所謂天元術(shù)，就是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法，“立天元一為某某”相當(dāng)于今“設(shè)x為某某”是一致的。在中國(guó)，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術(shù)》，書(shū)中用文字?jǐn)⑹龅姆椒ń�立了二次方程，但沒(méi)有明確的未知數(shù)概念。到唐代，王孝通已經(jīng)能列出三次方程，但仍是用文字?jǐn)⑹龅�，而且尚未掌握列方程的一般方法。�?jīng)過(guò)北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問(wèn)題基本解決了。隨著數(shù)學(xué)問(wèn)題的日益復(fù)雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術(shù)便在北宋應(yīng)運(yùn)而生了、洞淵、石信道等都是天元術(shù)的先驅(qū)。但直到李冶之前，天元術(shù)還是比較幼稚的，記號(hào)混亂、復(fù)雜，演算煩瑣。例如李冶在東平(今山東省東平縣)得到的一本講天元術(shù)的算書(shū)中，還不懂得用統(tǒng)一符號(hào)表示未知數(shù)的不同次冪，它“以十九字識(shí)其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。”這就是說(shuō)，以“人”字表示常數(shù)，人以上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪(最高為九次)，入以下九字表示未知數(shù)的各負(fù)數(shù)次冪(最低也是九次)，其運(yùn)算之繁可見(jiàn)一斑。從稍早于《測(cè)圓海鏡》的《鈴經(jīng)》等書(shū)來(lái)看，天元術(shù)的作用還十分有限。李冶則在前人的基礎(chǔ)上，將天元術(shù)改進(jìn)成一種更簡(jiǎn)便而實(shí)用的方法。當(dāng)時(shí)，北方出了不少算書(shū)，除《鈴經(jīng)》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復(fù)軌》等，這無(wú)疑為李冶的數(shù)學(xué)研究提供了條件。特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書(shū)，內(nèi)有九客之說(shuō)，專講勾股容圓問(wèn)題。此書(shū)對(duì)他啟發(fā)甚大。為了能全面、深入地研究天元術(shù)，李冶把勾股容圓(即切圓)問(wèn)題作為一個(gè)系統(tǒng)來(lái)研究。他討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問(wèn)題，寫(xiě)成《測(cè)圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

　　《測(cè)圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的“識(shí)別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，共六百余條，每條可看作一個(gè)定理(或公式)，這部分內(nèi)容是對(duì)中國(guó)古代關(guān)于勾股容圓問(wèn)題的總結(jié)。后面各卷的習(xí)題，都可以在“識(shí)別雜記”的基礎(chǔ)上以天元術(shù)為工具推導(dǎo)出來(lái)。李冶總結(jié)出一套簡(jiǎn)明實(shí)用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法。他發(fā)明了負(fù)號(hào)和一套先進(jìn)的小數(shù)記法，采用了從零到九的完整數(shù)碼。除O以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒(méi)有符號(hào)O。從現(xiàn)存古算書(shū)來(lái)看，李冶的《測(cè)圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書(shū)九章》是較早使用O的兩本書(shū)，它們成書(shū)的時(shí)間相差不過(guò)一年�！稖y(cè)圓海鏡》重在列方程，對(duì)方程的解法涉及不多。但書(shū)中用天元術(shù)導(dǎo)出許多高次方程(最高為六次)，給出的根全部準(zhǔn)確無(wú)誤，可見(jiàn)李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的。

　　《測(cè)圓海鏡》的成書(shū)標(biāo)志著天元術(shù)成熟，它無(wú)疑是當(dāng)時(shí)世界上第一流的數(shù)學(xué)著作。但由于內(nèi)容較深，粗知數(shù)學(xué)的人看不懂。而且當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)不受重視，所以天元術(shù)的傳播速度較慢。李冶清楚地看到這一點(diǎn)，他堅(jiān)信天元術(shù)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有力工具，同時(shí)深刻認(rèn)識(shí)到普及天元術(shù)的必要性。他在結(jié)束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學(xué)數(shù)學(xué)，促使他寫(xiě)一本深入淺出、便于教學(xué)的書(shū)，《益古演段》便是在這種情況下寫(xiě)成的。《測(cè)困海鏡》的研究對(duì)象是離生活較遠(yuǎn)而自成系統(tǒng)的圓城圖式，《益古演段》則把天元術(shù)用于解決實(shí)際問(wèn)題，研究對(duì)象是日常所見(jiàn)的方、圓面積。李冶大概認(rèn)識(shí)到，天元術(shù)是從幾何中產(chǎn)生的。因此，為了使人們理解天元術(shù)，就需回顧它與幾何的關(guān)系，給代數(shù)以幾何解釋，而對(duì)二次方程進(jìn)行幾何解釋是最方便的，于是便選擇了以二次方程為主要內(nèi)容的《益古集》(11世紀(jì)蔣周撰)。正如《四庫(kù)全書(shū)·益古演段提要》所說(shuō)：“此法(指天元術(shù))雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學(xué)者驟欲通之，茫無(wú)門(mén)徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見(jiàn)。”李冶是很樂(lè)于作這種普及工作的，他在序言中說(shuō)：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

　　《益古演段》的價(jià)值不僅在于普及天元術(shù)，理論上也有創(chuàng)新首先，李冶善于用傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理及各種等量關(guān)系來(lái)減少題目中的未知數(shù)個(gè)數(shù)，化多元問(wèn)題為一元問(wèn)題。其次，李冶在解方程時(shí)采用了設(shè)輔助未知數(shù)的新方法，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。