第八回  伽利略說  自然中處處有公式

　　    笛卡爾稱  空間里點(diǎn)點(diǎn)入坐標(biāo)

　　剛剛被計(jì)算機(jī)淘汰出局的對(duì)數(shù)計(jì)算尺，竟是耐普爾400年前的大發(fā)明，震驚歐洲。給近代科學(xué)造型的人，首先都是數(shù)學(xué)家。“科學(xué)產(chǎn)生于用數(shù)學(xué)解釋自然這一信念。”懸賞十萬馬克的問題終于有了“說法”……

　　上回說到，隨著文藝復(fù)興，思想解放，樊籠打破，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的帷幕已徐徐拉開。自此以后400年，即從1600年17世紀(jì)到現(xiàn)如今20世紀(jì)之末，人類在數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造和收獲，不知要超過以往幾千年的多少倍。

　　其實(shí)，就是到19世紀(jì)為止，300年間的收獲頗為可觀，使得今日之?dāng)?shù)學(xué)，分支林立。不用說圈外人對(duì)數(shù)學(xué)方方面面知之不多；就是各個(gè)分支的數(shù)學(xué)家，也是隔行如隔山。

　　但千里之行總由足下起始，讓咱們就從這現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起步開始，看看這以前竟被有些皇上們視為占星之術(shù)的數(shù)學(xué)，是如何成為參天而立枝葉繁茂的大樹的。

　　要說這現(xiàn)代數(shù)學(xué)，一方面是創(chuàng)建了許多新學(xué)科，使用了新的思想新的方法，諸如微積分、解析幾何之類，是為高等數(shù)學(xué)的范疇。

　　而另一方面，則是初等數(shù)學(xué)的完善和嚴(yán)格。那幾何自有古希臘的歐幾里德作得錦繡一般文章，邏輯嚴(yán)密。而代數(shù)一門，卻正是整理整頓的重點(diǎn)，自然，咱們這里說的是初等代數(shù)。

　　前面已說到，代數(shù)要成為獨(dú)立的學(xué)科，符號(hào)化是關(guān)鍵的一著。韋達(dá)在這關(guān)鍵的一著中，也起了一個(gè)關(guān)鍵的作用：方程中的系數(shù)也用字母表示，這樣就能討論一類方程，而不是單個(gè)的方程。

　　所以韋達(dá)定理的得出就不是偶然的了。當(dāng)然，咱們中學(xué)生現(xiàn)在知道的，是一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，而韋達(dá)對(duì)三次方程中根與系數(shù)的關(guān)系也已經(jīng)有了發(fā)現(xiàn)。后人又把這種關(guān)系推廣到了一元幾次方程中去，有了更一般的結(jié)論。

　　在符號(hào)這方面的進(jìn)步一直在進(jìn)行。

　　有兩位英國數(shù)學(xué)家也有一定的貢獻(xiàn)。一位叫哈里奧特（1560—1621），他曾幾乎與伽利略同時(shí)，發(fā)現(xiàn)太陽的黑點(diǎn)，觀察到木星的衛(wèi)星。他按照韋達(dá)的辦法，用元音代表未九，用輔音字母代表常數(shù)；但他改進(jìn)了韋達(dá)的乘冪的記號(hào)。

　　不過笛卡爾給出的都是正整數(shù)冪的表示。現(xiàn)在咱們使用的分?jǐn)?shù)指數(shù)和負(fù)數(shù)指數(shù)的記法，就要?dú)w功于牛頓他老人家啦。

　　用現(xiàn)在這種記法表示乘冪，表示未知數(shù)和系數(shù)，你瞧瞧，多簡單，多明了！實(shí)用的價(jià)值太大了，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響也太大了，不知為什么一直到17世紀(jì)才有個(gè)明白的“說法”，發(fā)展得也太慢了點(diǎn)。

　　不過，現(xiàn)代數(shù)學(xué)可就變成了符號(hào)的科學(xué)。有些人“玩的就是心跳”，咱這數(shù)學(xué)玩的就是符號(hào)�，F(xiàn)在是后浪超前浪，常用符號(hào)已經(jīng)有二百好幾十種了，對(duì)行人看了就好像進(jìn)了“八卦陣”。

　　用了字母和符號(hào)以后，一些數(shù)學(xué)關(guān)系就能用符號(hào)、式子表示出來，既清楚明白，又深刻簡單，重要的是把關(guān)系的本質(zhì)表達(dá)出來了。

　　y=kX，這個(gè)式子咱們都見過，雖然它很簡單，卻反映了許多不同事物的共同本質(zhì)。在計(jì)算路程時(shí)咱們用過它，在那時(shí)，K是速度，X是時(shí)間，Y算出來就是路程了；上商場買東西，K 又變成單價(jià)，X 是數(shù)量，Y 就是總價(jià)錢了。

　　還能有不少的用途，不少的解釋。

　　不同的東西有了統(tǒng)一的反映，多偉大。

　　有了字母和符號(hào)，還能提高運(yùn)算和推理的效率。為什么呢？因?yàn)橛檬阶舆@么一表達(dá)，關(guān)系和量的表示簡單而又突出，只要遵循一定的規(guī)則對(duì)這些式子進(jìn)行變形，就很快能機(jī)械地算，還能代替想。

　　咱們?cè)谛�學(xué)思考應(yīng)用題，多難！在中學(xué)，同樣的問題用立方程解決，真輕松！這不都是用式子的運(yùn)算表代替想了嘛！思維機(jī)械化！

　　代數(shù)依賴于幾何，這種從古希臘開始的認(rèn)識(shí)開始逆轉(zhuǎn)了，這就是韋達(dá)和笛卡爾開始的進(jìn)步。笛卡爾看到了代數(shù)的巨大潛力，他說他是繼韋達(dá)未竟之業(yè)的。

　　笛卡爾甚至認(rèn)為，邏輯上的原理和方法也能用符號(hào)表示，而一切過程就能徹底機(jī)械化了，他把這一想法稱作“通用數(shù)學(xué)”。

　　不過他對(duì)自己的這一想法還比較模糊，沒深入討論。對(duì)此有充分討論的第一個(gè)人是萊布尼茨，咱們不久就要和他見面，暫且不表。

　　萊布尼茨的邏輯推理機(jī)械化思想后來竟成為上世紀(jì)一項(xiàng)大發(fā)明的基礎(chǔ)。

　　但在當(dāng)時(shí)誰又能識(shí)見到其中的了不得，這也是形勢造成的必然結(jié)果。而當(dāng)時(shí)的一些人走的是另一條路，使得計(jì)算大大簡單，成為轟動(dòng)一時(shí)，影響幾個(gè)世紀(jì)的大發(fā)明，這就是對(duì)數(shù)。

　　咱們現(xiàn)在好像是看不出那對(duì)數(shù)的重要了，要做繁雜的四則運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，只要把口袋里的電子計(jì)算器掏出來，鼓搗一番，立馬得結(jié)果。這要在400年前，別說四百年前，就是四十年前，人們都得把你當(dāng)神仙、天外來客來看。

　　三四十年前，搞工程技術(shù)、工程設(shè)計(jì)的人，最好的計(jì)算工具就是一把計(jì)算尺。所以那時(shí)的工程師，人們送給他一個(gè)雅號(hào)：拉計(jì)算尺的人。那時(shí)的計(jì)算尺也分檔次，一把好的計(jì)算尺也要值一二百元，不比現(xiàn)在的一臺(tái)電腦便宜多少（那時(shí)的一百恐怕要值現(xiàn)在的一千吧）。

　　這計(jì)算尺就是根據(jù)對(duì)數(shù)的原理制作出來的。所以正確地說，叫“對(duì)數(shù)計(jì)算尺”。

　　計(jì)算尺雖然趕不上電子計(jì)算器，可在幾百年前，卻也是最快的機(jī)械化運(yùn)算工具。如何算得快，在古代還不十分迫切。到了16、17世紀(jì)的歐洲，工商業(yè)迅速發(fā)展，科學(xué)技術(shù)也蓬蓬勃勃。天文、航海、測繪、造船集中暴露出一個(gè)頭痛的大問題：計(jì)算越來越繁雜，數(shù)據(jù)越來越多。無數(shù)的乘除、乘方、開方、耗費(fèi)了人們大量的極為寶貴的時(shí)間。再說，有些事也等不得你慢慢地用老辦法算啊，比如在大洋中航行的船只，總不能停下來算好經(jīng)緯度后再開航吧！

　　一開始想的辦法跟巴比倫古時(shí)候的辦法一樣，就是造出、編出各種各樣的表格；平方表、立方表、方根表圓面積表三角函數(shù)表等等。但這只不過解決了一點(diǎn)點(diǎn)燃眉之急。

　　在這表格的海洋中，人們就這暈頭暈?zāi)X過了許多年，直到1544年，有一位德國哥尼斯堡（前蘇聯(lián)把它叫做加里寧格勒）大學(xué)的數(shù)學(xué)教授斯蒂費(fèi)爾（1487—1567），在簡化計(jì)算方面走出了重要的一步。

　　斯先生宣布自己發(fā)現(xiàn)了有關(guān)整數(shù)的一種奇妙性質(zhì)，他認(rèn)為：“為此，人們甚至可以寫出整本整本的書……”

　　那么，斯蒂費(fèi)爾發(fā)現(xiàn)了什么呢？原來他把兩個(gè)數(shù)列對(duì)照了一番，對(duì)比了一下：

　　1，2，3，4，5，6，7，9，10．11．……

　　1，2，4，8，16，32，64，128，512，1024，2048……

　　第一個(gè)數(shù)列在下不再多說了，第二個(gè)數(shù)列諸位也能看個(gè)大概，就是2的各次乘冪。

　　斯先生驚奇地發(fā)現(xiàn)，如果要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的積，只要在第一行中找到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和所對(duì)應(yīng)的第二行中的數(shù)，就是所求之積。

　　比如要求16×128，可找出，16對(duì)應(yīng)4，128對(duì)應(yīng)7，4＋7=11，11對(duì)應(yīng)的是2048，這就是16×128的積。

　　斯蒂費(fèi)爾得到一個(gè)重要結(jié)論：通過這樣的表，可以把乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算！用現(xiàn)在的話來說，就是用了這么條對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

　　斯蒂費(fèi)爾離偉大的發(fā)現(xiàn)只有一層窗戶紙了，只要輕輕一捅，那么他的聲名可就要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過現(xiàn)在。

　　斯先生究竟是什么問題，使得自己沒有摘取發(fā)現(xiàn)的桂冠呢？原來他對(duì)自己的表格老有一個(gè)想不開的問題：16×128是可以輕易得手了，但像16×102卻找不到位置，無法用他的表進(jìn)行運(yùn)算。

　　正當(dāng)斯蒂費(fèi)爾感到智窮力竭之時(shí)，蘇格蘭的愛丁堡誕生了一位杰出人物，耐普爾（1550—1617），對(duì)數(shù)發(fā)明的金牌得主。

　　耐普爾出生在名門貴族，天資聰穎，才思敏捷，10歲入圣安德魯斯大學(xué)學(xué)習(xí)，算是少年大學(xué)生了，16歲出國留學(xué)。公元1571年，耐先生學(xué)成歸國，深為研究天文、數(shù)學(xué)、機(jī)械時(shí)的復(fù)雜計(jì)算而苦惱。冥思苦索，終于在對(duì)數(shù)的發(fā)明上捅破了最后一層窗戶紙，跨出了有歷史意義的一步。

　　說起也很簡單，耐普爾只不過是讓任何數(shù)都找到了它的對(duì)應(yīng)者。也就是相當(dāng)于在上面的表中，密密麻麻地插進(jìn)許多中間值，這么一來，大事成矣。

　　1594 年，耐普爾開始精心編制可供實(shí)用的對(duì)數(shù)表。經(jīng)過 20 年的苦戰(zhàn)，一本厚厚的200多頁的八位對(duì)數(shù)表終于誕生了！耐普爾在1614年發(fā)表了《奇妙的對(duì)數(shù)法則的說明》這本書，論述了對(duì)數(shù)的性質(zhì)，給出了對(duì)數(shù)表的使用規(guī)則和實(shí)例。

　　耐普爾用20年的光陰，換來了人世間無數(shù)生命的延續(xù)。耐普爾的驚人發(fā)明被整個(gè)歐洲熱心地采用。被繁雜計(jì)算弄得頭昏腦脹的天文學(xué)界，簡直要為這個(gè)發(fā)現(xiàn)沸騰起來了，那激動(dòng)，那贊嘆，那驚喜，不亞于20世紀(jì)的計(jì)算機(jī)發(fā)明。

　　大數(shù)學(xué)家拉普拉斯就認(rèn)為，對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)“以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)者的壽命”。伽里略老先生更是眉飛色舞：“給我空間，時(shí)間及對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙。”要是伽先生知道20世紀(jì)還有計(jì)算機(jī)這一說，那他肯定要?jiǎng)?chuàng)造十個(gè)宇宙了。

　　不過耐普爾的對(duì)數(shù)概念與現(xiàn)在從指數(shù)式引入是不相同的。先有對(duì)數(shù)，后才有指數(shù)概念的清晰表達(dá)，把過程反過來了，倒真是一個(gè)奇跡。

　　耐普爾的對(duì)數(shù)表還不太方便。后來倫敦的一位數(shù)學(xué)教授布里格斯（1561—1631），專程到愛丁堡向這位偉大的對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)者表示敬意。兩人商定，就以10為底，規(guī)定對(duì)數(shù)，這就是今天所說的常用對(duì)數(shù)。

　　由于咱們的記數(shù)是以十為基數(shù)的，這種對(duì)數(shù)在計(jì)算上就有了優(yōu)越性。又花了八年時(shí)間，布里格斯以其全部精力造常用對(duì)數(shù)表，在 1624年終于大功告成，從1至20000和90000到100000的14位常用對(duì)數(shù)表發(fā)表了�，F(xiàn)在的諸位是不大看到對(duì)數(shù)表了�？蓛H僅在十幾年前，書店里還經(jīng)常出售一二十位的對(duì)數(shù)表，厚厚幾百頁。

　　今天，這幾乎已成了歷史的陳跡，“老古董”了，不能不使人發(fā)出滄海桑田之慨！

　　耐普爾的天才和想象力簡直使一些人認(rèn)為他精神不正常。他預(yù)言過將來會(huì)有許多種窮兇極惡的軍事武器，甚至還有圖未的“在水下航行的機(jī)器”——潛水艇。他想象中的戰(zhàn)車很像現(xiàn)在的坦克。

　　當(dāng)然，咱們祖先在這方面的想象更加了不得，姜子牙那會(huì)兒就有習(xí)來飛去的寶物在空中拼個(gè)你死我活，大大超過今天的“愛國者導(dǎo)彈”。

　　耐普爾的小聰明也不少。鄰居家的鴿子很使他心煩，他就跟鄰居說，如果再把鴿子亂放，咱哥們可就對(duì)不住，要沒收了。鄰居笑他一笑說：要能抓住請(qǐng)老哥別歇著。他們認(rèn)為耐普爾沒那份能耐。

　　哪知第二天，鴿子都在耐先生的大袋里了。原來這位“能耐先生”略施小計(jì)，在自家的草坪上撒上了用酒滄過的豌豆，鴿子吃了，都成了酒中仙，來了次“太白醉酒”。

　　這對(duì)數(shù)的發(fā)明還有一位并列第一名，就是瑞士的鐘表匠比爾吉（1552——1632）。比爾吉完全獨(dú)立地造出了對(duì)數(shù)表，在 1620年，晚耐先生六年，發(fā)表了他的成果。比爾吉在業(yè)余時(shí)間建立若大功勛，令人贊嘆，更加不易。

　　其實(shí)，耐普爾在運(yùn)算機(jī)械化方面，還有一項(xiàng)現(xiàn)在被看作古董，當(dāng)年可是風(fēng)頭出足的大發(fā)明——耐普爾計(jì)算尺。但是諸位可千萬別把它和對(duì)數(shù)計(jì)算尺弄混了。雖然對(duì)數(shù)計(jì)算尺跟耐先生也大有關(guān)系，只是它根本不同于咱們?cè)谶@介紹的耐普爾計(jì)算尺。

　　要說耐氏算尺，還得從15、16世紀(jì)流行歐洲的“格子算”談起。這種算法主要用來計(jì)算多位數(shù)乘多位數(shù)。比如，318×589，就把318寫在頂端，589寫在右側(cè)，豎寫。

　　然后打上3×3個(gè)方格子，在每個(gè)方格子里打上斜線。相乘時(shí)，逐位進(jìn)行，所得數(shù)的十位寫在方格中斜線的上方，個(gè)位寫在下方。諸位看圖便知端的。這種算法中，不必先考慮是從低位還是從高位算起。但是在把各部中間結(jié)果相加的時(shí)候，得從低位的結(jié)果加起，按斜格子相加。本題的結(jié)果就是318×589=187302。要不是印起來麻煩，還要打格網(wǎng)，恐怕現(xiàn)在還在用它。

　　這是現(xiàn)在筆算的一種早期形式，和現(xiàn)在筆算乘法的算理是一樣的。在法國，又叫“百葉窗”算法。

　　其實(shí)，這種算法最早起源于印度。大約在十或1l世紀(jì)，不過不是這種樣子，被阿拉伯人采用。改造成所謂“格子算”，是后來傳到西歐的事了。

　　這種算法在15世紀(jì)傳入我國，給起了名叫“寫算”，大概是與我國一直流行的“籌算”相區(qū)別吧。這是明朝的吳敬在《九章算法比類大全》里，所用的名字。后來，程大位（1533—1606）在《算法統(tǒng)宗》里給它起了個(gè)中國特色的新名稱：鋪地錦。

　　你看，那橫豎交錯(cuò)、斜線穿插的圖形，像不像編織的一幅錦緞？咱們自己也不妨識(shí)一識(shí)。

　　這種在歐洲非常流行的算法雖然很好用，但是打格子畢竟麻煩。耐普爾在1617年，發(fā)表了《尺算法》，介紹了他又一項(xiàng)發(fā)明，那就是耐氏算尺了。

　　這種算尺發(fā)明不久，在明末，又傳入了我國，就改了個(gè)中國名，叫“算籌”了。當(dāng)然與古代的那些沒刻度的小棒棒是完全不同的。為了區(qū)別，在人把它叫做耐普爾籌。至今在故宮博物院還有珍藏。

　　要做乘法的話，比如還是318×589，那就把3號(hào)、l號(hào)、8號(hào)籌拿出來，拼合在一起，按第五行、第八行、第九行的斜線相加，就得結(jié)果了，和格子算法是完全一樣的。

　　所以，這耐普爾算尺只不過把格子算法里填格子的任務(wù)事先做好了，沒什么大花樣。但是，咱們不禁要問一句，這么簡單的想法、改進(jìn)，為什么只有耐先生一人想到呢？

　　許多風(fēng)靡一時(shí)影響至今的發(fā)明：吉列剃須刀，回形針，拉鏈，鈕扣，原理都不復(fù)雜，比常人的想法也往往只多那么簡單的一步。看來關(guān)鍵在于想與不想，而不在于簡單和復(fù)雜。不去想，再簡單的一步也出不來啊。

　　話說到這，在下倒想插入一段中國的事。幾乎與耐普爾同時(shí)，中國也有一位頗有影響的數(shù)學(xué)家，叫程大位。

　　程大位在《算法統(tǒng)宗》里，給“格子算”起了個(gè)很富文學(xué)色彩的名字“鋪地錦”。不過這本最主要的還是介紹珠算，能算得上珠算大全吧。

　　這本書一共是17卷，595個(gè)應(yīng)用問題，所有的計(jì)算都用珠算，當(dāng)然有珠算的口訣，還有口訣的應(yīng)用。其中的開平方、開立方珠算方法則是由程大位首先提出的。

　　《算法統(tǒng)宗》十分受歡迎。明清兩代不斷翻刻，“風(fēng)行宇內(nèi)”，“莫不家藏一編”，影響之大，在中國數(shù)學(xué)史上是少見的。

　　這珠算的發(fā)明和應(yīng)用是和當(dāng)時(shí)中國的商業(yè)活動(dòng)的繁榮分不開的。咱們中國搞計(jì)算，一直是籌算，把算籌擺了一地來算帳，多不方便！這樣，珠算就發(fā)明了。

　　算盤到底是什么時(shí)候在中國出現(xiàn)的，由什么人發(fā)明的，現(xiàn)在已不大清楚了。不過，至少是在元朝末年，14世紀(jì)左右的事情。

　　中國古算，到宋元四大家發(fā)展到高峰，做出了“大衍求一術(shù)”、“天元術(shù)”、“四元術(shù)”這些世界第一的成績以后，到明朝程大位那會(huì)兒，已經(jīng)是停滯不前開始落后了。

　　當(dāng)然，那珠算的發(fā)明還是了不得的功績，一直到如今，珠算仍然在全球都很影響，尤其在日本更是如此。這與程大位的那本《算法統(tǒng)宗》傳到日本，是分不開的。而那耐普爾算尺，現(xiàn)在是真正的古董了，沒多少人知道，更沒有人用，怕是速度趕不上算盤吧，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。

　　算盤就說到這里，請(qǐng)大家再隨我回到歐洲。

　　且說此時(shí)此刻，歐洲真正進(jìn)入了一個(gè)英雄世紀(jì)，大家群起，人才迭出，很有些像希臘時(shí)代和中國的宋元之際。

　　這英雄的10世紀(jì)，大致可分為兩個(gè)主要時(shí)期：1670年之前和1670年之后。前一時(shí)期最著名的人物有意大利的伽利略、德國的天文學(xué)家開卜勒，法國的費(fèi)爾馬、笛卡爾、德沙格、帕斯卡。所有這些人都對(duì)微積分的發(fā)展作了準(zhǔn)備工作。而1670年后不久，朱頓、萊布尼茨相繼創(chuàng)建了微積分。

　　微積分的發(fā)明真正使數(shù)學(xué)進(jìn)行了一次脫胎換骨，研究常量為主的初等數(shù)學(xué)的歷史基本結(jié)束了，人類從此進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的時(shí)代。

　　咱們一切還是從伽利略、開卜勒開始。有人說他們都是物理學(xué)家、天文學(xué)家，至多不過是用用數(shù)學(xué)，難道還真有什么大的貢獻(xiàn)？值得咱們?cè)谶@本書里和他們碰碰面？

　　實(shí)際上，那位意大利大物理學(xué)家伽利略（1564—1642），他干的差事，按照現(xiàn)在的說法，他的職稱，一直是位數(shù)學(xué)教授。伽利略是個(gè)破了產(chǎn)的佛羅倫薩貴族的兒子，一開始他學(xué)醫(yī)，“不為良相則為良醫(yī)”。

　　他在比薩大學(xué)學(xué)醫(yī)時(shí)，有幾次到大教堂禱告，就觀察到一個(gè)別人熟視無睹的現(xiàn)象：大教堂的大掛燈來回?cái)[動(dòng)的周期與擺動(dòng)的幅度大小無關(guān)。當(dāng)時(shí)沒有計(jì)時(shí)的手表，想必他是搭著自己的脈來計(jì)時(shí)的吧。

　　后來他父母親也同意他改換門庭，去研究科學(xué)和數(shù)學(xué)。二十五歲時(shí)，伽先生被聘任為比薩大學(xué)數(shù)學(xué)教授。據(jù)說在這期間，他就在那有名的斜塔上做了個(gè)有名的實(shí)驗(yàn)，證明和亞里士多德講的相反，重物體并不比輕物體降落得快。伽先生得到這么一條定律：不管物體是重還是輕，其下落的距離與下落時(shí)間平方成正比。這也就是咱們現(xiàn)在所常常說的自由落體公式

　　其實(shí)，伽利略可能根本就沒有爬上過比薩斜塔去拋什么彩球。他自己這么說過，他是這樣考慮問題的：

　　要去考慮無窮多個(gè)不同的重量，不同的形狀的物體是怎么降落的，是不可能的�？墒强匆豢床煌�的物體在空氣降落的速度，和在水里下降的情況就不一樣了。在空氣里下降，幾乎能同時(shí)落地；在水里下降，不同的物體差異可就大了。

　　“當(dāng)觀察到這點(diǎn)之后，我就得出結(jié)論：在一個(gè)完全沒有阻力的介質(zhì)中，所有物體以同一速度降落。”因此，伽利略是在做了仔細(xì)的觀察之后，抽出了最主要的東西，在自家的腦袋里做了這么一次理想的實(shí)驗(yàn)。真空條件，到哪里找？只有腦子里才能構(gòu)成這么一個(gè)實(shí)驗(yàn)場所。

　　當(dāng)然，實(shí)際的物體是在有阻力的場所中落下的，對(duì)于這些，伽利略是怎么說的呢？他的回答是：“……因此，為了科學(xué)地進(jìn)行處理，必須割掉這些困難（空氣阻力，摩擦力等等），在無阻力的情形下，發(fā)現(xiàn)并且證明這些定理之后，再按實(shí)際經(jīng)驗(yàn)所給予的限制來應(yīng)用這些定理。”

　　他這么想，正像一個(gè)數(shù)學(xué)家干的事了。數(shù)學(xué)家從線上，去掉分子的構(gòu)造，去掉顏色和厚度，而得到了線的基本性質(zhì)，然后就集中研究這些性質(zhì)。咱們不是給大伙說過嘛，幾何上的線、面、體，實(shí)際中哪里去找？只存在于你的腦袋里，你的抽象思維之中。

　　數(shù)學(xué)的抽象方法確實(shí)離開了現(xiàn)實(shí)，但是說也奇怪，當(dāng)回到現(xiàn)實(shí)時(shí)，它卻比所有因素都考慮進(jìn)去更為有力！伽利略正是這樣一位用數(shù)學(xué)方式、數(shù)學(xué)思想研究問題的科學(xué)家。

　　不但如此，伽利略在研究自然時(shí)，更是把著重點(diǎn)放在描寫自然，用公式去說出規(guī)律。

　　這可與那時(shí)傳統(tǒng)的方法、亞里士多德的研究方法、看問題的方法不大一樣了。那中世紀(jì)的教會(huì)對(duì)希臘的學(xué)說根本就是絕對(duì)排斥，不過對(duì)亞里士多德先生卻情有獨(dú)鐘，奉若神明。亞里士多德那嚴(yán)密的邏輯，說的頭頭是道。他總是喜歡強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)事物的終極原因。不管有沒有實(shí)際的根據(jù)，反正是把那看起來是對(duì)的“終極原因”先提出來，然后推理一番，得出一個(gè)完整的體系。

　　所以教會(huì)拿他當(dāng)護(hù)法大師來供可就是一點(diǎn)也不奇怪了。伽利略同時(shí)代的人還是如此。

　　比如說，球?yàn)槭裁聪侣�？亞里士多德說是因?yàn)樗�有重量；那它為什么又只落在地上，那是因�(yàn)槿问裁次矬w都要找到它的“自然位置”，而重物的“自然位置”，就是地球的中心。亞先生這么一說，算是把球下落的“終極原因”找出來了，他自認(rèn)為很圓滿。重的東西為什么下落得快？亞先生的解釋是重的有更快地回到它的自然位置的本性。

　　你現(xiàn)在瞧瞧這一切覺得挺可笑，可那時(shí)大部份人都把這當(dāng)回事，覺得是個(gè)很神圣很自然的回答。

　　伽利略完全不同，他堅(jiān)持用公式來說明一切，用“量”的精確代替“質(zhì)”的含糊。

　　公式，只是描寫，不是解釋。

　　用數(shù)學(xué)家的頭腦去研究物理、力學(xué)，這就是伽利略成功的原因。這就是一種科學(xué)方法的出現(xiàn)和創(chuàng)造首先是用抽象的眼光看世界，得出最本質(zhì)的；而后再用數(shù)學(xué)公式對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行描繪。今天咱們對(duì)這一套是太熟悉了，是科學(xué)的方法，也是研究科學(xué)的方法�？墒窃谫だ�略時(shí)代，真算得上石破天驚呢。

　　大師說過，我之所以看得遠(yuǎn)一些，是因?yàn)槲艺驹诰奕思绨蛏系木壒省ＥｎD之所以成為巨人，也正是站在了伽利略的肓膀上，全盤接受了他的那套科學(xué)方法。

　　牛頓還說，在自然事物研究中，近代人則排除物體的形式和玄妙的質(zhì)，努力把自然現(xiàn)象放在數(shù)學(xué)的控制之下。他的科學(xué)名著就叫做《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。

　　伽利略、笛卡爾、惠更斯、牛頓，還有哥白尼、開卜勒，這些為近代科學(xué)造型的人，都是以數(shù)學(xué)家的身份去探索自然的。“科學(xué)產(chǎn)生于用數(shù)學(xué)解釋自然這一信念”。科學(xué)，被數(shù)學(xué)化了。

　　伽先生在比薩大學(xué)竭力攻擊亞里士多德的科學(xué)，年輕氣盛，發(fā)表起看法見解毫不遲疑。那比薩大學(xué)也是知識(shí)分子成堆，腦袋都還長在亞里士多德的肩膀上，對(duì)伽利略自然是百般挑剔，看不上。

　　那時(shí)他已經(jīng)開始寫出重要的數(shù)學(xué)論文，一些能力差的人挺忌妒，留短飛長。一氣之下，伽利略決定跳槽。第二年，1592年，他又接到了帕多瓦大學(xué)的聘書，依然是數(shù)學(xué)教授。那里有比較自由寬松的環(huán)境。

　　在那里，他寫了一本《力學(xué)》，繼續(xù)他的實(shí)驗(yàn)，當(dāng)然還得教教書，一晃就是18年。在這期間，大約是1607年，就是在帕多瓦，他聽到荷蘭磨透鏡工人里珀沙姆發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，就自己動(dòng)手做了一個(gè)放大30倍的望遠(yuǎn)鏡。

　　這人類歷史上有意義的第一望，簡直令伽利略也吃驚得合不攏嘴：那平常姣潔無瑕的月亮竟然是坑坑凹凹的麻婆，慘不忍睹；原來看起來是個(gè)光棍漢的木星（九四大新聞之明星），卻早已成家業(yè)，拖兒帶女，有四個(gè)衛(wèi)星繞著它轉(zhuǎn)悠。

　　伽利略這一望，給哥白尼的“日光說”以有力的支持，望出了大名堂。盡管他離開帕多瓦大學(xué)后，受一位大公爵的保護(hù)，在佛羅倫薩任宮廷首席數(shù)學(xué)家，可也觸怒了羅馬教會(huì)。

　　終于在1633年，他的傳世名作《關(guān)于兩大世界體系的對(duì)話》出版后，第二年，羅馬教庭再次傳喚他去。在刑具威逼之下，強(qiáng)迫他放棄“日心說”。教廷現(xiàn)在對(duì)這次審判很害羞地平了反。他被軟禁起來，禁止發(fā)表著作。但是思想是禁止不住的，他的《關(guān)于兩門新科學(xué)的探討和數(shù)學(xué)證明》寫好后，秘密運(yùn)到荷蘭，于1638年出版。

　　牛頓的“數(shù)學(xué)原理”，伽利略的“數(shù)學(xué)證明”。都說明數(shù)學(xué)在開辟現(xiàn)代科學(xué)時(shí)的舉足輕重。數(shù)學(xué)，是現(xiàn)代科學(xué)的開山巨斧，思想銳器，科學(xué)家們的精神支柱。

　　伽利略在這篇名著中，還第一次探討了無限的世界。他在書中說了這樣一番話：

　　“平方數(shù)的個(gè)數(shù)不小于所有數(shù)的總數(shù)；所有數(shù)的總數(shù)也不大于平方數(shù)的個(gè)數(shù)。”所有數(shù)，就是所有的自然數(shù)；平方數(shù)，指的是自然數(shù)的平方。不知同學(xué)們可解其中之味、話中玄機(jī)。要知道，這短短兩句話，真是亙古未有之論，暫且留給大家慢慢消受領(lǐng)悟一番，待等到與康托大師見面時(shí)，再提不遲。

　　伽利略的大作中，唯獨(dú)沒有提到開卜勒那著名的行星運(yùn)動(dòng)三定律，看來伽先生也挺妒忌開卜勒的偉大發(fā)現(xiàn)。

　　比起伽利略來，開卜勒可不太走運(yùn)。

　　開卜勒（1571—1630）出生于德國的一個(gè)小城市。老爸是個(gè)酒鬼。先當(dāng)兵，后來就開酒館，開卜勒從小就得當(dāng)酒保。老天爺對(duì)這孩子也太不照顧，小開卜勒不幸得了天花，后來就落下了殘疾，眼神也不濟(jì)。

　　盡管如此，他還是進(jìn)圖賓根大學(xué)學(xué)習(xí)，這是培養(yǎng)教士的，開卜勒原先很想在教會(huì)吃口安穩(wěn)飯。

　　后來，有一位跟他關(guān)系不錯(cuò)的數(shù)學(xué)和天文教授，私下里教他哥白尼的“日心說”理論，使他對(duì)天文學(xué)大感興趣。圖賓根大學(xué)的頭，看他對(duì)教會(huì)有些不地道，就在1594年，打發(fā)開卜勒去奧地利的格萊茨大學(xué)任教。

　　這在開卜勒倒是件好事，在那里有一位著名的宮廷天文學(xué)家，是魯?shù)婪蚨�世的御前占星師。開卜勒就跟著他當(dāng)助手，天天夜觀天象，主要是行星運(yùn)動(dòng)的研究。后來這位老師去世了，開卜勒就接替了這個(gè)老師的位置，也要為魯?shù)婪蚨�世算算命�?/p>

　　為皇帝算命，開卜勒也是沒辦法，只好認(rèn)了。好在占星術(shù)有助于謀生，也是當(dāng)天文學(xué)家研究行星運(yùn)動(dòng)的好借口，他也覺得自得其樂了。

　　開卜勒從老師那兒接受了大量的行星運(yùn)動(dòng)的觀察資料，進(jìn)行了大量的計(jì)算。那時(shí)耐普爾的對(duì)數(shù)還沒有發(fā)表，就差那么幾年，沒那份福氣享受神奇的發(fā)明。所以就只好啃哧啃哧慢慢算，不過比他的歐洲前輩好多了，總算有了十進(jìn)制小數(shù)，又有了“格子算法。”

　　經(jīng)過反復(fù)的試驗(yàn)，多次的失敗，他終于在1609年發(fā)表了行星運(yùn)動(dòng)的前兩條定律。十年后，又接著來了條第三定律：

　　1．行星繞著太陽在橢圓軌道上旋轉(zhuǎn)，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

　　2．連接行量與太陽的線段，在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過相等的面積。

　　3．一個(gè)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期的平方，與橢圓軌的長半軸的立方成正比。

　　這些定律都是在大量的數(shù)據(jù)中總結(jié)歸納出來的，和伽利略的那種理想的實(shí)驗(yàn)，大膽的假設(shè)的有些不同。當(dāng)然伽利略也不僅僅是用一種方法。

　　開卜勒要比哥白尼更革命，更大膽。當(dāng)然在采取“日心說”這一點(diǎn)上他們是相同的。開卜勒的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓，行星的運(yùn)行速度也不是勻速的。這些都和傳統(tǒng)，和哥白尼的認(rèn)識(shí)不大相同。“日心說”更加可靠、令人信服了。

　　因?yàn)槿绻�按哥白尼一開始提出的一套方案，實(shí)際觀察的結(jié)果也并不比“地心說”好多少呢。

　　當(dāng)然，即使經(jīng)過了開先生的工作，地球繞著太陽轉(zhuǎn)在那時(shí)還是叫人想不通，想不通的人還都是些知識(shí)分子。比如地球自轉(zhuǎn)，那為什么扔一個(gè)東西到空中，還是落到原地，而不是落到西邊一點(diǎn)的地方呢？如此等等，有的問題還挺專業(yè)。

　　對(duì)所有這些，哥白尼和開卜勒都只用了一句話來回答：咱這么做，數(shù)學(xué)上更簡潔。上帝設(shè)計(jì)世界當(dāng)然要來用更優(yōu)秀更簡潔更優(yōu)美的理論啦。“上帝是最好的數(shù)學(xué)家。”

　　開卜勒1619年那篇關(guān)于第三定律的著作，就叫《世界的和諧》，表達(dá)了對(duì)上帝數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的偉大所表示的由衷欽佩。

　　所以一開始只有數(shù)學(xué)家支持日心論是不奇怪的。只有數(shù)學(xué)家，而且只有相信宇宙是按數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)家，才能打破樊籠第一關(guān)，把科學(xué)建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上，盡管還會(huì)時(shí)時(shí)出現(xiàn)上帝的身影。

　　為了得出行星運(yùn)動(dòng)第二定律，開卜勒當(dāng)然要計(jì)算橢圓的面積。那時(shí)候微積分還沒有創(chuàng)立，他所采取的是比較原始的分割、近似、相加求和的思想。開卜勒還用這國法去求出許多幾何體的體積。這實(shí)際上是一種粗糙的微積分方法，所以開老先生也是微積分的前驅(qū)者之一。

　　他老人家是在見到當(dāng)時(shí)的酒桶體積計(jì)算很拙劣時(shí)，發(fā)生了這方面的興趣。這也許與他早年當(dāng)酒保的工作有關(guān)吧。

　　開卜勒是偉大的，可是他的個(gè)人生活卻十分不幸。他經(jīng)常受天主教的各種迫害，老娘被認(rèn)為是巫婆，第一個(gè)妻子瘋了，而最喜歡的兒子又死于天花。據(jù)說，他的第二個(gè)妻子更沒給他帶來什么好運(yùn)。他的工資還經(jīng)常被拖欠，看起來那位魯?shù)婪蚨�世也是不咋的�?630年，他去領(lǐng)取拖欠已久的工資，走在半道上就去世了。這在今天，恐怕要上“焦點(diǎn)時(shí)刻”了。

　　他給上帝尋找到“世界的和諧”，上帝對(duì)他卻太不和諧了。下面咱們?cè)賮砜纯瓷系蹖?duì)待另一位天才人物帕斯卡究竟如何。

　　帕斯卡大家非常熟悉，中學(xué)物理的第一冊(cè)就有帕斯卡定律，那是他 23歲時(shí)的發(fā)現(xiàn)。不過他最大的貢獻(xiàn)是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

　　他被公認(rèn)為數(shù)學(xué)史上的神童，1623年出生在法國克勒芒。上帝給了他一個(gè)早熟的腦袋，不過身體一直不好，1662年就去世了。短暫一生放出的光芒卻照射了人類幾百年。

　　他的父親也是一位數(shù)學(xué)家，覺得孩子太小不能知道得太多，甚至把數(shù)學(xué)修書全都藏了起來。不料越不讓他學(xué)，那小帕斯卡就越覺得神秘好奇，小小年紀(jì)，就發(fā)現(xiàn)了平面幾何的許多定理，比如三角形的內(nèi)角和定理。

　　帕斯卡的老爸大為感動(dòng)，14歲時(shí)，就帶他參加每周一次的法國數(shù)學(xué)家聚會(huì)，科學(xué)沙龍。后來這科學(xué)沙龍就成了法國科學(xué)院的胚胎了。那參加沙龍的人物也都大名鼎鼎，笛卡爾，費(fèi)爾馬，德沙格，還有后來的科學(xué)院院長梅森。

　　16歲，1636年，這位神童發(fā)現(xiàn)了一條名垂青史定理：

　　若一個(gè)六邊形內(nèi)接于一條圓錐曲線，那么每兩條對(duì)邊相交而得的三點(diǎn)在同一直線上。咱們從下面的圖可以看得很清楚。

　　■

　　16歲的帕斯卡是這么想問題的：

　　首先，這條定理對(duì)圓是成立的，完全可以證出來。那么，如果把圓變換成其他圓錐曲線，比如，像拋物線、橢圓、雙曲線，問題不就解決了嗎？帕斯卡正是這么做的，變換的方法就是“射影”。說句通俗點(diǎn)的，就是打幻燈片。要是諸位有興趣，不妨試一試，在一塊玻璃板上一畫上圓和內(nèi)接六邊形，然后用點(diǎn)光源（就是發(fā)光的光源最好像個(gè)點(diǎn)，不能是電棒），往玻璃后面一照，那么墻上就有圖形的射影。

　　下面就看你的屏幕（墻）與玻璃塊是個(gè)什么關(guān)系了。如果兩者平行，那么投影還是圓；如果不平行，就是橢圓，或者是其他圓錐曲線。當(dāng)然，那直線不管你怎么照射，得出來的永遠(yuǎn)是直線，直線上的點(diǎn)自然也不會(huì)被射到線外去。這樣，六邊形還是六邊形，只不過形狀有些變化，而那個(gè)結(jié)論當(dāng)然也是成立的。

　　這可是一種很先進(jìn)的思想，就是讓圖形從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀。而在這種連續(xù)變換中，哪些東西會(huì)變，哪些又不會(huì)變，是個(gè)十分重要的問題。

　　比如咱們剛剛做的投影變換，不變的是直線；變的是圓。而圓在這種變換中，又只能變成其他一些圓錐曲線。

　　一門新的學(xué)科就這么產(chǎn)生了，它叫射影幾何。它著重于圖形的位置和相交方面的性質(zhì)，而不是像歐氏幾何那樣，著重考慮圖形量的方面的性質(zhì)。不過，帕斯卡的這一輝煌成果，竟引起了許多人的懷疑，不相信這是一個(gè)16歲孩子的思維，而認(rèn)為是帕斯卡父親捉筆代刀。但是帕斯卡三年后，又發(fā)明了第一架機(jī)械計(jì)算機(jī)，能自動(dòng)從個(gè)位進(jìn)到十位，從低位進(jìn)到高位，有點(diǎn)像現(xiàn)在電表里的那個(gè)計(jì)數(shù)盤。

　　接踵而來的一系列成就，更使人驚嘆不已。31歲那年，他又對(duì)賭博時(shí)兩個(gè)賭徒如何分賭全的問題有了濃厚興趣。這個(gè)分賭金的問題，卡當(dāng)和塔爾塔里亞也都考慮過，沒有進(jìn)展。那位卡當(dāng)還為此寫一本書。帕斯卡在朋友的鼓勵(lì)下決定一試身手，他把自己的解法告訴費(fèi)爾馬，兩人不謀而合，想的都對(duì)。又一門新的學(xué)科，概率論就這樣起步了。

　　帕斯卡在考慮概率時(shí)，要討論從幾件東西中，取r件，一共有多少可能的情況。這樣，他就又得出了舉世聞名的帕斯卡三角形。這種由數(shù)字一層一層疊起來的三角形咱們前面就說過，叫賈憲——楊輝三角形，咱們中國要比他早500年了，“五百年前是一家”。

　　不過，帕斯卡那條著名的內(nèi)接六邊形定理倒確實(shí)受過高人啟發(fā)。那就是他的同僚德沙格（1591—1661），射影幾何的另一位奠基者。

　　畫家們畫畫要講透視，實(shí)際上也就是圖形的投影；此外，如何把地球睥圖投射成一個(gè)平面的地圖，這里面也很有學(xué)問。射影幾何就這么提上了日程。當(dāng)然那時(shí)沒有這四個(gè)字的名稱。

　　德沙格先是位陸軍軍官，后來又成了一名工程師，建筑師。他通曉阿波羅尼斯圓錐曲線的著作，總想來一個(gè)新招，不是一個(gè)一個(gè)的證明圓錐曲線的定理，而是歸歸類，證它一批。新招終于被他發(fā)現(xiàn)了！這就是前面所說的投影的方法，看看圖形在這樣的連續(xù)變換下，什么性質(zhì)會(huì)變，什么又不在變。

　　德沙格就教帕斯卡民用這種高招，能把圓錐曲線的許多問題簡化成數(shù)幾個(gè)基本命題。而帕斯卡這么一試，果真靈驗(yàn)，這樣就有了那帕斯卡的“神秘的六邊形”定理。要知道，這定理的推論就有400多個(gè)呢！

　　不過德沙格本人卻不太走運(yùn)，甚至還招來許多抨擊。連笛卡爾也寫信給他，說你那磋商方法搞不出什么新名堂。但是當(dāng)?shù)芽�爾老人家看到了德沙格的證明后，又馬上推崇備至，高！

　　德沙格把他的射影法寫成一本書，印成50份，送給他的朋友。朋友們可能都心不在焉，書都弄丟了。直到1950年，在巴黎國立圖書館才發(fā)現(xiàn)了一本，孤本。

　　那么他的朋友們?yōu)槭裁从侄夹牟辉谘赡�？笛卡爾又為什么一開始說他弄不出什么名堂呢？原來，當(dāng)時(shí)笛卡爾正在用代數(shù)的方法來研究幾何，收獲不小，大伙的焦點(diǎn)一起盯在了這兒。用代數(shù)方法研究幾何，把幾何圖形用代數(shù)方程表示出來，通過對(duì)方程的研究和變換來掌握?qǐng)D形，這個(gè)好主意可不是人人都能想到的。

　　想了幾千年，也沒有人能想到一招，卻被一位青年軍官“南柯一夢”得出了結(jié)果，成了現(xiàn)如今被稱為解析幾何這一門的鼻祖。

　　話說這笛卡爾出生于1596年，法國的一個(gè)名門望族。小時(shí)候身體不好，早上要睡睡懶覺。后來養(yǎng)成習(xí)慣，那早晨的懶覺，變成了想問題出成果的好時(shí)光。他自己也說過，大部分東西是在床上想出來的，特有靈感。

　　這恐怕是正中同學(xué)們下懷，睡懶覺有了好理由。不過大家要睡請(qǐng)各自方便，出不了成果可別怨笛卡爾先生沒教睡法大全。公雞孵不出小雞別怨雞窩不好。

　　再說笛卡爾20歲大學(xué)畢業(yè)，就去巴黎當(dāng)律師，曾和前面提過的梅森在一塊研究研究數(shù)學(xué)。過了一年，1617年，這位貴公子心里靜不下來，忽然從了軍，當(dāng)了兵。真有點(diǎn)安邦治國建功立業(yè)的大志，橫刀立馬叱咤風(fēng)云的氣派。

　　這兵一當(dāng)就是九年，有時(shí)還逛逛巴黎，狂歡作樂一番，來點(diǎn)公子哥的小脾氣。但他一直研究數(shù)學(xué)。一次在荷蘭布萊達(dá)，看到大街上貼招賢榜，圍觀的人議論紛紛，對(duì)那榜上的幾道數(shù)學(xué)題沒法下招。笛卡爾揭下此榜，很快解決。這使他自信自己的數(shù)學(xué)才能，從此靜下心來鉆數(shù)學(xué)。

　　不過笛卡爾最有興趣的，還是研究科學(xué)和尋求真理的一般方法。人們說他是近代第一個(gè)杰出的哲學(xué)家。同時(shí)他對(duì)整個(gè)自然界都在探索，力學(xué)的、光學(xué)的、生物的實(shí)驗(yàn)，他做了許多，是第一流的物理學(xué)家。

　　也不知怎么，一不留神成了個(gè)數(shù)學(xué)家。倒有點(diǎn)像現(xiàn)如今有些寫書的朋友說過的，一不留神能鬧出本紅樓夢來。

　　所以他就開始尋找這種一般的方法。但他不久就斷定邏輯本身是無結(jié)果的，“與其能用來探索未知的東西，不如說用來交流已知的東西”。

　　就這么找來找去，據(jù)他自己說，在 1619年11月10日，多瑙河旁的一座軍營里，躺在床上的他思維這么一聚焦，立刻悟出了這種方法，這就是數(shù)學(xué)方法。“眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈光闌珊處。”

　　據(jù)說那天晚上他躺在床上久久不能入睡，望著天花板發(fā)呆。突然看到一只蒼蠅在天花板上爬來爬去畫曲線，這條曲線到底怎么個(gè)表示？如何描繪？一時(shí)間倒有些摸不著頭。再想想那飛逝的流星，飛奔的駿馬，不都在畫著曲線嗎？

　　昏昏然入了夢鄉(xiāng)，好像看見那蒼蠅還在爬，和那相鄰兩墻的距離也是一會(huì)大些，另一會(huì)小些。有門了！靈感來了！他頓時(shí)領(lǐng)悟到，要是知道蒼蠅與兩墻之間的距離關(guān)系，不就能描繪蒼蠅的路線嗎？

　　這故事雖然有點(diǎn)玄乎，但是就是當(dāng)真也無傷大雅，咱們就讓它在似與不似之間吧。

　　那故事里的兩堵墻，看起來就是現(xiàn)在所說的坐標(biāo)系的兩根軸了！X軸和Y軸�，F(xiàn)在這樣一種坐標(biāo)系，就叫做笛卡爾坐標(biāo)系。

　　對(duì)于坐標(biāo)系，咱們不只是在課本里見過面，每個(gè)人周圍都有不少。那影劇院里的座位，地球儀上的經(jīng)緯網(wǎng)，不都是要用兩個(gè)數(shù)，才能表示一個(gè)確定的點(diǎn)嗎？到圖書館找書，每本書的位置也能用第幾排、第幾層、第幾本這三個(gè)數(shù)表示出來。這里用到三個(gè)數(shù)，因?yàn)闀�放在了一個(gè)立體空間中，兩根坐標(biāo)軸不夠了，得添上一根豎起來的，這就叫三維空間。

　　其實(shí)不知大家意識(shí)到?jīng)]有，小學(xué)、初中就知道的數(shù)軸，一根軸，也構(gòu)成了一個(gè)坐標(biāo)系。但是它只能表示直線上的點(diǎn)，用一個(gè)數(shù)就夠了，就叫一維空間。

　　咱們住在單元房，諸葛亮的八卦陣，城市里縱橫交錯(cuò)的道路，無一不是坐標(biāo)系。我們?cè)趯?shí)際運(yùn)用時(shí)，都有意無意地用坐標(biāo)系的語言來說出其中的位置的。

　　有人說了，那城市的街道不標(biāo)準(zhǔn)，不都是橫平豎直的，不相互垂直，怎么還算平面坐標(biāo)系？其實(shí)，平面的坐標(biāo)系不強(qiáng)求你一定要把X軸Y軸互相垂直。你畫斜了試試，看看能不能表示出平面中的點(diǎn)？

　　其實(shí)，只要把平面編成個(gè)網(wǎng)網(wǎng)，把空間隔成個(gè)鴿子籠，不管你編的線怎么彎怎么曲，坐標(biāo)系就被你編成了。就說有無數(shù)多種形形色色的坐標(biāo)系，也是千真萬確的事。

　　咱們要是回到笛卡爾那里去看看，就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，這位解析幾何的老祖宗最初的平面坐標(biāo)系，就是兩根斜交的直線構(gòu)成的，而不是今天在課本里看到的那樣。

　　平面上的點(diǎn)能用一對(duì)有序的數(shù)表示，而平面上的圖形能用方程來描繪，現(xiàn)在的初中生已經(jīng)知道一些了。一次函數(shù)、二次函數(shù)的方程，能在坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的圖形，代數(shù)的語言有了直觀的幾何解釋。

　　而平面上的圓，又能用代數(shù)方程來研究，很清楚地知道了圓心和半徑。代數(shù)，終于從希臘時(shí)代的附庸地位一下子變成了完全獨(dú)立的部門，代數(shù)變得比幾何更重要。

　　不過，笛卡爾老先生倒并沒有把這若大的發(fā)明太當(dāng)回事。那時(shí)候，他把這一套東西都當(dāng)成附錄，附在他的哲學(xué)論著《方法論》的后面，突破附庸的大創(chuàng)造又當(dāng)了一次附庸。

　　《方法論》是笛卡爾居住于荷蘭20年中完成的，那里安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境很適合他的胃口。1649年，瑞典女皇邀請(qǐng)他去講授哲學(xué)。這位年輕的女皇非得要每天早上五點(diǎn)開講，笛卡爾勉為其難，身體不能適應(yīng)，懶覺沒法睡了。幾個(gè)月后，染上了肺炎，不治逝世，終年54。

　　在笛卡爾敘述了解析幾何基礎(chǔ)的同時(shí)，另一位法國數(shù)學(xué)天才費(fèi)爾馬也注意到這門學(xué)科。兩人卷入了優(yōu)先權(quán)之爭。

　　費(fèi)爾馬說，他在1636年給羅伯瓦的一封信中說到，他有這方面的概念已經(jīng)七年了。而 1637年笛卡爾才發(fā)表他的著作。笛卡爾當(dāng)時(shí)已完全知道費(fèi)爾馬的許多發(fā)現(xiàn)，但否認(rèn)他的思想是從費(fèi)爾馬那里來的。

　　沒有知識(shí)產(chǎn)權(quán)法庭斷這件官司，所以就打起了筆仗。羅伯瓦、帕斯卡等人站在費(fèi)爾馬一邊，而米道奇、德沙格站在笛卡爾一邊。一時(shí)間信來信去，爭個(gè)不休。后來就慢慢平息下來。

　　1660年，笛卡爾死后十年，費(fèi)爾馬寫了一篇文章，指出笛卡爾的一個(gè)錯(cuò)誤。但他接著說，他是如此佩服笛大哥的天才，即使有瑕庇，他笛先生的工作甚至比別人沒有錯(cuò)誤的工作更有價(jià)值。

　　費(fèi)爾馬（1601？—1665）確實(shí)要比較謙虛一些。他是一位卑微的律師，業(yè)余時(shí)間就全用在數(shù)學(xué)研究上了。他一輩子發(fā)表的著作不多，恐怕是沒錢自費(fèi)出版，但他和第一流的數(shù)學(xué)家經(jīng)常通信交流。

　　他還有個(gè)僻好，喜歡在書邊上寫注記，許多重要的發(fā)現(xiàn)就這么記著的。

　　他的數(shù)論方面的許多貢獻(xiàn)就是記在一本丟蕃都的書邊上。數(shù)論，是費(fèi)爾馬先生最杰出的工作，奠基者。

　　其中記下了最有名的一個(gè)，就是費(fèi)爾馬大“定理”：不存在正整數(shù)X、Y、
 

　　大家知道，當(dāng)n=2時(shí)，就是勾股定理了，有解，畢氏三數(shù)就是答案。費(fèi)爾馬發(fā)現(xiàn)n=3時(shí)就來了麻煩，所以就有了上面的猜測。費(fèi)爾馬在書邊寫道：“我確實(shí)找到了一個(gè)極妙的證明，但頁邊太窄，寫不下。”

　　看來有沒有證明只能是天知地知了。后來許多數(shù)學(xué)家都尋求這“極妙的證明”而一無所獲。這樣100年過去了，費(fèi)爾馬大“定理”成了著名的世界難題，人類仍然沒能突破。

　　第一次具有歷史意義的突破是在1779年，由歐拉先生做出的，他成功地證明了當(dāng)n=3，n=4的情況。大約在1825年，勒讓德和狄利克雷獨(dú)立地證出了n=5的情況。八年之后，一位完全是自學(xué)成才的法國婦女索菲婭，竟然也取得了不小的成果。

　　歷史過了100年，n才被推進(jìn)到100。公元1850年和1853年，法蘭西科學(xué)院兩次懸賞2000金法郎，征解費(fèi)爾馬猜想，也不過把指數(shù)的上限推到216。

　　日歷又翻過 50 年，德國數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克給哥廷根科學(xué)院留下十萬馬克，懸巨賞再次征解。一時(shí)之間，各種證明紛至沓來，統(tǒng)統(tǒng)不對(duì)。費(fèi)爾馬定理如此著名，恐怕就在于發(fā)表了許多錯(cuò)誤的證明。

　　借助于電子計(jì)算機(jī)，n的上限被推進(jìn)到4000萬！但當(dāng)然不能算是證得了定理。

　　1993年6月，英國劍橋牛頓數(shù)學(xué)研究所舉行了一個(gè)學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)。一位英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。美國普林斯頓大學(xué)教授維拉斯，應(yīng)邀作了一系列演講，演講題目是“橢圓曲線，模形式，和伽羅瓦表示”。從這個(gè)題目，聽眾猜不透他到底要得出些什么。

　　然而在 6 月 23 日他的最后一個(gè)演講結(jié)束時(shí)，他終于推出了費(fèi)爾馬大定理。在場的數(shù)學(xué)家紛紛舉起相機(jī)記錄下數(shù)學(xué)界的這千金一刻。很多報(bào)紙紛紛報(bào)導(dǎo)，報(bào)導(dǎo)這數(shù)學(xué)發(fā)展中的巨大里程碑。

　　雖然他的證明有200多頁，許多細(xì)節(jié)要逐個(gè)檢查，但專家們認(rèn)為他是對(duì)的，證明的思路是對(duì)的。證明中他采用了許多不同分支的最新思想，采用了許多當(dāng)代名家的思想、結(jié)果和技巧。采百家之花，方得芳香之蜜。他的工作是一項(xiàng)意義深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)，是本世紀(jì)一項(xiàng)重大科學(xué)成就。

　　費(fèi)爾馬老先生頁邊寥寥數(shù)語。引得400年中無數(shù)英雄竟折腰，得出了好多成果，真正是能下金蛋的老母雞。

　　費(fèi)先生的聲名之大，全因這大定理增加了份量，往往忘了他也是解析幾何的奠基人。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。