我們重點(diǎn)研究正方形中整體與局部的關(guān)系，先從最為簡(jiǎn)單的情況入手。
問(wèn)題：已知正方形ABCD中（如圖1），E、F兩點(diǎn)分別是CD和AD邊上的中點(diǎn)。連接AE和BF兩條線段，將正方形分為了四個(gè)部分。如果大正方形的面積為1，那么這四個(gè)部分的面積分別是多少？
圖中四個(gè)部分分別為三角形ABO和AOF，四邊形FOED和OBCE。首先為了發(fā)現(xiàn)各個(gè)部分之間的關(guān)系，我們連接兩條輔助線OD和OC，如圖2：
這時(shí)不難發(fā)現(xiàn)三角形AOF與FOD的面積相等，三角形DOE和EOC的面積相等。而且還有如下結(jié)論成立：
如果設(shè)三角形AOF的面積為a，那么三角形FOD的面積也是a，三角形
下方程：
所以本題答案分別為：
用圖形表示出來(lái)就是圖3：
本題中的“結(jié)論2”是解決有關(guān)長(zhǎng)方形問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到的，希望同學(xué)們熟練掌握。在上面問(wèn)題的基礎(chǔ)上，我們還可以解決如下問(wèn)題：
問(wèn)題：如圖4，在正方形ABCD中，E、F、M、N分別是四條邊上的中點(diǎn)。分別連接AE、BF、DM、CN四條線段，將正方形分為了九個(gè)部分。如果大正方形的面積為1，求這九個(gè)部分的面積。
的面積都是：
中間小正方形的面積為：
本題利用“剪剪拼拼”可以更簡(jiǎn)便地解決，請(qǐng)同學(xué)們自己思考。我們還可以在前面問(wèn)題的啟發(fā)下，編出下面的問(wèn)題：
問(wèn)題：如圖5，在正方形ABCD中， E、 F、 M、N分別是四條邊上的三等分點(diǎn)。分別連接AE、BF、DM、CN四條線段，將正方形分為了九個(gè)部分。如果大正方形的面積為1，求這九個(gè)部分的面積。
我們仿照前面的思路解決本題。先在正方形中去掉兩條線段并增添兩條輔助線，如圖6：
這時(shí)就有如下結(jié)論成立：
1.三角形FOD的面積是三角形AOF面積的2倍。
2.三角形OCD的面積是三角形OED面積的2倍。
設(shè)三角形AOF的面積為a，則三角形FOD的面積為2a，三角形DOE的面
形（為什么是梯形？）的面積都是：
中間四邊形（其實(shí)是正方形，為什么？）的面積為：
我們還可以編出更為復(fù)雜的問(wèn)題，比如將上題修改為：E點(diǎn)是二等分點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是三等分點(diǎn)，M點(diǎn)是四等分點(diǎn)，N點(diǎn)是五等分點(diǎn)，其它的條件和結(jié)論不變。這樣一來(lái)，實(shí)際上僅僅是破壞了對(duì)稱性，增加了計(jì)算的繁難度，但是方法卻沒(méi)有改變，請(qǐng)同學(xué)們自己敘述出問(wèn)題，并作出完整的解答。
以上所有問(wèn)題的思路都是一致的，就是通過(guò)添加輔助線尋求不同部分之間的關(guān)系，進(jìn)而找到局部與整體的關(guān)系。下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)與梯形有關(guān)的問(wèn)題。
問(wèn)題：如圖7，是一個(gè)梯形ABCD，已知梯形的下底CD長(zhǎng)度是上底AB長(zhǎng)度的3倍，梯形面積為1。梯形的兩條對(duì)角線將整個(gè)梯形分為了四個(gè)部分，求這四個(gè)部分的面積。
所求四個(gè)部分分別為三角形ABO、AOD、DOC和BOC。首先不難發(fā)現(xiàn)三角形AOD和BOC的面積相等。由于梯形的下底CD長(zhǎng)度是上底AB長(zhǎng)度的3倍，所以三角形ADC的面積是三角形ABC面積的3倍，因此就得到三角形AOD的面積是三角形ABO的3倍，三角形DOC的面積是三角形BOC面積的3倍，如果假設(shè)三角形ABO的面積是1倍量，那么三角形AOD和BOC的面積就是3倍量，三角形COD的面積是9倍量。因此三角形ABO的面積為：
三角形AOD和BOC的面積都是：
從以上問(wèn)題我們可以總結(jié)出一條經(jīng)驗(yàn)，就是要學(xué)會(huì)“找關(guān)系”。
