運用通性通法，讓數學課堂在變中出彩

　　——數學復習教學中的體會

　　摘要:數學綜合復習的目的是在短時間內幫助學生熟練掌握所學知識，為進一步的學習打好基礎。而運用通性通法進行“變式訓練”是完成這一目標的良好方法之一。本文從結構上、題目上、方法上、思維上四個方面進行變式訓練。從邏輯推理上演繹出幾個或一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統化、結構化。培養(yǎng)學生運用數學思想方法分析問題、解決問題、探究創(chuàng)新以及靈活多變的思維能力。

　　關鍵詞: 通性通法；變式訓練；中考復習；數學思想

　　中考數學復習是初中學生進行系統學習的最后階段，總復習的效果直接影響著學生對數學知識的掌握程度，是調動學生復習主動性和積極性，提高復習效率的關鍵，由于總復習是知識的再現過程，學生容易產生厭倦心理，如何上好復習課，使學生易于接受，樂于接受。這就需要我們老師吃透《數學課程標準》，掌握課程考試綱要，熟練駕馭教材，重視通性通法，注重變式訓練，讓數學課堂在變中出彩。

　　數學學習貫穿這兩條主線，即數學知識和數學思想方法。通性通法蘊含著豐富的數學思想和方法，更貼近學生的思想認識水平，符合常人的思維習慣，同樣也有利于培養(yǎng)學生的數學能力，復習時要讓學生熟練掌握通性通法，并能夠靈活應用，而對那些適用面窄，局限性大的特殊技巧應予以淡化，以免削弱對通性通法的復習和訓練。在初中數學中，常用的數學思想有函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想、整體思想等。應在解決問題的過程中加以揭示、運用和提煉，并在專題復習階段進一步系統化，對于常用于數學解題的配方法、換元法、待定系數法等通法，盡管各自有其不同的特點和應用范圍，但他們都是解決數學問題的強有力的工具，應在基礎知識復習階段進行滲透、解釋和運用，并在專題復習階段進行系統化的訓練，要注意運用通性通法積累一些常規(guī)的解題方法，形成常規(guī)的解題意識和能力。下面就自己在現階段初三數學復習教學中的一點做法供大家探討：

　　一、變通知識結構，系統知識脈絡

　　數學教材是按循序漸進，螺旋式上升的原則進行編排的，復習時若再按章節(jié)一一回顧知識要點，學生會覺得枯燥乏味，心生厭煩，也不利于知識系統的形成。心理學研究表明新鮮事物容易使人產生興趣，激發(fā)好奇心、求知欲。總復習階段學生已經失去了上新課時的那種熱情和新鮮感，因此，教師要調整知識結構，讓知識以另一副面孔呈現。

　　根據學生的認知規(guī)律，教材在內容編排上往往把某些知識分散介紹。在總復習時，應將這些知識運用通性通法，進行系統整理，給學生以整體全面的知識結構體系。例如，方程、不等式與函數是初中代數的重要內容，看似相互獨立的三塊知識結構，實際上是緊密聯系，相輔相成的教學內容，在復習一次函數時，可利用圖像闡明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之間的聯系。而二次函數，可利用圖像闡明它和一元二次方程、一元二次不等式的聯系。這樣的知識整理可讓學生對函數、方程、不等式有更全面的理解，在對舊知識進行梳理時，進行多角度的審視，而不是機械的重復，讓學生耳目一新的同時，體會數學的緊密性、邏輯性和嚴謹性。

　　二、改編題目條件，實現知識遷移

　　題目變通包括條件的探究，即增加、減少或變更條件；結論的探究，即結論是否唯一；引申探究，即命題是否推廣；數與形的探究等。利用此類變通方法，可以使學生掌握一類題的解法，即解題通法。其實解題不僅可以查漏補缺，檢查知識的掌握情況，還能夠通過解題提煉出解題方法，解題技巧，培養(yǎng)學生運用數學思想方法分析問題、解決問題、探究創(chuàng)新以及靈活多變的思維能力。

　　例如（2007年江西省中考試題）如圖1，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）

　　[說明]此題是運用矩形對角線互相平分，且其交點在等腰△AOB的頂角平分線上來解決問題。

　　變式1   如圖2，已知∠AOB，⊙P與∠AOB的兩邊相切，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）。

　　變式2  如圖3，已知∠AOB，E，F兩點分別在OA，OB上，四邊形EOFP是菱形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）。

　　變式3  如圖4，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）

　　本題組是將起點題中的矩形分別變換成圓、菱形、平行四邊行，通過不同知識解決同一問題，使學生的思維得以發(fā)散。

　　事實上，許多課本習題都是由編寫者精心篩選，匠心獨運命制而成的，具有豐富的內涵，平時解題時應引導學生進行解題反思。既要反思題目的條件與結論之間因果關系能否交換，又要注意命題條件能否等價的更換，結論能否拓展、引申與推廣，圖形的結構能否發(fā)生變化，怎樣變化？從而培養(yǎng)學生的數學思維方法的變通，因為總結的過程需要涉及許多相關知識，因此，有的學生不愿意在這方面下功夫，而忽略了它，但真正做起來就會覺得其妙無窮，因為總結解決的不僅是解一道題，更為重要的是學生在這一過程中參與了創(chuàng)造性思維活動這一點絕非單純的解多少道題目所能比及的，如果教師能引導學生認真做好解題后的反思總結，橫穿縱拓地探索，必能激起學生探求數學奧秘的動機，對數學學習產生濃厚興趣。久而久之，就可以讓學生學到總結歸納的方法，達到“做一題，通一類，會一片”舉一反三，觸類旁通的功效。

　　三、變換解題方法，感受數學思想

　　對于解題方法而言，當從某個角度難以入手時，換一個角度的靈活多變，各種不同思路，不同方法的分析比較，是形成創(chuàng)新意識，創(chuàng)新能力的源泉。通過有意識的精選可用多種思路來完成的典型題，利用方法變通，可幫助學生找到解題的“切入點”，領會數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，掌握換元法、配方法、待定系數法等常用數學方法。

　　例如圖（1）是由邊長為a的正方形剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形，把圖（1）剪開后，再拼成一個四邊形，用來驗證公式a2-b2=(a+b)(a-b)

　　在第一個同學拿出方法一后，馬上就有同學展示了方法二，在接下來的討論中同學們紛紛給出了方法三的（1）、(2)、(3)三種方案，每個同學都躍躍欲試，都體驗了自己的成功，課堂因不同的方法而變得精彩。

　　四、變通思維方式，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

　　“數學是訓練思維的體操”。思維變通往往指的是以上幾種變通的綜合，尤其是題目變通和方法變通。在中考數學復習教學過程中，利用此類變通問題可以培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，從而更好地挖掘學生的潛能，提高學生的綜合素質。

　　例如：如圖，在小河l的同旁有牛欄A和草地B，牛每天要先到河邊飲水，然后到草地吃草。請問牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

　　這是一道典型的幾何作圖試題，它涉及軸對稱，兩點之間線段最短，尺規(guī)作圖等數學知識，若將這道題稍加變式，則能激起學生更大的思維浪花。

　　變式1：一束光線從y軸上點A(0,2)出發(fā)，經過x軸上點P反射后經過點B(4,6)，則點P坐標------

　　變式2：在上題中，試在軸上找一點，使PB-PA的值最大，則點P坐標-------

　　思路分析：若P、A、B不在一直線上，則PB-PA<AB；若P、A、B在一直線上，則PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB,，其最大值為AB，所以P(-2,0)

　　老師在展示這道變式題時學生的興致很高，尤其是基礎比較扎實，成績比較優(yōu)秀的學生收效甚好。

　　在變式探究過程中，學生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因變化的奧妙精彩而推向高潮。教學的關鍵不是記住結論，而是經歷探究的過程，感受數學的研究方法，促進數學能力的提高，只有在運用通性通法進行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學，有意識、有目的地引導學生從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，使思維在所學知識中游刃有余，順暢飛翔。

　　中考試卷中的新題型知識考查的載體，在總復習時不能將新題型的復習游離于通性通法之外，應重視“選題”和“變式”訓練，通過編式訓練幫助學生多角度理解知識，掌握數學知識中蘊含的數學思想和方法，從而達到靈活運用的目的，如何挖掘每個數學問題的“營養(yǎng)價值”來達到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會貫通” 的功效。是數學教師錘煉自身內功的一個追求目標，精選的例題、習題既要能體現通性通法，即既包含數學思想方法，又要適量“難、新、活、寬”的題目做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏。從而使數學課堂在變中出彩。

　　參考文獻：

　　[1]裴光亞  《中學數學復習的戰(zhàn)略決策》中學數學教學參考2008（1-2）

　　[2]王鋒    《教學生做一題，通一類，會一片》中小學數學2007（1-2）