中學數(shù)學知識的人都知道“函數(shù)”這一重要概念．一般地，可用符號y=f(x)表示函數(shù)，x與y表示變量，f表示x與y之間的變化的關系．當x取某一確定的值，就可以得到一個確定的y值．如果x只取實數(shù)值，得到的y值也是實數(shù)值，那么就稱y=f(x)為一個實函數(shù)．如果x可取復數(shù)值，y得到的也可以是復數(shù)，那么這函數(shù)就稱為復變函數(shù)或簡稱復函數(shù)．為了與實函數(shù)相區(qū)別，復函數(shù)通常記為z=f(z)．可求導數(shù)的復函數(shù)叫解析函數(shù)．

假設R為復平面C中的一個區(qū)域，若對R中任意兩個不同的點z1，z2有f(z1)≠f(z2)，則稱f(z)在R上是單葉的．進一步，若在單位圓D={z∈C：|z|＜1}中有f＇(z)≠0，則稱f(z)單葉正則．如果加上規(guī)范條件f(0)= 0及f＇(0)= 1，f(z)按Taylor級數(shù)展開得f(z)=z+a2z2＋…＋anzn＋…，|z|＜1這種函數(shù)的全體稱為正規(guī)族，記為S．

在S中扮演重要角色的是Koebe函數(shù)

若θ為任意實數(shù)，則e-iθK(eiθz)∈S，且將單位圓映到全平面除去由 數(shù)的一個旋轉(zhuǎn)．

1916年，德國數(shù)學家比貝爾巴赫研究S中的函數(shù)f(z)，發(fā)現(xiàn)其系數(shù)具有一個共同的性質(zhì)：|a1|≤1，|a2|≤2，……，由此他猜想：有|an|≤n，且這個界限只能被Koebe函數(shù)的旋轉(zhuǎn)所達到．這就是著名的比貝爾巴赫猜想．

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