小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力

　　內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)的抽象決定了數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的抽象能力，也決定了學(xué)習(xí)者必須具有一定的抽象能力。從一道道具體的應(yīng)用題到常見的數(shù)量關(guān)系，從一道道具體的計(jì)算題到計(jì)算法則，從具體的數(shù)到一個(gè)個(gè)字母等無一不是抽象的過程。教材的編排體現(xiàn)了這樣一個(gè)由具體到抽象的過程。新課程標(biāo)準(zhǔn)在“數(shù)學(xué)思考”方面提出了“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”和“豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”的目標(biāo)。在新課程教材使用的過程中因?yàn)橹庇^操作強(qiáng)調(diào)較多，有時(shí)則忽視了抽象的過程與結(jié)果，對(duì)由形象到抽象的過程認(rèn)識(shí)與研究不夠，從而實(shí)踐上很不到位。本文試從小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，表達(dá)自己一些粗淺看法。

　　關(guān)鍵詞：小學(xué)生； 小學(xué)數(shù)學(xué)；  抽象思維；  培養(yǎng)途徑

　　在新課程教材使用的過程中因?yàn)橹庇^操作強(qiáng)調(diào)較多，有時(shí)則忽視了抽象的過程與結(jié)果，對(duì)由形象到抽象的過程認(rèn)識(shí)與研究不夠，從而實(shí)踐上很不到位。深入課堂還可以發(fā)現(xiàn)常態(tài)下的數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出這樣一種普遍現(xiàn)象：低年級(jí)的課堂適當(dāng)?shù)某橄蟛粔�，中、高年�?jí)的課堂直觀操作不夠，抽象太早。我們知道一二年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主，三、四年級(jí)學(xué)生的抽象思維能力逐步提高，五、六年級(jí)學(xué)生的抽象思維能力在繼續(xù)發(fā)展，但學(xué)生的思維還是要靠形象來支撐。下面我通過身邊的一則教學(xué)事例，來診斷和探討：如何在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)。

　　教學(xué)事例：到一年級(jí)數(shù)學(xué)組走走，聽老師們說前一天有老師已經(jīng)教學(xué)了兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)的計(jì)算，上完課的老師反映學(xué)生對(duì)兩類加法容易混淆，學(xué)生掌握得不好。于是我便和老師們一起分析：學(xué)生頭腦中還沒有“幾個(gè)十和幾個(gè)十相加，幾個(gè)一和幾個(gè)一相加”，即“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加”的知識(shí)，教師在教學(xué)時(shí)也不能空洞、抽象地告訴學(xué)生“幾個(gè)十要和幾個(gè)十相加，幾個(gè)一要和幾個(gè)一相加”。那怎樣變教師的告訴為學(xué)生的體悟呢？對(duì)策：在主題圖教學(xué)之后分四步走，幫助學(xué)生辨別兩類題，休會(huì)“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加”。第一步：讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥珠計(jì)算，用計(jì)數(shù)器幫助對(duì)比、區(qū)分，如25+20，25+2，44+50，44+5，等等。第二步：只撥第一個(gè)加數(shù)，想加第二個(gè)加數(shù)的撥珠動(dòng)作，再說出得數(shù)。第三步：計(jì)數(shù)器拿走，想象兩數(shù)相加的撥珠動(dòng)作，再說出得數(shù)。第四步：看算式直接說出得數(shù)。其他教師在教學(xué)中均采用了這樣的四步，先教的那位老師也用這四步進(jìn)行了補(bǔ)救，效果明顯提高，學(xué)生基本上沒有錯(cuò)誤。

　　新課程教材的使用使得教師們對(duì)于問題情境的創(chuàng)設(shè)、對(duì)于問題解決的方法的多樣化非常注重，但是帶來的問題是忽視了對(duì)學(xué)生思維的關(guān)注和研究，忽視了學(xué)生思維的循序漸進(jìn)過程，比如形象思維向抽象思維的發(fā)展。教學(xué)事例中提到的兩位數(shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)的教學(xué)中，當(dāng)先教的那位教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤較多時(shí)便反復(fù)告訴學(xué)生要把幾個(gè)十和幾個(gè)十相加、幾個(gè)一和幾個(gè)一相加，而學(xué)生要理解這樣一句話本身就有難度。反之，用后面提出的四步進(jìn)行，第一步讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器的撥珠計(jì)算兩種加法，是借助動(dòng)作進(jìn)行思維，是最容易、最低級(jí)的。第二步只撥一個(gè)加數(shù)，想加第二個(gè)加數(shù)的撥珠動(dòng)作，再說出得數(shù)。這兩步既有具體的動(dòng)手操作，又有表象思維的成分，比前者要求略高。第三步計(jì)數(shù)器拿走，想象兩數(shù)相加的撥珠動(dòng)作，再說出得數(shù)。想象兩數(shù)相加的撥珠動(dòng)作，關(guān)鍵是想若加4的話4應(yīng)該加在哪位，若加40的話4應(yīng)該加在哪位，有前兩步的基礎(chǔ)，學(xué)生這一步的想象一般不會(huì)出錯(cuò)，答案基本正確。第四步看算式直接說出得數(shù)。這四步可以是小步子前進(jìn)，思維由動(dòng)作到半動(dòng)作半表象再到表象思維最后到抽象思維，由易到難，循序漸進(jìn)，拾級(jí)而上。

　　在小學(xué)階段有大量的計(jì)算教學(xué)，如何由算理的直觀上升到算法的抽象應(yīng)該是計(jì)算教學(xué)中永遠(yuǎn)要研究的主題。從認(rèn)識(shí)過程來看，學(xué)生對(duì)問題的思考和解決通常分為兩個(gè)階段：感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)階段。感性認(rèn)識(shí)，即形成感覺、感知和表象的階段，是對(duì)事物的認(rèn)識(shí)的低級(jí)階段。理性階段，即對(duì)表象進(jìn)行概括和抽象而形成概念的階段。表象是感知的保存和再現(xiàn)，表象是感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)的中介和橋梁。在案例一和教學(xué)事例中我們都用到了表象思維，它促進(jìn)了形象思維向抽象思維的跨越與提升。

　　數(shù)學(xué)的抽象決定了數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的抽象能力，也決定了學(xué)習(xí)者必須具有一定的抽象能力。從一道道具體的應(yīng)用題到常見的數(shù)量關(guān)系，從一道道具體的計(jì)算題到計(jì)算法則，從具體的數(shù)到一個(gè)個(gè)字母等無一不是抽象的過程。教材的編排出體現(xiàn)了這樣一個(gè)由具體到抽象的過程。如加法交換律的學(xué)習(xí)，第一冊(cè)是借助直觀讓學(xué)生感受3+2=5、2+3=5，第四冊(cè)中    這是一種具體形象，第七冊(cè)則出現(xiàn)一系列算式38+12=12+38，560+310=310+560，…進(jìn)行初步抽象，并用語言描述：交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變。在此基礎(chǔ)上用字母表示加法交換律a+b=b+a，進(jìn)行本質(zhì)概括。由此可見數(shù)學(xué)給予人的抽象概括能力，可以使人有條理地在簡(jiǎn)約狀態(tài)下進(jìn)行思考。所以在教學(xué)中：

　　1、要重視形象思維。首先在教學(xué)中教師要盡可能地運(yùn)用形象。形象思維能促進(jìn)學(xué)生的心理活動(dòng)更加豐富，有助于他們更深刻地認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)和規(guī)律。研究表明，富有創(chuàng)造性的學(xué)生形象思維一般能達(dá)到較高水平。“火車過橋”問題是學(xué)生很難理解的一類行程問題，記得在教學(xué)時(shí)我信手拈來，很自然恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了教室里現(xiàn)在的物品進(jìn)行操作演示：把講臺(tái)當(dāng)做橋，一把米尺當(dāng)成火車，來演示火車過橋，我先讓學(xué)生理解“過橋”并進(jìn)行演示，通過演示明確“車頭上橋到車尾離橋”才叫“火車過橋”，接著再弄清火車過橋所行的路程，通過演示學(xué)生很容易明白火車過橋所行的路程就是橋長(zhǎng)加車身的長(zhǎng)度。直觀可以讓抽象的語言文字變成看得見的形象，可以降低學(xué)生思維的難度，可以幫助學(xué)生很好地理解知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)。

　　其次還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成用直觀化策略解決問題的習(xí)慣。如小明和小軍去買同一本書，用小明的錢買這本書缺1.6元，用小軍的錢買這本書缺1.8元，如果把兩人的錢合并在一起買一本書則多2元，這本書單價(jià)是多少元？學(xué)生如果采用畫圖策略，那么問題便可迎刃而解。

　　2、要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)逐步的抽象。首先教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。抽象只有擺脫具體形象，才能使思維用算法化的方式得出新的結(jié)果。如一年級(jí)學(xué)習(xí)“9加幾”的加法，當(dāng)學(xué)生有一圈十、湊十的實(shí)物操作基礎(chǔ)后，教師必須引導(dǎo)學(xué)生回到算式，抽象出算法，要算9加幾的加法，先要想9加幾等于10，再把第二個(gè)加數(shù)進(jìn)行分解，最后再進(jìn)行9+1+（）的計(jì)算。

　　其次抽象除了可以使思維概括、簡(jiǎn)約、深刻以外，還有發(fā)現(xiàn)真理的功能。所以教師還要指導(dǎo)學(xué)生用抽象的方法解決問題。在學(xué)習(xí)中可以表現(xiàn)為由原型匹型到抽象提升，如六年級(jí)有這樣一類題：“一批布，做上衣可做20件，做褲子可做30條，這批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一條褲子）”“體育委員為班組購買文體用品。他帶的錢正好可以買15副羽毛球拍或24副乒乓球拍。如果他已經(jīng)買了10副羽毛球拍，那么剩下的錢還可買多少副乒乓球拍？”這些題都可以抽象成工程問題，通過抽象的方式解決問題。

　　3、要重視表象的作用。表象是人腦對(duì)當(dāng)前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知的事物形象的反映。它不僅具有具體形象性，還具有一定的概括性。它不但反映個(gè)別事物的主要特點(diǎn)和輪廓，而且還反映一類事物的共同的表面特征。表象的基礎(chǔ)是感知，所以教師要盡可能地豐富學(xué)生的感知，要運(yùn)用觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等多種形式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官參與感知。在上述教學(xué)事例中，借助表象思維進(jìn)行10以內(nèi)的加法計(jì)算和兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)的計(jì)算，它的前提是學(xué)生必須有豐富的感知，頭腦中有相關(guān)的圖形表象，否則就很難進(jìn)行。表象思維是感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)的橋梁，教師要重視表象思維在形象思維向抽象思維上升過程中的作用。

　　4、形式運(yùn)算——抽象思維訓(xùn)練的好途徑。有這樣一道題：“一個(gè)正方體削成一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱的體積是正方體體積的百分之幾？”學(xué)生1的解法是：假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為6厘米，那么圓柱的底面直徑和高都是6厘米。π×（6÷2）2×6=54π（立方厘米），6×6×6=216（立方厘米），54π÷216=π÷4=78.5%。學(xué)生2的解法是：所正方體的棱長(zhǎng)看成a。π×（a÷2）2×a=πa2/4×a=πa3/4（立方厘米），a×a×a=a3（立方厘米），πa3/4÷a3=π/4=78.5%。兩種方法都得到了正解的答案，但是第一種是通過舉具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，第二種則是用字母代替數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，即參數(shù)法。顯然第二種方法具有更高的抽象水平，也更具有概括性。但是能想到第二種方法的學(xué)生只有六七個(gè)。

　　運(yùn)算思維結(jié)構(gòu)可以分為兩個(gè)水平，一個(gè)是具體運(yùn)算水平，一個(gè)是形式運(yùn)算水平。根據(jù)皮亞杰關(guān)于思維發(fā)展階段的劃分，兒童約從7歲到11歲為具體運(yùn)算階段，這個(gè)階段的運(yùn)算一般還離不開具體事物的支持。約從11歲到15歲為形式運(yùn)算階段，形式運(yùn)算就是命題運(yùn)算思維，這種運(yùn)算可以離開具體事物，根據(jù)假設(shè)來進(jìn)行。小學(xué)里已學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)和簡(jiǎn)單的一元一次方程，六年級(jí)學(xué)生的運(yùn)算思維水平可以脫離具體事物與具體數(shù)據(jù)進(jìn)行形式的代數(shù)的運(yùn)算，也就是說已經(jīng)具備了形式運(yùn)算的基礎(chǔ)與可能。而在小學(xué)階段解決數(shù)學(xué)問題中有時(shí)用代數(shù)法更具有普遍性、概括性和說服力，同時(shí)也為初中學(xué)習(xí)代數(shù)做鋪墊打基礎(chǔ)，所以作為小學(xué)高年級(jí)的教師應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生形成運(yùn)算的能力作為教學(xué)的一個(gè)內(nèi)容。

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