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小學奧數(shù)抽屜原理例題詳解二

2011-09-30 10:58:30      下載試卷

  【例 題】在任意的四個自然數(shù)中,是否其中必有兩個數(shù),它們的差能被整除?

  【解析】因為任何整數(shù)除以3,其余數(shù)只可能是0,1,2三種情形.我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”.一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形,就將此整數(shù)放在那個“抽屜”里.將四個自然數(shù)放入三個抽屜,至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù),也就是說至少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同(需要對學生利用余數(shù)性質(zhì)進行解釋:為什么余數(shù)相同,則差就能被整除).這兩個數(shù)的差必能被整除.

  【鞏固】四個連續(xù)的自然數(shù)分別被除后,必有兩個余數(shù)相同,請說明理由.

  【解析】想一想,不同的自然數(shù)被3除的余數(shù)有幾類?在這道題中,把什么當作抽屜呢?

  把這四個連續(xù)的自然數(shù)分別除以3,其余數(shù)不外乎是0,1,2,把這3個不同的余數(shù)當作3個“抽屜”,把這個連續(xù)的自然數(shù)按照被除的余數(shù),分別放入對應的個“抽屜”中,根據(jù)抽屜原理,至少有兩個自然數(shù)在同一個抽屜里,也就是說,至少有兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同.

  【鞏固】(第八屆《小數(shù)報》數(shù)學競賽決賽)將全體自然數(shù)按照它們個位數(shù)字可分為10類:個位數(shù)字是1的為第1類,個位數(shù)字是2的為第2類,…,個位數(shù)字是9的為第9類,個位數(shù)字是0的為第10類.(1)任意取出6個互不同類的自然數(shù),其中一定有2個數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎?(2)任意取出7個互不同類的自然數(shù),其中一定有2個數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎?如果一定,請簡要說明理由;如果不一定,請舉出一個反例.

  【解析】(1)不一定有.例如1、2、3、4、5、10這6個數(shù)中,任意兩個數(shù)的和都不是10的倍數(shù).

 。2)一定有.將第1類與第9類合并,第2類與第8類合并,第3類與第7類合并,第4類與第6類合并,制造出4個抽屜;把第5類、第10類分別看作1個抽屜,共6個抽屜.任意7個互不同類的自然數(shù),放到這6個抽屜中,至少有1個抽屜里放2個數(shù).因為7個數(shù)互不同類,所以后兩個抽屜中每個都不可能放兩個數(shù).當兩個互不同類的數(shù)放到前4個抽屜的任何一個里面時,它們的和一定是10的倍數(shù).

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來源:奧數(shù)網(wǎng)整理 作者:奧數(shù)網(wǎng)編輯

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