問(wèn)題 從甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一輛汽車上坡速度為每小時(shí)20千米，下坡速度為每小時(shí)35千米。車從甲地到乙地共用9小時(shí)，從乙地返回到甲地共用7.5小時(shí)。求去時(shí)上坡路和下坡路分別為多少千米？
先畫(huà)出如右圖形：圖中A表示甲地，C表示乙地。從A到B是上坡路，從B到C是下坡路；反過(guò)來(lái)，從C到B就是上坡路，從B到A是下坡路。
由于從甲地到乙地用9小時(shí)，反過(guò)來(lái)從乙地到甲地用7.5小時(shí)，這說(shuō)明從A到B的距離大于從B到C的距離。本題的難點(diǎn)在于上下坡不僅速度不同，而且距離不同，因此自然的思路是設(shè)法把上下坡的距離變不同為相同。
在從A到B的路程中取一個(gè)點(diǎn)D，使得從D到B的距離等于從B到C的距離，這樣A到D的距離就是AB距離比BC距離多出來(lái)的部分。
下面我們分析為什么去時(shí)比回來(lái)時(shí)間會(huì)多用了：9-7.5＝1.5（時(shí)）
從圖中容易看出就是因?yàn)槿r(shí)從A到D是上坡，而回來(lái)時(shí)從D到A變成了下坡，其它路途所用的總時(shí)間是一樣的。
現(xiàn)在的問(wèn)題是AD這段路程中速度由每小時(shí)20千米改為35千米，則時(shí)間少用1.5小時(shí)，由此可以求出什么？
如果設(shè)速度為每小時(shí)20千米所用時(shí)間為單位“1”，那么速度為每小時(shí)35千米所用時(shí)間為：
由此就可以求出AD之間的距離為：
20×3.5＝70（千米）
或 35×2＝70（千米）
還可以求出從D到C和從C到D所用時(shí)間均為：9－3.5＝5.5（時(shí)）
或 7.5－2＝5.5（時(shí)）
至此我們已經(jīng)完成了將上下坡的距離變?yōu)橄嗤哪康牧�。如果設(shè)從D到
上坡所用時(shí)間為：
所以去時(shí)上坡的總路程就是：
70+20×3.5=140（千米）
下坡總路程是：35×2=70（千米）
上面所用方法實(shí)質(zhì)上是通過(guò)“截長(zhǎng)變短”把上下坡的距離“變不同為相同”，而實(shí)現(xiàn)這一目的還可以通過(guò)“補(bǔ)”的方法。
將返回的路程補(bǔ)在去時(shí)路程的后面，畫(huà)出右圖：
這時(shí)全程去與回所用的時(shí)間都是：
9＋7.5＝16.5（時(shí)）
而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原來(lái)上下坡距離之和。設(shè)
為：
所以原來(lái)上下坡距離之和就是：
20×10.5=210（千米）
或 35×6＝210（千米）
下面采用解決“雞兔同籠”問(wèn)題的方法，假設(shè)原來(lái)從A到C速度不變，都是每小時(shí)35千米，這樣9小時(shí)所行路程應(yīng)該為：
35×9＝180（千米）
比實(shí)際距離少行了：
210－180＝30（千米）
就是因?yàn)閺?/FONT>B到C的下坡速度每小時(shí)20千米變成了35千米，因此從B到C的時(shí)間為：
30÷（35－20）＝2（時(shí)）
從A到B上坡的時(shí)間為：9－2=7（時(shí)）
由此上下坡的距離就不難求出了。
這個(gè)解法的思路是通過(guò)“補(bǔ)”，不僅使得上下坡距離相等，而且使得往返所用的時(shí)間相等。
解決本題的兩個(gè)方法說(shuō)明，在“變不同為相同”這個(gè)基本思想的指導(dǎo)下，手段可以是多種多樣的。
下面再看一道類似的問(wèn)題。
問(wèn)題 如右圖，從A到B是下坡路，從B到C是平路，從C到D是上坡路。小張和小王步行速度分別都是：上坡每小時(shí)4千米，平路每小時(shí)5千米，下坡每小時(shí)6千米。二人分別從A、D兩點(diǎn)同時(shí)
王到達(dá)A后9分鐘，小張到達(dá)D。求從A到D的全程距離。
首先發(fā)現(xiàn)二人平路上行走的距離相同，小張比小王多用9分鐘的原因就是CD距離大于AB距離。
我們仿照上題思路，在CD上取一點(diǎn)F，使得CF距離等于AB距離，并畫(huà)出如右圖形：設(shè)從D到F下坡所用時(shí)間為“1”，則從F到D上坡所用時(shí)間為：
到F所用時(shí)間18分鐘，因此可以求出平路的距離為：
以上兩個(gè)問(wèn)題的共同之處在于將上下坡的不同距離變?yōu)橄嗤�，完成這種變化的基礎(chǔ)問(wèn)題是：已知同一段路程的兩個(gè)不同速度和相差的時(shí)間，如何求出這段行程的時(shí)間和路程。
