在2013年小升初中，奧數(shù)競(jìng)賽占了一個(gè)非常重要的位置。也可以說奧數(shù)就是重點(diǎn)中學(xué)的一塊小小的敲門磚，可以讓你在小升初擇校過程中事半功倍。下面是奧數(shù)網(wǎng)小編整理的2013年數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題密匙，希望對(duì)大家有所幫助。

二、填數(shù)問題——從“九宮算”談

　　在填數(shù)問題中，小學(xué)生常常采用“湊”的方法，通過幾次試驗(yàn)來尋找解 答。如果我們深挖其中的道理，就會(huì)找到一些解題規(guī)律，使認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深化。 在這個(gè)意義上講，填數(shù)問題是一種很好的“鍛煉思維的體操”。

　　我國古代人民對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出過許多杰出貢獻(xiàn)，著名的“九宮算”就 是其中之一，最早提出的問題是：

　　將 1 至 9 這九個(gè)數(shù)字填在右圖中九個(gè)方格里使每一橫行、每一縱列和兩個(gè)對(duì)角線上的數(shù)之和相等。

　　這種圖形填數(shù)，我國古代稱為“九宮算”、“縱橫圖”，國外叫做幻方。

　　“九宮圖”就是將 1 至 9 的九個(gè)數(shù)填在 3×3 的小格內(nèi)，它是一個(gè)三階幻方。 傳說大禹治水的時(shí)候，洛水中浮出一只神龜，龜背上馱了一個(gè)“洛書”圖。將它譯釋成今日數(shù)字即為一個(gè)三階幻方。

　　一般地，在 n×n 的方格內(nèi)，既不重復(fù)又不遺漏地填上 n2 個(gè)自然數(shù)，每 個(gè)數(shù)占一格，并使每行、每列及兩條對(duì)角線上 n 個(gè)自然數(shù)的和都相等，這樣排成的數(shù)表稱為 n 階幻方。都相等的和叫幻和。

　　幻方曾使不少數(shù)學(xué)愛好者入迷。大數(shù)學(xué)家歐拉、著名物理學(xué)家富蘭克林 就曾經(jīng)對(duì)幻方很感興趣。目前，最大的幻方是 105 階，它是由美國一位 13 歲少年作成的。

　　下面我們來談?wù)勅绾翁詈?ldquo;九宮圖”。

　　例 1 填九宮圖所表示的幻方。 解：首先應(yīng)解決二個(gè)問題：

　　(1)每行、每列的和是多少?(這個(gè)和叫幻和)

　　(2)中間位置的數(shù)應(yīng)當(dāng)填幾?(求幻和時(shí)幾次用到了它) 為了敘述方便，我們把每個(gè)方格內(nèi)要填的數(shù)字用字母表示。

　　首先求出幻和。因?yàn)?a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=1+2+3+4+⋯⋯+9=45， a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2+c3=幻和，所以，幻和×3=45，幻和=45÷3=15。

　　其次，確定中心數(shù) b2。 因?yàn)?al+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(a2+b2+c2)+(b1+b2+b3)=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60，所以 b2=5，即中間數(shù)應(yīng)當(dāng)是 5。

　　最后，考慮四個(gè)角上應(yīng)填什么數(shù) 假設(shè) a1為奇數(shù)，那么

　　1)如果 a2 也是奇數(shù)，那么 a1+a2+a3=a1+5+c3=a2+5+c2=15。于是a3、c3、c2 也都是奇數(shù)，連同 b2=5 共有六個(gè)奇數(shù)，矛盾。

　　(2)如果 a2 為偶數(shù)，那么 a3、c2 為偶數(shù)。又因?yàn)?c3 為奇數(shù)，a3+b3+c3=c1+c2+c3=15，所以 b3、c1 為偶數(shù)。這樣就有 5 個(gè)偶數(shù)，矛盾。

所以 a1 不能為奇數(shù)。

　　同理可證 c1、c3、a3 都不能為奇數(shù)。弄清了這一點(diǎn)就可填寫三階幻方(如 圖 4、圖 5)。