第十回  近世數(shù)壇  基礎理論成果絢麗

　　現(xiàn)代計算  實際應用前景輝煌

　　高斯墓碑上畫的是正十七邊形圖案。過直線外一點只有一條平行線嗎？專刮臉的理發(fā)師不知自己的臉蛋該誰來刮。華羅庚說：“大哉！數(shù)學之為用。”海灣戰(zhàn)爭中，數(shù)學大顯神通。

　　話說那18、19世紀，西歐的數(shù)學確實是轟轟烈烈紅紅火火，在幾何、代數(shù)兩方面都有了空前的變化，徹底地解放，兩場大革命相繼進行，令人目不暇接�，F(xiàn)在先與諸位道一番幾何的大變化。

　　要說這場變化，卻與一個人有脫不掉的干系。你道是誰？那便是赫赫有名的數(shù)學王子高斯，卡爾·弗里德里希·高斯！他不但被公認為是19世紀最偉大的數(shù)學家，而且與阿基米德、牛頓并稱為歷史上最偉大的三位數(shù)學家！

　　小卡爾的故事無人不曉。從 1 連加到 100，如何簡便地算，諸位肯定不止一法，覺得挺容易。不過諸位可都是老師教會的，而小卡爾是十歲時自個想出來的，這才真叫不容易。高斯晚年常常幽默地說，在他會說話之前，已經(jīng)會計算了。神童和天才確實是不常有的。

　　高斯在1777年出生的時候，家境可是不太好。父親是瓦工，對小娃娃讀書沒什么興趣。但卡爾的母親卻鼓勵他學習。小學的校長也很愛才，對他贊不絕口，推薦給不倫瑞克公爵。公爵搞了次“手拉手”活動，贊助15歲的高斯進了中學，18歲時又送他進哥廷根大學。

　　起初高斯對語言和數(shù)學都很感興趣，猶豫不決不知學什么好。他決定為數(shù)學而獻身是1796年3月30日的事。這一天，他找到了用尺規(guī)作出正十七邊形的方法！兩千年的難題解決了，卡爾知道自己是屬于數(shù)學的。對這個發(fā)現(xiàn)他是如此的鐘愛，所以后來留下話，墓碑上就刻這么個圖形。

　　高斯用代數(shù)的方法找到了作法。進一步，他解決了全部情形：正多邊形的邊數(shù)是多少就能畫出，是多少用尺規(guī)又作不出，被證明得妥妥貼貼。高斯的才能更進一步顯示，20歲作出的博士論文令大家刮目相看，大跌眼鏡，他竟然證出了代數(shù)基本定理，這個連牛頓、歐拉、拉格朗日等大師也難倒的定理！代數(shù)基本定理是說，幾次多項式至少有一個根。

　　這位數(shù)學王子在天文學方面也有拿手絕活。同樣還是很年輕的時候，他用新方法只根據(jù)很少的數(shù)據(jù)，算出了最新發(fā)現(xiàn)的谷神星的軌道。高斯不管做什么事都要好上加好，力求完美，所以很多成果就永遠在他的筆記本上不露面。這其中有很多有著重要創(chuàng)見的思想，“非歐幾何”就是一例。

　　什么是非歐幾何呢？那還要從歐幾里德的《原本》說起。《原本》是建立在有限的幾條公理之上的邏輯構造的大廈，這是大家都知道的。從公理出發(fā)，能推出所有的定理，而公理本身就不能再往前推了，就把它當作不言自明的東西承認下來。

　　對公理體系也有個起碼的要求。首先幾條公理之間不能相互矛盾。其次，所用公理要盡可能少，不能把可以從公理推出的定理，也當成公理立在那里，也就是各條公理要相互獨立。

　　在《原本》中一共有九條公理，比如說兩點間有唯一直線啦，直線可以任意延長啦等等。其中有一條叫平平公理，歐幾里德有點把握不住，覺得它像條定理，可就是沒法證出來。沒法子，還是把它作為公理，放在了其他幾條公理的后面。而且，歐幾里德在證前28個定理之前，一直沒有用過這條平等公理，總想繞開它。

　　《原本》中的平行公理挺羅嗦，可以換成功效一樣的其他說法，比如初中課本中是這么說的：

　　“過直線外一點能作一條且只能作一條和已知直線平等的直線。”把平行公理作為定理，試圖從其他公理把它推出來，數(shù)學家們?yōu)榇嗣β盗藘汕Ф嗄辍?/p>

　　有些人是從正面去證，直接證。當他們覺得大功告成獲得“證明”時，再仔細檢查一看，都用了新的假設，比如像“三角形內角和等于兩直角”，“平面上存在著一對不相等的相似三角形”，等等。

　　這些新的假定都需要用平等公理才能證出，只不過將平行公理換了個說法。這樣的“證明”就犯了邏輯循環(huán)的錯誤。

　　直接證勞而無功，就想到間接去證，用反證法。這樣就先否定平行公理，然后從這個否定的前提出發(fā)，進行一系列推理，如果推出了矛盾，那么對平行公理的否定就不對了，就證明了平行公理。想法很好，咱們中學生都用這樣的反證法。

　　但是用反證法推來推去，推不出矛盾。比如瑞士的蘭伯特（1728—1777），將平行公理否定，最后推出三角形的內角和大于或小于兩個直角。

　　有人說這不就產(chǎn)生矛盾了嘛？其實一點不矛盾，因為三角形內角和定理和平行公理是一碼事，兩者可以相互代替。你用反證法，假設平行公理不對，也就是假設過直線外一點不是只有一條線和已知直線平行，那么實際上也等于同時假定了三角形內角和不是兩直角。

　　從否定平等公理，不但推出了三角形內角和的稀奇結論，而且還推出了其他一些和平常的幾何不一樣的定理，不過就是推不出矛盾來。

　　正面證不行，反證也不行，看來平行公理是證不出了。這說明平行公理和其他公理地位平等，誰也不依賴誰，相互獨立。

　　這一點得到了許多人的承認，對平等公理就只能把它當成公理了，要想證明絕對沒戲。但是在用反證法時，從平行公理的反面出發(fā)，卻推出了一系列和歐氏幾何完全一樣的結論，把它們集中在一起，不就構成另一堆定理的系統(tǒng)嗎？它們完全不同于歐氏幾何，但卻完全說得通，邏輯上站得住。

　　不同于歐幾里德幾何的新幾何產(chǎn)生了，它是19世紀所有復雜偉大的技術創(chuàng)造中，最深刻但又是最簡單的一個。確實太簡單了，只要把平行公理換成它的反面，其他公理不動，新幾何的基礎就打好了，以后只需要進行推理，就能構造出非歐幾里德幾何的大廈。

　　要承認非歐幾何是十分困難的，盡管邏輯上沒矛盾，可心理上太難承受。你能相信三角和的內角和不等于180度嗎？說破嘴皮你也不信，總覺得和經(jīng)驗不符，似乎我們生活的空間，天然地就是歐幾里德式的。

　　咱們的生活空間，不一定是歐幾里德幾何所描繪的，不能先入為主。認識到這一點的在當時是鳳毛麟角，在現(xiàn)在也不多。咱們平常的世界似乎用歐氏幾何都能說得通。

　　而首先認識到這一點的，就是高斯。他這么說過：“我們不能證明我們的歐幾里德幾何具有物理的必然性�；蛟S在另一個世界中我們能洞察空間的性質，但現(xiàn)在卻不行。”偉大的天才高斯對非歐幾何已經(jīng)是明察一切了，但是他怕新的理論不被人理解，會受到起哄嘲笑，所以一輩子都沒有公開發(fā)表的膽。即使別人已經(jīng)提出來了，他也表示沉默。

　　那么又是哪一位功夫深湛的大師，有此偉大創(chuàng)造呢？他就是匈牙利數(shù)學家鮑耶·亞諾什。鮑耶的老爸與高斯是大學同窗，這位老爸也是位數(shù)學家，對平行公理證明了一輩子也沒什么名堂。

　　鮑耶子承父業(yè)，又接手了這個問題。老爸知道了火冒三丈，立即寫信訓子，說你老爸早已苦頭吃足，你小子要陷進去也沒什么好下場。即使是牛頓在世，他也必陷入泥坑，壞一世英名。你小子趕快給我收攤，改練別的吧。鮑耶牛脾氣一上來，心想我還就要干到底。1823年，他的思維突然打開，迸發(fā)了非歐幾何的新設想。他寫信給父親說，“我已經(jīng)在烏有中創(chuàng)造了整個世界”。

　　鮑耶在 1825 年基本完成了非歐幾何學，后來的幾年他央求老爸幫他出版，根本得不到同意。1831年，鮑耶給老爸說，咱干脆給高斯伯伯寄份論文，看看他怎么個說法。

　　論文總算到高斯老伯的手中，高斯看后大吃幾驚！他回信給他的同學說，我真是嚇壞了，貴公子所做的一切和鄙人三十幾年前想的完全符合，稱贊他等于稱贊我自己。使我特高興的是，這么一位出類拔萃驚世駭俗的人物，正是老哥你的兒子。

　　說實話，高斯寫這封信時，心里恐怕也是酸酸的，誰讓自己沒那份勇氣呢。卻說信到得鮑耶手中，大大刺痛了滿懷希望的他。他不相信有人會趕在他前面，覺得高斯老伯倚老賣老太不仗義。從此郁郁寡歡，58歲就去世了。再說這最完整、最先發(fā)表非歐幾何的，卻是俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基。

　　羅先生在22歲時，就著手研究這個問題。不久，他就意識到肯定存在另一種幾何學，他把歐氏幾何的其他公理照樣采用，而對平行公理進行脫胎換骨，變成：過已知直線外一點至少有兩條直線和已知直線不相交。

　　1826 年，羅巴切夫斯基 33 歲，正式宣讀了非歐幾何的論文。這位幾何學上的哥白尼，又嚇得教廷胡話連篇，總主教宣布他的學說是邪說，有人用匿名信謾罵他，種種花樣不一而足。這一切正如高斯所預料到的。高斯寫信給羅巴切夫斯基，表示十分欽佩�？墒窃诠�開場合他又裝成個沒事的人，從不多說一句話。

　　后來德國數(shù)學家黎曼（1826—1866）又創(chuàng)建另一類非歐幾何，人們把它叫做黎曼幾何。黎曼的體系中是這么替換平行公理的。

　　平面上不存在不相交的直線。即平面上不存在平行線。

　　“19世紀最有啟發(fā)性，最重要的數(shù)學成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)”，大數(shù)學家希爾伯特的評價是絕對權威的。除了打破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下，打破了對歐氏幾何的盲目崇拜以外，非歐幾何的建立使大家對公理和公理建立起的體系有了更清楚的認識。

　　一組公理，只要彼此獨立，互相無矛盾，就能在這個基礎上進行推導，建設新體系。哪怕這其中有些公理似乎是很叫人吃驚，很有些不習慣也不要緊。這么一來對數(shù)學家的工作方法、方向都產(chǎn)生了很大影響。

　　大家都知道怎么去系統(tǒng)化一門數(shù)學了，就是先找出一組公理，然后通過推理頭頭是道推出其他內容。把數(shù)學的各個分支都弄成一個個公理的體系，就是數(shù)學地公理化思潮，非歐幾何在這場變化中的作用是很明顯的。首先是對歐氏幾何嚴格公理化。歐氏的《原本》雖然也說得頭頭是道，但有很多缺點。比如那第四條公理，“凡直角都相等”是可以證明的，不能算公理，不獨立。再說對一些基本的概念，比如說“點、線、面”，沒有和一般的概念區(qū)別開來。一般的概念都從它們出發(fā)來定義的。而基本概念本身就不能下定義，否則會造成邏輯上的麻煩，鬧不好會循環(huán)定義。

　　正是這么一考慮，德國大數(shù)學家希爾伯特在 1899 年出版了《幾何學基礎》，使得歐氏幾何嚴格地公理化了。“我們必須能夠用‘桌子、椅子和啤酒杯’，來代換點、線、面”，希爾伯特的這番話倒不是說去研究什么啤酒杯，而是說點、線、面不能再給出什么定義了，應該作為原始基本概念，所以不管換成什么名稱也無所謂。

　　這一來，數(shù)學就更抽象，但是概括包含的內容就更多。這種著重于對象之間的關系和結構，但是并不把對象看作是某一些具體的東西，確實是數(shù)學中更高明的一步，一種劃時代的進步。

　　同樣的進步在代數(shù)中也在進行著。

　　比如，乘法有結合律，加法也有結合律，咱們把這條共性抽象出來，就有這么個式子：

　�。╝*b）*C＝a*（b*c）

　　式子中那“*”號，就代表了一種更一般的運算，比如可以認為是乘法，也可以認為是加法，不過不能是除法。這式子中的a、b、c可以是各種各樣的數(shù)，也可以是多項式。

　　更進一步，a、b、c甚至于可以和數(shù)沒有一點關系，而表示另外的對象。比如，看作是撥鐘的一個動作，可以順時針撥幾個小時，也可以逆時針向后撥幾個小時。那么a*b中，那個運算“*”又看作什么呢？可以看作是先進行撥鐘的動作a，然后再進行撥動動作b，是撥的順序。

　　這樣一來，a、b、c 就是多種多樣的向前或向后撥的動作。有沒有結合律（a*b）*c=a*（b*c）呢？當然有。因為只要a、b、c固定下來，先做哪個動作都不打緊，最后結果是一樣的。

　　這就是十九世紀經(jīng)過革命的代數(shù)所具有的特點。不但符號代表的對象可以更廣泛，五花八門；而且更著重“代數(shù)結構”。不管什么對象，什么運算，只要符合相同的規(guī)律，就認為是同一種代數(shù)結構。

　　上面的那種代數(shù)結構都有結合律，咱們就把它叫做“半群”。而首先將代數(shù)結構提上數(shù)學日程的，就是法國天才數(shù)學家伽羅華（1811—1832）。而提到伽羅華，也必定要提起挪威的阿貝爾（1802－1829），他們都像在數(shù)學天空中閃電般的流星，發(fā)射出早期的異彩，后來又都不幸夭折，而死后才有天才這樣的評價。

　　阿貝爾一生道路坎坷，郁郁不得志。這倒霉的命運從一出生就伴隨他，從小就受窮，連病都沒錢去治。13歲時到一所教會學校學習，本來對數(shù)學是不大感興趣的。正在這時，來了一位好老師，年輕熱情，叫洪保。

　　洪老師很快發(fā)現(xiàn)阿貝爾是塊學數(shù)學的料，立刻對他格外關心，送一些書讓他自學，還經(jīng)常在一起討論當時名家歐拉、拉格朗日的著作。阿貝爾立誓要解決五次方程的根式求解問題。

　　原來自卡當、塔爾塔里亞解決了三次方程的求根，卡當?shù)膶W生解決了四次以后，五次方程的求根公式卻一直沒有得到。

　　數(shù)學大師拉格朗日（1736—1813）想了不少高招還是攻不下來。1821年，19歲的阿貝爾到克里斯蒂大學上學，學識大進更想一展身手。

　　一開始他認為已經(jīng)得出了五次方程的求根公式。后來再檢查一下，發(fā)現(xiàn)了錯誤。連遭挫折，阿貝爾反復琢磨，悟出很可能根本就沒有這樣的求根公式！經(jīng)過艱苦的努力，阿貝爾終于證明了用公式解一般的五次方程是不可能的。論文發(fā)表后，阿貝爾小小地發(fā)了點財，拿到一些錢，允許他到歐洲大陸去旅行。他從法國到德國，遍訪名家，誰也不把他當盤萊。他再把論文寄給哥廷根的高斯，希望能“一識韓荊州”，結果還是不理不睬。

　　阿貝爾一氣之下直奔柏林，不去哥廷根了。在那里他十分幸運地結識了工程師克雷爾。克雷爾慧眼識英雄，甘當了一次人梯，特地辦了個刊物讓阿貝爾施展。這本雜志叫《純數(shù)學和應用數(shù)學》，后來都叫它是“克雷爾雜志”。阿貝爾在第一卷上就發(fā)表了五篇以上論文，頭幾期一共登了22篇。杰出的成就，終于使大家刮目相看。

　　1827年，阿貝爾回到挪威。談不上衣錦榮歸，卻依然是一貧如洗。這時他又得上了肺結核，真是屋漏偏逢連陰雨。第二年，四名法蘭西科學院院士，緊急致信挪威國王，請他為阿貝爾創(chuàng)造點外部環(huán)境。

　　可是阿貝爾也撐不了多少天了。1829 年 4 月的一天，他永遠閉上了眼。可是才隔三天，卻又接到了柏林大學的聘書，他是再也沒法應這個聘了。再說阿貝爾得出五次方程的結論以后，引起了許多人的注意。內中有一位后生小子，還是個17歲的中學生，就接著阿貝爾沒有做完的事情繼續(xù)做下去，徹底解決了方程求解問題。

　　此人是誰？他就是數(shù)學史上有名的青年才子伽羅華（1811—1832）。伽羅華的生命比阿貝爾更短、更悲慘。他是巴黎附近一個小鎮(zhèn)鎮(zhèn)的孩子。12歲上中學，有些老師給了他“朽木不可雕”的評語。過了三年來了位數(shù)學教師范厄爾，慧眼識英才，指導小伽羅華自學了許多名家巨作。剛過15歲，伽羅華就顯示出非凡的數(shù)學天才。

　　眼看著就要進大學，小伽羅華信心十足，兩次報考重點院校名牌大學——高等工藝學院，兩次名落孫山，他滿足不了考官們的死板要求。伽羅華堅持不懈，終于在1829年進了師范學院，準備當個教師，吃口安穩(wěn)飯。

　　在考上大學之前，中學生伽羅華就開始研究方程論啦。這時，年輕的阿貝爾成功的消息傳來，伽羅華大為振奮。繼而覺得還有不少問題需要解決，“阿貝爾的杰出成就轟動世界，但他還沒有解決哪些方程可以用根式求解，而哪些不能。”

　　比如說，一般的五次方程是不能有求根公式了，但一些具體的五次方程，

　　阿貝爾當然也想過，什么條件下能有根式求解，但苦苦思索終不可得。

　　絕代天才伽羅華既找準了這個問題，就傾注全力攻堅。恰在此時，他又遇到一位高手里查德，伽羅華受此人指點，才能充分釋放出來。1828年，這位17歲的中學生徹底解決了代數(shù)方程有根式解的條件問題，取得了劃時代意義的成果。大家可能會問，一個方程的解的問題，又如何稱上劃時代？

　　原來，伽羅華在研究這個問題時，發(fā)現(xiàn)了“群”這種代數(shù)結構，創(chuàng)立了“群”的研究，這才真正是革了一次命，劃了一下時代。

　　“群”是一種重要的代數(shù)結構。除了要滿足結合律以外，還要再加上一些條件。所以“群”這種結構就是在上面說過的“半群”的基礎上再添幾條。

　　添的條件倒也一般，第一條是算的對象里要有一個元素，叫做單位元，不管其他什么元素和它進行運算，仍然不變。也就是 a*b＝e*a＝a，這 e 就表示那單位元素。

　　當然，運算不同、運算的對象不同，這單位元e也不同。比如在乘法里，e當然是1；在普通的加法里e＝0，因為這時候運算“*”代表“＋”，a＋o＝o＋a＝a嘛。而如果 a、b、c 等等表示撥鐘的動作，那么 e 就是把鐘撥上十二圈，十二小時這么個動作。你想想，假設a是把鐘撥到四點，這一個動作。那么a*e就是先撥到四點，再撥十二圈，不還是四點，還等于a嘛：a*e＝ｅ*a＝a。

　　群，還要添上一個條件，雖然也簡單，咱們也不打算再多絮叨。千句并成一句：群是近現(xiàn)代代數(shù)學的中心，是一種重要的代數(shù)結構。

　　降了群這種代數(shù)結構以外，其他還有環(huán)、域、格，等等。

　　年輕的中學生伽羅華就是發(fā)現(xiàn)了置換群與代數(shù)方程之間的關系，他用群這種強有力的數(shù)學工具，非常清晰非常簡單地一舉攻克了方程的根式求解問題。

　　伽羅華為他的發(fā)現(xiàn)欣喜若狂，立即把論文寄給法蘭西科學院。1828年6月1日，科學院舉行例會。主審伽羅華論文的，是當時的數(shù)學大權威柯西（1789—1857）。眾位德高望重的先生正想看看這位乳臭小子搞點什么名堂，可是柯西打開皮包，雙手一攤，說對不起，那篇論文找不到了。

　　過了兩年，伽羅華將論文精心修改，再交法蘭西科學院。這次決定讓老院士、數(shù)學家傅立葉（1768—1830）審查�？墒沁�沒等到開會，傅先生撒手西歸，伽小子的論文又一次下落不明。

　　伽羅華總覺得“事不過三”，就第三次再送出自己的成果。這一次總算有了審查意見，著名數(shù)學家泊松（1781—1840）花了四個月時間看稿，最后簽上了“完全不可理解”幾個字。曲高和寡，連權威都不解其中奧妙，可見伽羅華領先了多少步！

　　此時的伽羅華在大學上學，卷入了大革命的浪潮，學校把這位不安分分子開除了，還坐了幾個月的牢。出獄不久，晦氣還未除盡呢，他的情敵又提出挑戰(zhàn)，要和他決斗。

　　決斗前夕，伽羅華料定難逃此劫，要知道對方是位帝國的小軍官。所以伽羅華就匆忙將自己的筆記、論文手稿寄給好友，托付后事。

　　決斗的場面，非在下之禿筆所可描繪，無非是赳赳武夫，翩翩公子，槍來彈往，血肉模糊。那赳赳武夫是死是傷咱倒不必管他，只是可憐的羅華卻傷重不治，24小時后閉上了眼，時年21歲。

　　過了 14 年，1846 年，法國數(shù)學劉維爾（1809—1882）在整理各種遺稿時，驚異地發(fā)現(xiàn)了伽羅華的思想。他把伽的論文發(fā)表在《數(shù)學雜志》上。直等到1870年，離伽羅華的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)40多年了，他的成就才得到充分肯定。人們撣去了埋在明珠上的厚厚塵土。

　　代數(shù)在更抽象、更有用的方向上發(fā)展。和幾何的解放同時，代數(shù)也得到了真正的解放。這種解放就表現(xiàn)在對代數(shù)結構的承認，對代數(shù)結構的看法。

　　比如說人們規(guī)定一種代數(shù)結構，其中的“乘法”，沒有交換律，也就是a*b不等于b*a，那么你會怎么看？你肯定很不習慣，或者認為是胡說八道。

　　當年哈密頓（1805—1865）就遇到過這樣一種巨大壓力。大家就像責問幾何中怎么會有不等于 180°的三角形一樣，也非常地憤怒代數(shù)中還有什么交換律不成立的運算。

　　出于實際的考慮，哈密頓給出了這樣一個乘法表，這里一共有四個元素l、i、j、k。任兩個數(shù)相乘，能從這張表中查出來。比如i×j=k，j×i=k。

　　看清楚了吧？i×j≠j×i！沒有交換律的乘法！據(jù)說，這是經(jīng)過他 15年的冥思苦想，站在都柏林的一座橋上想到的。連他自己都被這種離經(jīng)叛道突破傳統(tǒng)的思想給震住了，就把這張乘法表刻在橋欄桿上，看看這個不同凡響的怪物到底是咋回事。

　　其實，代數(shù)結構的幾條規(guī)定，和幾何體系中的公理差不多，都有某種隨意性，不能只是一種。幾何中的公理換了，就得到不同的幾何；而代數(shù)結構中規(guī)則和算律換了，就得到不同的代數(shù)結構。

　　這么一種思想漸漸深入人心，大家便見怪不怪，不滿足交換律的代數(shù)越見越多。英國數(shù)學家凱利（1821—1895）在 1857年就對矩陣設計了一種“乘法”，規(guī)定了一種“乘法”，這種“乘法”就沒有交換律。

　　近世的代數(shù)學就這樣慢慢形成了，這是自從符號以來，代數(shù)學的第二次革命，第二次解放。

　　第一次革命，是符號的大量使用，使得初等代數(shù)成為科學的獨立的基礎（古希臘那會代數(shù)是幾何的附庸）。第二次革命，就是高等代數(shù)學的開始。

　　兩者的區(qū)別那是高山和平地了。

　　初等代數(shù)是高度計算性的，要討論運算也只是常見的四則運算，運算的對象不是有理數(shù)就是實數(shù)，再不就是復數(shù)，都是具體的。

　　高等代數(shù)學是概念性的、公理化的，就拿咱們給大家介紹過的“半群”這種代數(shù)結構來說，那里的運算對象a、b、c可不只是數(shù)，而是任什么都行，都可以。而運算也可以由你來規(guī)定。

　　今天，代數(shù)學的影響十分巨大，不管哪一個數(shù)學分支不會沒有代數(shù)的思想，它給全部數(shù)學提供了有力的工具。而且各種自然科學、經(jīng)濟學都要用到代數(shù)。

　　除了幾何和代數(shù)的大革命、大變化，19世紀還發(fā)生了第三個有深遠意義的數(shù)學事件，這就是微積分的基礎嚴格化、精確化。

　　咱們在前面給大家說過，微積分初創(chuàng)之時，有兩個麻煩，其中一個給牛頓—萊布尼茨解決了。另一個麻煩卻一直沒解決，起碼是沒徹底解決。什么麻煩呢？就是基礎不緊密，不穩(wěn)固。

　　比如在牛頓老前輩那會兒，求微分時通常都給自變量一個小小的增加，叫做自變量的無窮小量。有時候，他把這無窮小量不當作零，去做除數(shù)；有時候，他又把這無窮小量當作零，在計算中舍去。反正怎么有利怎么干，但是結果卻總是對的，弄得大家都挺奇怪，挺納悶。

　　可大伙當時都忙著把微積分的大廈朝大里、朝高處擴展，那顧得上這基礎！這倒正好倒個身，先蓋房，后打樁。其實這在科學發(fā)展上卻并不奇怪。

　　一開始是打天下，要不受束縛天馬行空，這時就講嚴格，往往限制了思想。等到一門學科成熟了，該暴露的矛盾都暴露出來了，那就該給它立立法啦！

　　用嚴密的邏輯規(guī)范它，最好整出一個公理體系來！

　　那么這無窮小量到底是怎么回事呢？是把它看成“零”，還是看成“非零”？回答倒挺古怪：既不是“零”，又不是“非零”。此話怎講？

　　原來，“零”也好，“非零”也罷，都是常數(shù)，而無窮小量乃是一變量，在無窮地變化下去。比如咱們前面提過的，阿基里斯和烏龜距離是：

　　100，10，1，0．1，0．01，0．001……

　　它就是一個無窮小量，可以用一個字母表示，比如用 A。那么這 A 現(xiàn)在就是一個變量，而 A 將無窮變下去，變化的趨勢是零，這樣我們就說變量 A的極限是零。

　　所以極限就是看變量變化的趨勢，是一種涉及到無窮的運算，新的運算。微積分中處處要遇到無窮，處處就要用到極限運算。它是微積分的基礎。

　　首先認識到這一點的是達蘭貝爾（1717—1783），他在1754年就準確地指出：需要有嚴格的極限理論。說歸說，做歸做；這一件重要的“打樁工程”，又過了70年才有眉目，那是法國大權威柯西的功勞了。盡管他對伽羅華是不識英才，不過這件功勞還是要說一番的。

　　當然，柯西定義極限是比較嚴格的，不像咱們上面那樣，列一串數(shù)，請您看看變化趨勢，然后就下結論，說有極限或者沒有極限。

　　那樣做太直觀，很生動。但是不嚴密，容易出錯�？挛骶陀昧藬�(shù)學的語言，用不等式來刻畫整個極限過程。

　　后來又過了50年，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯在1874年又提出來，柯西的極限理論，那“打樁工程”做得不徹底，基礎沒打牢！真正的基礎是實數(shù)理論！

　　這又是何意思呢？咱們先看下一列數(shù)：

　　1，1．4，1．414，1．4142，1．41421，……

　　如果無理數(shù)沒有明確的地位，那么許多極限都不知結果到底是個什么東西。所以魏爾斯特拉斯提的很對，極限的基礎在實數(shù)理論，準確地說，在無理數(shù)的定義上。大家在初中見過無理數(shù)的定義嗎！沒有，那時只不過列舉了一些無理數(shù)的例子而已。

　　那么究竟如何定義呢？咱們知道，有理數(shù)是由整數(shù)發(fā)展而來的，而有理數(shù)就由整數(shù)來定義：兩個整數(shù)之比。用舊的數(shù)定義新的數(shù)，這是完全可以的。

　　所以數(shù)學家們，就用有理數(shù)來定義無理數(shù)。這個工作比較艱苦，由魏爾斯特拉斯（1815—1897）、戴德全（1831—1916）、康托（1845—1918）完成了。這三位都是德國數(shù)學家，都是在兩個世紀之交時做出了偉大貢獻的。他們的基本思路都一樣，要給無理數(shù)一個明確的“說法”。而戴德全和康托，做的就更嚴格一點，嚴格地用有理數(shù)來定義、或者說來產(chǎn)生無理數(shù)。

　　無理數(shù)得到了定義，整個實數(shù)就嚴密了，而極限的基礎就鞏固了。一場由于無窮小問題，由于無理數(shù)的地位而引起的爭論，也就是平常所說的第二次數(shù)學危機，得到徹底解決。

　　說起來，魏爾斯特拉斯是大器晚成的人。他年青時代研究的是法律、經(jīng)濟，很遲才開始搞數(shù)學，而且還是個中學的教書匠�？磥硪惠呑又荒芘�弄初等數(shù)學了。一般認為，要成為第一流的數(shù)學家，必須很早就開始進行數(shù)學研究，不能老泡在初等數(shù)學里解五花八門的題。

　　但是魏爾斯特拉斯卻打破了這個一般！雖然他40歲才到柏林大學，過了八年才當上教授，但他照樣在高等數(shù)學上做出了杰出的成就。而且書教得更好，是世界知名的高等數(shù)學教師。更被稱為“現(xiàn)代分析之父”。

　　和魏先生相比，康托的人生是另一番的色彩。這位處于世紀之交的偉人，做了一件可以說讓數(shù)學轉入新世紀的工作，開天辟地。

　　康托出生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)家庭。后來全家從圣彼得堡遷居法蘭克福。老爸讓他學工，所以在1863年他18歲時，進了柏林大學，這一下可真是如魚得水，他得到魏爾斯特拉斯高明的指點，對數(shù)學的興趣更濃了。

　　四年后的博士論文中就有了“離經(jīng)叛道”的觀點了，他認為，在數(shù)學中提問的藝術比起解法來更重要。

　　康托在1869年到哈勒大學教書，過了十年提升為教授，一直到去世，都在這工作。倒不是康托想在這小地方混一輩子，他也很想在柏林找一個錢多一點的、聲望高一些的教授職位。

　　但是那位柏林的大權威克羅耐克（1823—1891）處處跟他為難，跟他過不去。原來這位克老頭對康托的成果很難接受，許多東西和他腦瓜里的傳統(tǒng)背道而馳，完全相反。這自然引起他的敵視。

　　這位克老頭粗暴地攻擊康托的思想，整整十年他都沒放松過。弄得康托精神崩潰，常常住病院。雖然在1887年好了一陣子，恢復工作了，可是后來又不靈了。1918年1月6日，康托在哈勒大學附近的精神病院中去世。

　　那么康托的驚世駭俗之論，石破天驚之語，究竟是所說何論，所論何事呢？

　　說起來倒也無啥稀奇，那方法就是古人數(shù)數(shù)時就用過的“一一對應”！啥叫“一一對應”？比如班上有 40 名學生，40 個位子，那么一人一位；反過來，一位一人，這就叫一一對應。如果哪一天位子多出來兩個，就知道人少位子多了，兩者不一樣多。

　　如此說來，此方法很好改革，經(jīng)常用�？墒侨绻麑⑦@方法用好用活一直用下去，卻有了想不到的結果。我們將話題再拉到伽利略身上。

　　大家應能記得，伽利略老先生曾有如此一說：

　　“平方數(shù)的個數(shù)不小于所有數(shù)的總數(shù)；所有數(shù)的總數(shù)也不大于平方數(shù)的個數(shù)。”

　　所有數(shù)，就是所有的自然數(shù)，即 1、2、3、4，……等等，有無窮多個。

　　而平方數(shù)，即指……等等，伽先生之意，是說這兩部分數(shù)完全一樣多！這可是亙古未有之論！要知道，平方數(shù)是自然數(shù)的一部分；1，4，9，25，……自然數(shù)的一部分，竟然和自然數(shù)的全體一樣多，豈非大大出人意外？“部分小于全體”，這是舉世公論的原則，歐幾里德在《原本》中，更把它列為公理之一，為何伽利略竟反其道而行？

　　那么伽利略為何有此結論？是否故意出此出人意外之狂言以招搖天下？非也。伽利略是有根有據(jù)的。根據(jù)就是“一一對應”。請看如下兩者之間的一一對應：

　　兩者之間，每個數(shù)都對應著對方唯一的一個數(shù)，就像坐位子，一位一人，反過來，也一人一位，位子與人完全一樣多。如今看來，平方數(shù)與自然數(shù)也是這番情境，結論自然不言自明：兩者一樣多！

　　結論既得，則“全體大于部分”的公理頃刻瓦解。原來，這條原則在對象只有有限個時，是完全對的；而一涉及到無窮，就有時對有時不對了。而自然數(shù)全體、平方數(shù)全體都是無窮。

　　比如說，自然數(shù)全體1到100這一部分相比，仍然是“全體大于部分”，因為兩者之間不能一一對應。但是若是伽利略所說的情況，那么這條以前的“公理”就不“公”了。這“公理”時對時錯，當然就不能再姓“公”，這是進入無窮世界后的又一大發(fā)現(xiàn)。

　　這無窮世界的方方面面就是如此的不同，絕對能讓你留連忘返，樂不思蜀。當年的康托大師就是因為發(fā)現(xiàn)了這無窮的奧妙，不禁萬分驚異，連自家也不相信，更使那些權威粗暴猛烈地攻擊十年。

　　康托早期對微積分的基礎很有研究。繼而他對“無窮點集”作了描繪。什么是點集呢？就是點的集合。集合這個概念現(xiàn)在或多或少大家都了解一點。而康托就是集合論的奠基人，獨創(chuàng)者。一個獨行天下，獨領風騷，這在數(shù)學的發(fā)展中倒是不多見的。

　　康托稱，集合是一些確定的、彼此不同的東西的總體。比如，某人書包中書的全體，可構成一個集合；太陽系中所有行星，亦可成一集合。此外，全體自然數(shù)，全體平方數(shù)，某個二次方程的根，等等，都各自能構成一個個集合。而組成集合的“東西”，康托把它叫做集合中的元素。

　　緊接著，康托決定討論一下集合中元素多少的問題�？低性谶@里抓住了比較多少的關鍵：一一對應。這可是每個平常人都經(jīng)常用的，可你自己還渾然不覺。

　　比如，你到店里買十根鉛筆，這買的鉛筆自然也能構成一個集合。那你怎么能知道這個集合中的元素有多少？有人說，那太簡單了，一根一根數(shù)唄，數(shù)完了是幾，就是多少根。

　　告訴你，你這時用的就是一一對應！為什么呢？因為你在數(shù)第一根時，嘴里說了個“1”，再數(shù)下一根，跟著說個“2”，……，這么數(shù)著說著，就是把買的鉛筆和從1開始的自然數(shù)“一一對應”起來了！

　　數(shù)完了，就在鉛筆的集合，和數(shù)的某個集合之間建立起一一對應關系。這時，咱們當然可以說兩者的元素一樣多！于是你也就知道買了幾根鉛筆。

　　平常的道理，人人都用，可就是熟視無睹！而康托就把這其中的道理一總結，再一推廣，就得出了驚人的發(fā)現(xiàn)�？低姓J為不僅有限的集合用一一對應可以知道多少，而且元素無限多的集合更要用這種方法，正如伽利略問題一樣。這樣，他就把兩個能夠一一對應的集合稱為有相同的“勢”，意思是一樣“多”。

　　運用這一思想，康托發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)集合與自然數(shù)集合等勢！也就是兩者元素一樣多！這可真是個驚人的發(fā)現(xiàn)！要知道，在數(shù)軸上有理數(shù)密密麻麻地分布著，要多稠密有多稠密；而自然數(shù)卻稀稀落落，還只在數(shù)軸的右半部！

　　請想一想，每一個自然數(shù)周圍，不簡直就有無數(shù)多個數(shù)也數(shù)不清的有理數(shù)嗎？

　　但是經(jīng)過康托用一一對應的巧妙辦法，確實使有理數(shù)與自然數(shù)集等勢！只要看看這張圖，我們會發(fā)現(xiàn)，所有的正有理數(shù)都在這個陳列中，第一行是分母為1的有理數(shù)，第二行是分母為2的。也不是說，現(xiàn)在證明了所有正有理數(shù)與自然數(shù)集一一對應！那么全體有理數(shù)，即再加上負有理數(shù)和零，還能做到這一點嗎？這也不難，只要在每個正有理數(shù)旁邊，添上那個負的即可：當然，在最前面先加上 0，這樣所有的有理數(shù)就有規(guī)律地排成了一列，也就是和自然數(shù)集一一對應！說明兩者“等勢”，或者說“一樣多”！有人會說，因為這兩個集合都是無窮多元素，所以別費勁我就清楚，凡是無窮都一樣多。這么說你可就大錯特錯了！康托進一步證明了，自然數(shù)和實數(shù)，就建立不起來任何一種—一對應關系。當然，這是用反證法來證明的，因為你要說明任何一種一一對應的關系都不存在、最好的辦法就是用反證法。

　　這就說明了，無窮與無窮是不同的。實數(shù)要比有理數(shù)、自然數(shù)高一個層次，因為“勢”不相等。而有理數(shù)、自然數(shù)是同一個層次的無窮。

　　康托就是這樣一位給無窮世界分出層次的立法者，其中最低一個無窮的層次，無窮世界中“勢”最小的，就是自然數(shù)集、有理數(shù)集。

　　康托說，如果自然數(shù)集的勢用d表示的話，那么有理數(shù)集的勢當然也是d，但實數(shù)集的勢可就大于d了。他進一步證明，有一級比一級更大的勢，無窮的階梯就這樣給他找出來，證出來了。

　　接著，他又引進了基數(shù)和序數(shù)的理論，驚人的創(chuàng)造，卓越的證明一項接一項。他一個人就這樣從1874年29歲起，一直寫到1897年，完整地獨立地建造了整個集合論基礎。他的成績是這樣巨大，工程是如此宏偉，結論是如此驚人。當他得出、證出一些結論時，他寫信給戴德金說：“我驚呆了，我簡直不能相信它。”

　　他驚呆在何處呢？原來他證出了，一條線段上的點與一條直線上的點一樣多！這只要看一看下頁的圖就能明白，圓周上的點和直線上的點建立了一一對應關系。更進一步，他證明了，線段上的點，直線上的點，平面上的點，整個地球的點，統(tǒng)通一樣多！真是令人目眩，吃不消！

　　不過咱們可要給大伙說清楚，康大師可是規(guī)規(guī)矩矩用一一對應的方法給你證明出來的，不是亂說，更不是說凡是無窮都一樣。

　　盡管有人竭力反對，正像人們后來所說的，這些思想和想法是如此的革命，不遭到反對那倒是個奇跡，然而，許多卓越的數(shù)學家深深為之感動。戴德金、魏爾斯特拉斯、希爾伯特，他們都勇敢地支持捍衛(wèi)康托的集合論。

　　希爾伯特（1862—1943），這位20世紀的大數(shù)學家，對他本國同行的偉大創(chuàng)造贊不絕口：“沒有人能把我們從康托為我們創(chuàng)造的樂園中開除出去。”希爾伯特的贊美到了無以復加、最高級的水平：“這是數(shù)學思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一”。

　　大哲學家羅素把康托的工作說成是“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作。”

　　確實，集合論的創(chuàng)立為整個數(shù)學奠下了基礎。今天的數(shù)學，每一個分支都把集合論作為第一塊基石。就是以前的一些老概念，人們用了幾十年幾百年了，也用集合論的語言和思想再改造一下，重新包裝一番，果然是美倫美奐，思想更深刻，形式更簡約。

　　1900年，新舊世紀之交，數(shù)學已經(jīng)發(fā)展成一個龐大的領域，一切都井井有條。特別是經(jīng)過希爾伯特提但的公理化運動，他的《幾何基礎》的出版，每個分支都可以如此這般的公理化一番，整得有板有眼。而它們的共同基礎當然是集合論。

　　可正當其時，集合論卻出了問題，出了大問題，整個數(shù)學界大為震動，數(shù)學史上第三次危機爆發(fā)了。

　　什么大問題呢？就是出現(xiàn)了自相矛盾怎么也說不清的悖論。當時，德國數(shù)學家弗雷格（1848—1925）已經(jīng)完成關于算術基礎的兩冊巨著，這可是整個數(shù)學的基礎工程。而羅素恰恰在這時候把發(fā)現(xiàn)的悖論告訴了他。

　　弗雷格懊悔不迭：“一個科學家遇到的最不痛快的事莫過于：在工作完成時，把基礎丟棄。在這部著作即將付印時，我收到羅素先生的信時就是這么尬尷。”

　　那么羅素發(fā)現(xiàn)的集合論悖論是什么樣的呢？他自己在 1919 年曾經(jīng)這樣通俗的說明了遇到的悖論：有一個村的理發(fā)師宣布，他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給這些老爺們刮臉。

　　現(xiàn)在對理發(fā)師自己的臉蛋就發(fā)生了極大的矛盾。假如他給自己刮臉，按照原則，作為理發(fā)師他又不能給自己刮；而假如他不給自己刮，按照規(guī)定，他又得給自己刮臉。

　　刮也不行，不刮也不成，理發(fā)師就這么僵著！當然這著名的理發(fā)師悖論只不過用來形容集合論中的類似情況。而自從在集合論中發(fā)現(xiàn)悖倫，陸陸續(xù)續(xù)又弄出不少�？低斜救艘言缬邪l(fā)現(xiàn)。

　　矛盾到底如何解決，一時沒了個主意。后來大家想一想，覺得康托一開始對集合的定義不嚴密，這是產(chǎn)生矛盾的根源。正本清源，就需要用公理化的方法來進行治理整頓。

　　1908 年，由策梅羅（1871—1953）首先提出了一個集會論的公理體系，后來又經(jīng)弗蘭克爾的改進，現(xiàn)在就把這叫做ZF公理集合論。

　　咱們在這說說談談，轉瞬已有百年光陰，從19世紀進入了20世紀。這百多年間，中國數(shù)學又如何發(fā)展？

　　同學們自能記清，從徐光啟開始慢慢輸入西洋數(shù)學，中國的數(shù)學家正想看看“外面的世界”，喝點牛奶，不料里面的一切卻“很無奈”，雍正爺關上窗戶叫了個暫停。

　　直到鴉片戰(zhàn)爭大炮轟開國門，這才開始了西洋數(shù)學輸入的第二次浪潮。從此，中西數(shù)學合流，并逐漸開始現(xiàn)代數(shù)學的研究。簡單一句話：與國際接軌。

　　這第二次浪潮中的兩員主將，就是李善蘭、華蘅芳。

　　李善蘭（1811—1882）是浙江海寧人。十歲時看了《九章》，自此就喜歡上數(shù)學啦。二三十歲的時候就很有名氣了。1852年他來到上海，用八年時間和英國人偉烈亞力一起，翻完了《幾何原本》、《代微積拾級》、《代數(shù)學》等許多科學書籍。

　　《代微積拾級》是中國第一部微積分的譯本。當年在上海印刷時，沒發(fā)電廠，只好用牛來帶動印刷機。所以那圈內人士也就苦笑笑來點黑色幽默，說老牛你咋跑錯了地方不耕隴畝卻耕起了書田。

　　李善蘭生于晚清亂世，列強環(huán)顧中華，當然要探索強兵富國之道。他曾經(jīng)十分感慨地寫道：“嗚呼！今歐羅巴各國日益強盛，為中國邊患。推原其故，制器精也；推原制器之精，算學明也。”李善蘭也有一定道理。

　　李善蘭在素數(shù)論和級數(shù)論方面都有卓越的成就。他發(fā)現(xiàn)的恒等式被西方稱作“李善蘭恒等式”，馳名宇內。

　　中西兩大數(shù)學潮流終于會合到一起，這部演義也快煞尾。

　　概而言之，以《原本》為代表的西方數(shù)學和以《九章》為代表的中國古算，代表兩種不同的傾向，邏輯傾向和算法傾向。

　　邏輯傾向著重概念與推理，算法傾向以機械的思維方式、程序化的步驟為特色。世界近現(xiàn)代數(shù)學史上，各個時期的傾向也各有側重。大致來講，新方法的發(fā)明、新學科的創(chuàng)建時期，以算法傾向為主；等到成果不斷涌現(xiàn)，需要總結歸納，又轉入了邏輯傾向。

　　兩種傾向各有優(yōu)劣，不可偏廢。就最近四百年而言，經(jīng)歷了一個“算法——邏輯——算法”的循環(huán)，目前正處于算法傾向東山再起、日趨重要之際。17、18世紀微積分發(fā)明時，那新方法、新思想剛剛出現(xiàn)，各路豪杰紛紛一試牛刀，只顧用得暢快，那管得有沒有矛盾！這時自然是傾向于算法。

　　18世紀初葉，從柯西、魏爾斯特拉斯諸家對極限論嚴格化開始，到康托“集合論”，布爾伯特公理化的提倡，又轉入了新的演繹時期，使得數(shù)學在新的邏輯框架內活動。

　　上世紀40年代，轟然一聲巨響，人類歷史上最偉大的發(fā)明——電子計算機在美國誕生。不到50年，竟然遍及各領域各學科各環(huán)節(jié)和地區(qū)。其普及速度之快，影響之大，無哪一項發(fā)明可與這相比。由此，算法傾向抬頭，已成為這一個世紀之交的新特點。

　　“四色問題”的證明是計算機的勝利，更是以算法為內容的計算數(shù)學的勝利。所謂“四色問題”，是在1852年提出的世界級難題，它要求證明，任一張平面地圖，總可以用四種顏色區(qū)分相鄰的國家地區(qū)。

　　一個世紀以來，多少人對此問題都久攻不下，1976年，美國伊利諾大學的阿貝爾和哈肯宣布：他們在電腦的幫助 F，把世界級難題“四色定理”證出來了！數(shù)學界大大震動，郵政局專門發(fā)行了紀念封、紀念戳。它的劃時代意義就在于：機器和計算進入了被看作自由發(fā)揮天地的證明領域。今天，計算已和實驗方法、理論方法鼎足而立，成為第三種科學方法而引入科技界。

　　今日之數(shù)學，不但是科學，也是能產(chǎn)生直接效益的技術。“大哉，數(shù)學之為用”，這是早在1959年，華羅庚教授發(fā)出的贊嘆和感慨。他精彩地敘述了數(shù)學在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁”林林總總、形形色色諸多方面的應用。

　　有人說第一次世界大戰(zhàn)是化學戰(zhàn)（火藥），第二次是物理戰(zhàn)（作戰(zhàn)軍械、原子彈），而當今的戰(zhàn)爭就是數(shù)學戰(zhàn)。

　　海灣戰(zhàn)爭期間，美軍遠涉重洋，大批人員和物資僅短短一月就調運到位，是由于采用了運籌學和優(yōu)化技術，運用了遍布各地的計算機網(wǎng)絡。再看那電子對抗，敵我模式識別，其中也時時離不開數(shù)學。

　　美國在進攻伊拉克前，對伊方點燃油井造成的后果捉摸不透，遂就教于某頭腦公司研究此問題。該公司找出數(shù)學模型，進行一系列模擬計算后得出結論：大火將造成重大的污染，波及一系列地區(qū)，但不地造成全球性氣候變化，不會對生態(tài)和經(jīng)濟系統(tǒng)造成重大損失。這才促成布什下決心，刮起“沙漠風暴”。

　　而當今諾貝爾經(jīng)濟獎，更是數(shù)學一試拳腳的好去處。從 1969 年到 1981年間頒發(fā)的13個諾貝爾經(jīng)濟學獎中，有七個獲獎工作是相當數(shù)學化的。不懂數(shù)學，就不懂經(jīng)濟學。

　　大哉，數(shù)學之為用！數(shù)學作為一種文化，對人類精神的熏陶、人類素質的培養(yǎng)，更在不知不覺之中顯露其至大至深。從 19世紀始，到二戰(zhàn)時期，全球有影響的數(shù)學家中，德國約占43％！而且不乏諸多大師級人物！因此，我們對德國人慣有的那種嚴謹認真、一絲不茍的作風，應當是不奇怪了。

　　幾千年數(shù)學風云，縮于數(shù)20萬字演義之中。興衰交替的史實，正凸現(xiàn)出數(shù)學思想的演變。在此世紀交替之時，我們想起上一個世紀之交時的那位大師——希爾伯特所說的話：

　　我們必須知道，我們必將知道。