大表?yè)P(yáng)。

　　這賈憲一楊輝三角在西方叫帕斯卡三角形，不過(guò)晚咱中華500多年了。

　　但是就是在西方，就算不知道賈憲的成果，叫帕斯卡三角形也不對(duì)，還有比帕先生早100年發(fā)現(xiàn)的。

　　楊輝的生平、年月也不大清楚，是錢塘（今杭州）人。他做過(guò)官，比秦九韶好多了，是個(gè)清官。

　　雖然生平事跡沒(méi)多少人知道，但他的著作很多，流傳至今的也有不少。

　　他的《評(píng)解九章算法》共 12 卷（1261 年），現(xiàn)在都?xì)埲辈蝗�了。楊輝是把《九章》的 246問(wèn)提出80問(wèn)進(jìn)行評(píng)解，按由淺入深的順序，分類講解，有圖有算草，十分細(xì)致。

　　現(xiàn)如今的幻方，也就是在一個(gè)棋盤格子里填上數(shù)，使縱列橫行以至對(duì)角線上的各數(shù)之和都各各相等，完全相同。這在古代叫做“九宮”，河圖洛書就是一種幻方。

　　楊輝在《續(xù)古搞奇算法》中給起了個(gè)名叫“縱橫圖”，記載了13幅圖。

　　咱們現(xiàn)在看到的圖就是一個(gè)四階幻方，你看各行之和不都是34嗎？各列也是如此，還有兩條對(duì)角線。

　　最重要的是楊輝敘述了這縱橫圖的構(gòu)造法，如何填數(shù)，如何對(duì)換，對(duì)構(gòu)成規(guī)律已有了發(fā)現(xiàn)，可以說(shuō)是前無(wú)古人的。

　　雖然幻方這個(gè)問(wèn)題很古老，但它卻是勃勃興起的組合數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容呢！

　　楊輝還是個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育家，他主張循序漸進(jìn)，精講多練。他的許多著作都是寫的教科書。所以咱們的數(shù)學(xué)教育研究會(huì)可以選楊輝為首任名譽(yù)會(huì)長(zhǎng)，尊為祖師爺。這秦九韶、楊輝兩位南宋末年的數(shù)學(xué)家咱們說(shuō)完了，那就再聊聊元初的兩位數(shù)學(xué)家。這兩位創(chuàng)“天元術(shù)”、“四元術(shù)”，都是解高次方程的，一位叫李冶（1192—1279），一位叫朱世杰，稍后李先生二十多年。

　　李冶是北方人，住在金國(guó)，中進(jìn)士后曾當(dāng)過(guò)州官。后來(lái)蒙古軍破了城，李先生就隱居起來(lái)，研究學(xué)問(wèn)。大元得了江山，忽必烈下詔讓他做官，李冶以老病推托了。

　　1248年，秦九韶的著作問(wèn)世僅一年，李冶的《測(cè)圓海鏡》就問(wèn)世了。這本書最重要的是提出了“天元術(shù)”，說(shuō)的是如何立方程，表達(dá)一個(gè)方程。怎樣表示一個(gè)方程，這在代數(shù)上很重要，大致分三個(gè)階段，最后一階段就是符號(hào)代數(shù)階段。而李冶創(chuàng)“天元術(shù)”，也大致到了這么個(gè)地步。

　　所謂“天元術(shù)”，就是天元為未知數(shù)，以“太”為常數(shù)。把一個(gè)一元高次方程，用算籌形式表達(dá)出來(lái)。表示的是各項(xiàng)的系數(shù)。

　　具體是這樣的，首先寫下元字（或太字），然后擺上一次項(xiàng)的系數(shù)，在“元”的旁邊。的系數(shù)擺在一次系數(shù)上面，次數(shù)每增一次，層次就高一級(jí)。“元”下面一層擺“太”，即常數(shù)項(xiàng)的大小。太下面可放X的－1、－2、……次冪的系數(shù)。

　　這就是我國(guó)古代方程的表示方法，大家倒可以用火柴棍當(dāng)算籌，擺上試試。

　　雖然秦、李兩人一南一北，毫不相識(shí)，但他們所用的符號(hào)倒是相同的，令人吃驚。

　　李冶及秦九韶的方程式都是一元的，系數(shù)也允許有負(fù)數(shù)。這表示系數(shù)的算籌上要是斜放一杠，就表示是負(fù)的了。

　　一元高次方程的解法當(dāng)然還用“開(kāi)方術(shù)”。那么多元的問(wèn)題自然會(huì)被人思考。這方面卓有成就堪稱大家的就是朱世杰了。

　　朱世杰客居北京附近，后來(lái)就靠數(shù)學(xué)名家的聲望和技藝周游講學(xué) 20 余年，到得揚(yáng)州，“踵門而學(xué)者云集”，上門求學(xué)的像云一樣匯攏。

　　他的發(fā)明中至少有兩項(xiàng)可得全國(guó)科技特等獎(jiǎng)，或者世界數(shù)學(xué)菲爾茲獎(jiǎng)。首功是立方程，立四元高次方程。朱世杰所著《四元玉鑒》（1303 年）中，創(chuàng)制“四元術(shù)”，把“天、地、人、物”分別當(dāng)為四個(gè)未知數(shù)，好像現(xiàn)在的 x、y、Z 和 u。和“天元術(shù)”相通，這種四元方程也是用算籌布列成一個(gè)系數(shù)的陣，只不過(guò)不像一元，布的是長(zhǎng)長(zhǎng)一列，它是四元，布成的就是一個(gè)方形，矩陣。

　　如果兩個(gè)方程中 y 的最高次不一樣，那么就可以給次數(shù)低的方程乘上 y的適當(dāng)次數(shù)，使兩個(gè)方程中y的次數(shù)一樣高，便于消元。

　　這消元的杰出成就再加上開(kāi)方術(shù)解法，就基本上完全解決了多元高次方程的解法問(wèn)題。當(dāng)然，還有一點(diǎn)小小麻煩，方程何時(shí)有實(shí)解？如何判斷？在中國(guó)，這個(gè)問(wèn)題解決得晚。

　　一直到清朝，有汪萊其人研究了這方面問(wèn)題。那時(shí)離宋、元高度發(fā)達(dá)的數(shù)字已有500余年了。宋、元時(shí)代那遙遙領(lǐng)先的中華古算，竟在明代被埋沒(méi)了300多年！至此以后，中國(guó)的數(shù)學(xué)就開(kāi)始從頂峰下滑，從遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先的位置變成大大落后的局面，可惜啊，中華古算！

　　但凡萬(wàn)事萬(wàn)物，總有消就有長(zhǎng)，希臘數(shù)學(xué)也是如此。就在這兩大數(shù)學(xué)體系，另一地方的數(shù)學(xué)成就卻在緩慢上升，最后進(jìn)入快車道，形成完整的現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系。

　　這塊地域在何方何處？如何緩緩上升？又如何快速增長(zhǎng)？

　　欲知后事如何，且聽(tīng)下回分解。