第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題
做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會(huì)算，而且要 多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說做應(yīng)用題是運(yùn)用數(shù)學(xué)的開始.
加、減、乘是最基本的運(yùn)算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用題的訓(xùn)練，就從這
一、和差問題
說到“和差問題”，小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)，人人都會(huì)說：“我會(huì)！”和差問題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：
大數(shù)=（和+差）÷2
小數(shù)=（和-差）÷2
會(huì)算，還要會(huì)靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來算.
先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.
例1 張明在期末考試時(shí)，語文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語文多得8分，張明這兩門功課的成績(jī)各是多少分？
解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語文兩門得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語文得分之差是8.因此
數(shù)學(xué)得分=（95×2＋8）÷2＝99.
語文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.
答：張明數(shù)學(xué)得99分，語文得91分.
注：也可以從 95×2-99＝91求出語文得分.
例2 有 A，B，C三個(gè)數(shù)，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求這三個(gè)數(shù).
解：從B+C＝197與A+C＝149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此
B=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，
A＝252-150＝102，
C＝149-102＝47.
答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.
注：還有一種更簡(jiǎn)單的方法
（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）.
上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.
A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此
C＝299-252＝47，
B＝299-149＝150，
A＝299-197＝102.
例3 甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？
解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖，
就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多
5＋7＋ 5＝ 17（千克）
因此，甲、乙兩數(shù)之和是 75，差為17.
甲筐蘋果數(shù)=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.
乙筐蘋果數(shù)=75-46＝29（千克）.
答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.
例4 張強(qiáng)用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買這雙鞋花多少錢？
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是 270元，差是 210元.
外衣和鞋價(jià)之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.
外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此
鞋價(jià)=（240-140）÷2＝50（元）.
答：買這雙鞋花50元.
再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了.
例5 李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間（上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì)）？
解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有
鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160（分鐘）.
晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，被回家路上所用時(shí)間抵消了.
因此
鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120（分鐘）.
現(xiàn)在已把問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問題了.
鐘停的時(shí)間=（160＋120）÷ 2＝ 140（分鐘）.
路上用的時(shí)間=160-140＝20（ 分鐘）.
答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：
以李叔叔家的鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來回共用的時(shí)間，所以
上班路上所用時(shí)間=（8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘）÷2＝20（分鐘）.
鐘停時(shí)間=2小時(shí) 40分鐘-20分鐘
=2小時(shí)20分鐘.
例6 小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張？
解：甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（張）.
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢？請(qǐng)注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.
從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是
[21.4＋（21.4-3.2）]÷（1.5＋ 0.7）＝ 18（張）.
因此，甲卡張數(shù)是
�。�18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（張）.
乙卡張數(shù)是 18-11＝ 7（張）.
答：小明買甲卡11張、乙卡7張.
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請(qǐng)見下一講.
例7 有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形，拼合成兩種大長(zhǎng)方形，如右圖.大長(zhǎng)方形（A）的周長(zhǎng)是240厘米，大長(zhǎng)形（B）的周長(zhǎng)是258厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米？
解：大長(zhǎng)方形（A）的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×2+寬×4.
大長(zhǎng)方形（B）的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×4+寬×2.
因此，240+258是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×6+寬×6.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是
（240＋258）÷6＝83（厘米）.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是
�。�258-240）÷2＝9（厘米）.
因此，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是
長(zhǎng)：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.
寬：（83-9）÷2＝37（厘米）.
答：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米
二、倍數(shù)問題
當(dāng)知道了兩個(gè)數(shù)的和或者差，又知道這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個(gè)數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個(gè)基礎(chǔ)性的例子.
例8 有兩堆棋子，第一堆有87個(gè)，第二堆有69個(gè).那么從第一堆拿多少個(gè)棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.
解：兩堆棋子共有87＋69＝156（個(gè)）.
為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個(gè)棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子
156 ÷（1＋3）＝39（個(gè)）.
第一堆應(yīng)留下棋子39個(gè)，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是
87-39＝48（個(gè)）.
答：應(yīng)從第一堆拿48個(gè)棋子到第二堆去.
例9 有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書？
解：我們畫出下列示意圖：
我們把第一層（拿走38本后）余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即
173-38-6＝129（本）
恰好是3份，每一份是
129÷3=43（本）.
因此，第二層的書共有
43×2 + 6＝92（本）.
答：書架的第二層有92本書.
說明：我們先設(shè)立“1份”，使計(jì)算有了很方便的計(jì)算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對(duì)倍數(shù)問題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.
例10 某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人？
解：設(shè)六年級(jí)學(xué)生人數(shù)是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-（23-11）人.
每份是（975+12）÷7＝141（人）.
男生人數(shù)=141×4-23＝541（人）.
女生人數(shù)=975-541＝434（人）.
答：有男生541人、女生434人.
例9與例10是一個(gè)類型的問題，但稍有差別.請(qǐng)讀者想一想，“差別”在哪里？
70雙皮鞋.此時(shí)皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙？
解：為了計(jì)算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6（份）.400＋70將是 3+1＋6＝10（份）.每份是
�。�400＋70）÷10＝47（雙）.
原有旅游鞋 47×4=188（雙）.
原有皮鞋 47×6-70＝212 （雙）.
答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.
設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計(jì)算都較簡(jiǎn)捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會(huì)貫穿在以后的章節(jié)中.
下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容──年齡問題.
年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問題最關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個(gè)人的年齡差總保持不變.
例12 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？
解：父女相差36歲，這個(gè)差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的（5-1）倍.
36÷（5-1）＝9.
當(dāng)時(shí)女兒是9歲，14-9＝5，也就是5年前.
答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.
例13 有大、小兩個(gè)水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個(gè)水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個(gè)水池注入了多少立方米的水.
解：畫出下面示意圖：
我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚�(gè)水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.
因此每份是
�。�300-70）÷2＝ 115（立方米）.
要注入的水量是
115-70=45 （立方米）?
答：每個(gè)水池要注入45立方米的水.
例13與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當(dāng)于年齡問題中的“幾年后”.
例14 今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲？
解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會(huì)變的，今年他們的年齡仍相差1份.
題目又告訴我們，那時(shí)哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是2＋1＝3（份）.
今年，哥弟倆年齡之和是
3＋2=5（份）.
每份是 55÷5＝ 11（歲）.
哥哥今年的歲數(shù)是 11×3＝33（歲）.
答：哥哥今年33歲.
作為本節(jié)最后一個(gè)例子，我們將年齡問題進(jìn)行一點(diǎn)變化.
例15 父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.
問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？
解：現(xiàn)在父母年齡之和是
38＋ 36 ＝ 74.
現(xiàn)在兒子年齡的 4倍是 11×4＝44.相差
74-44＝ 30.
從4倍來考慮，以后每年長(zhǎng)1×4＝4，而父母年齡之和每年長(zhǎng)1＋1＝2.
為追上相差的30，要
30÷（4-2）＝15（年）?
答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.
請(qǐng)讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.
請(qǐng)讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點(diǎn)？
我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：
�。�14 ×5-50）÷（5-1）＝ 5（年）.
不過要注意 14×5比 50多，因此是 5年前.
三、盈不足問題
在我國(guó)古代的算書中，《九章算術(shù)》是內(nèi)容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語言來敘述，就是下面的例題.
例16 有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價(jià)是多少？
解：“多3元”與“少4元”兩者相差
3＋4＝7（元）.
每個(gè)人要多出 8-7＝1（元）.
因此就知道，共有7÷1＝7（人），物價(jià)是
8×7-3＝53（元）.
答：共有 7個(gè)人一起買，物價(jià)是 53元.
上面的3＋4可以說是兩個(gè)總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計(jì)算公式是
總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)
這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請(qǐng)?jiān)倏匆恍├?
例17 把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個(gè)小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？
解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的 10 ×3＝ 30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有
10×3÷（16-10）＝ 5（人）.
再加上這 3位小朋友，共有小朋友 5＋3＝ 8（人）.這袋糖有
10×（5 ＋ 3）＝ 80（粒）.
解二：如果我們?cè)僭黾?16×3粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友
16×3÷（16-10）=8（人）?
這袋糖有80粒.
答：這袋糖有80粒.
這里， 16×3是總差，（16-10）是每份差， 8是份數(shù).
例18 有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個(gè)班共有多少名同學(xué)？
解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個(gè)人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個(gè)人坐船.可以坐船的人數(shù)，兩者相差 6＋ 9＝ 15（人）.
這是由于每條船多坐（9-6）人產(chǎn)生的，因此共有船
�。�6 ＋ 9）÷(9-6）＝ 5（條）?
這個(gè)班的同學(xué)有 6×5 ＋ 6＝ 36（人）.
答：這個(gè)班有36人.
例19 小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走 80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)？
解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時(shí)間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比較：如果每分鐘走 80米，就可以多走 80×6（米）；如果每分鐘走 50米，就要少走 50×3（米）.請(qǐng)看如下示意圖：
因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時(shí)間是
（80×6＋ 50×3） ÷（80- 50）＝ 21（分鐘）.
家至學(xué)校距離是
800×（21-6）＝ 1200（米）?
或 50 ×（21+3）＝ 1200（米）.
答：小明家到學(xué)校的路程是1200米.
解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時(shí)間，作為思考的出發(fā)點(diǎn).
用每分鐘 50米速度，就要多用 6＋3= 9（分種）.這9分鐘所走的 50×9（米），恰好補(bǔ)上前面少走的.因此每分鐘80米所需時(shí)間是
50×（6＋3）÷（80- 50）＝ 15（分鐘）?
再看兩個(gè)稍復(fù)雜的例子.
例20 一些桔子分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個(gè)人，那么每人分2個(gè)桔子還缺少8個(gè)，問有桔子多少個(gè)？
解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉(zhuǎn)化這一條件.
假設(shè)還有 10個(gè)桔子， 10＝ 2×5，就可以多有 5個(gè)人，把“少5人”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6（個(gè)）.
每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差
10＋ 10＋ 8＝ 28 (個(gè)）.
所以原有人數(shù) 28÷（6-5)=28（人）.
桔子總數(shù)是 5 ×28 ＋ 10＝ 150（個(gè)）.
答：有桔子150個(gè).
例21 有一些蘋果和梨.如果按每1個(gè)蘋果2個(gè)梨分堆，梨分完時(shí)還剩5個(gè)蘋果，如果按每3個(gè)蘋果5個(gè)梨分堆，蘋果分完了還剩5個(gè)梨.問蘋果和梨各多少？
解一：我們?cè)O(shè)想再有10個(gè)梨，與剩下5個(gè)蘋果一起，按“1個(gè)蘋果、2個(gè)梨”前一種分堆，都分完.以后一種“3個(gè)蘋果、5個(gè)梨”分堆來看，蘋果總數(shù)能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個(gè)蘋果，2×3＝6（個(gè)）梨.與后一種分堆比較：
每堆蘋果都是3個(gè).而梨多1個(gè)（6-5＝1）.梨的總數(shù)相差
設(shè)想增加 10個(gè)+剩下5個(gè)=15個(gè).
�。�10 ＋ 5）÷（6- 5）＝ 15.
就知有15個(gè)大堆，蘋果總數(shù)是
15×3＝ 45（個(gè)）.
梨的總數(shù)是（45－5）×2＝80（個(gè)）.
答：有蘋果45個(gè)、梨80個(gè).
解二：用圖解法.
前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個(gè)來表示.
后一種分堆，只要添上3個(gè)蘋果，就可與剩的5個(gè)梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.
將上、下兩圖對(duì)照比較，就可看出， 5＋ 3＝ 8（個(gè)）是下圖中“半份”，即 1份是 16.梨是 5份，共有 16×5＝ 80（個(gè)）.蘋果有 16×2.5 ＋ 5＝ 45（個(gè)）.
