淺談集合思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　【摘要】集合思想在小學數(shù)學中已經有了很多的滲透。而且這種數(shù)學思想方法在教學中是很有價值的，它的很多思想和展現(xiàn)的方式對于幫助小學生理解題意和解答問題都有很大作用。本文主要討論如何在小學數(shù)學教學中適當?shù)赜幸庾R地指導學生應用集合思想去思考問題和解決難題，讓學生的數(shù)學思維能力得到切實和有效的發(fā)展，以利于學生可持續(xù)性發(fā)展。

　　【關鍵詞】集合思想，小學數(shù)學，教學，應用，感性認識

　　集合是近代數(shù)學中的一個重要概念。集合思想是現(xiàn)代數(shù)學思想向小學數(shù)學滲透的重要標志，在解決某些數(shù)學問題時，若是運用集合思想，可以使問題解決得更簡單明了。集合論的創(chuàng)始人是德國的數(shù)學家康托（1845——1918），其主要思想方法可歸結為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應原則。自集合論創(chuàng)立以來，它的概念、思想和方法已經滲透到現(xiàn)代數(shù)學的各個分支中，成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎。瑞士數(shù)學家歐拉（1707——1787）最早使用了表示兩個非空集之間的關系的圖，現(xiàn)稱歐拉圖。英國數(shù)學家維恩最早使用了另一種圖即可以用于表示任意的幾個集合（不論它們之間的關系如何，都可以畫成同一樣式），又稱“維恩圖”，用維恩圖表示集合，有助于探索某些數(shù)學題的解決思路。

　　布魯納曾說，掌握基本的數(shù)學思想方法能使數(shù)學更易于理解和記憶，領會基本數(shù)學思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學思想方法不但對學生學習具有普遍的指導意義，而且有利于學生形成科學的思維方式和思維習慣。

　　集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一對應思想等，作為數(shù)學思想方法的一種，在教學中是具有很大的指導意義的。那么，在小學數(shù)學教學中我們應該如何應用集合思想進行教學活動呢?

　　一、集合概念在小學數(shù)學教學中的應用

　　集合思想的概念在教學中是不必向學生作解釋的，教師主要指導學生看懂集合圖的意思，會根據(jù)集合圖來解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應用了集合的表示方法——圖示法，因此在小學低年級中運用這個方法對于教學是很有幫助的。

　　在認數(shù)教學中，教師要結合各種集合圖，可以是選用書本上的，也可以是選用一些生活中常見的事物自己畫。同時還可以反過來給學生一個數(shù)字，讓學生畫集合圖，這樣既可以讓學生開動腦筋發(fā)揮自己的想象，也可以讓學生更了解集合中的元素與基數(shù)概念的聯(lián)系。

　　在日常教學中，教師還要讓學生理解一些用來描述集合的常用術語，如“一些”、“一堆”、“一組”、“一群”等。比如說，在小學數(shù)學教材北師大版一年級（上冊）的第四單元分類中，就出現(xiàn)了這么一張圖，讓學生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服裝鞋帽放一堆,這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。

　　在認識0-10的十一個數(shù)字中，每個數(shù)字都有一張相應的集合圖，也就是告訴學生，一個集合中有幾個元素就用“幾”來表示。如北師大版一年級（上冊）第4頁找一找的活動中“1”可以表示圖里的一座房子；“2”可以表示圖里的兩個人。這就很形象的把集合中的元素與基數(shù)的概念有機的聯(lián)系起來。

　　二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　1、子集思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　教學數(shù)的大小這一問題時，就可以應用子集思想。如北師大版二年級(下冊)第36頁試一試中,給出一些數(shù)，組成一個數(shù)的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時給出要求，先把給出的數(shù)分類，再比較大小。這把數(shù)分類就相當于是把整個數(shù)的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個子集合中。（如下圖）

　　對于這類問題，應用集合思想就能讓學生非常直觀、容易地理解。

　　2、 交集思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　如有這么一道應用題：一個班有48人。班主任在班會上問：“誰做完了數(shù)學作業(yè)？”這時有42人舉手。又問：“誰做完了語文作業(yè)？”這時有37人舉手。最后又問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。請問：這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人？

　　一看這道題就會想到要用維恩圖來算比較簡單。畫一個長方形表示全集，完成語文作業(yè)的學生集合（A），完成數(shù)學作業(yè)的學生集合（B），A、B有相交部分

　　因為A內的兩部分表示人數(shù)和就是完成語文作業(yè)的人數(shù)（37人），所以A外、B內的那部分表示的人數(shù)為48-37=11（人），者是 完成了數(shù)學作業(yè)但沒有完成語文作業(yè)的人數(shù)。因此，語文、數(shù)學兩種作業(yè)都完成了的人數(shù)是42-11=31人。

　　教學公約數(shù)、公倍數(shù)這一內容時，也通常應用交集思想，如

　　12的約數(shù)    18的約數(shù)

　　3、并集思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　在小學一年級的教材中，并集被用于說明加法的意義，如北師大版一年級（上冊）第22頁解決“有幾只鉛筆”這個問題，一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆，右手里拿了三只鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆并在一起。2＋3＝5（只）

　　還有北師大版一年級(上冊)第68頁11～20各數(shù)的認識中，對于“11”,先把10根小棒捆成一捆，組成十位上的“1”，然后再數(shù)1根組成“11”了。同理在教學12、13、14、15等數(shù)時，也都應該采用并集思想。

　　又如，北師大版一年級(上冊)第72頁:9＋5＝? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結合在一起，組成十根捆在一起，作為十位上的“1”，這也運用了并集思想。

　　4、差集思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　在小學一年級的教材中，差集被用于說明減法的意義。如北師大版一年級（上冊）第26頁“摘果子”樹上原有5個蘋果，被小朋友摘走2個，就剩下樹上（集合）的3個蘋果（元素）：5－2＝3（個）

　　又比如說還是本頁的“做一做”：圖中總共有5個圓圈，其中4個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分.

　　5、空集思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　空集表示這個集合沒有元素。空集思想的應用主要出現(xiàn)在教學“0”的時候，如北師大版一年集（上冊）第8頁“小貓釣魚”，每只小貓的袋子表示集合，袋子里的魚表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。

　　三、一一對應思想在小學數(shù)學教學中的應用

　　一一對應思想在教材中體現(xiàn)的較多，在比較兩個集合所包含的元素的多少時就一定得用建立一一對應關系的方法來解決，同時，“一一對應”思想也是現(xiàn)代函數(shù)思想的基礎。一一對應思想在小學數(shù)學教材中主要以兩種形式呈現(xiàn)：第一種是比多少，第二種是由一個集合經過對應法則得到另一個集合。

　　在教學比多少時，教師首先要把集合中的元素一一的排列起來。如北師大版一年級（上冊）第43頁：

　　比 多

　　比 少

　　在教學第二種情況，一個集合經過對應法則得到另一個集合時，教師要向學生解釋清楚對應法則是對已給出的集合中的每一個元素都起作用的。

　　如人教版三年級（下冊）第23頁

　　這類算式與算式的配對，也正是一一對應思想的應用。

　　數(shù)學教育學家波利亞說過：“數(shù)學教師的首要責任是盡其一切可能，來發(fā)展學生解決問題的能力。”教師在問題探索的教學中不能就題論題，授之以“漁”遠比授之以“魚”來的重要。這個“漁”就是指隱含于數(shù)學問題探索中的數(shù)學思想方法。學生只有逐步形成用數(shù)學思想方法指導思維活動，才會在遇到其它問題時胸有成竹，從容對待。新課標也指出：結合有關知識的教學，適當?shù)臐B透集合、函數(shù)等數(shù)學思想方法，以加深對基礎知識的理解。作為數(shù)學教師，在教學中應當大膽地應用集合思想，讓學生在學習中獲得對集合思想的感性認識，并逐步形成運用集合思想的觀念。

　　參考文獻

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　　[5]《小學數(shù)學中的集合思想》王建 ，程秋云《四川教育學院學報》 2006年06期。